廣東省廣州市真光中學 (510380)

黃林盛

核心素養(yǎng)下的高考對學生的綜合素養(yǎng)的提出了新要求，函數(shù)零點問題是高中數(shù)學考察學生綜合素養(yǎng)的很好途徑，主要體現(xiàn)在基本初等函數(shù)的圖像，滲透著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.近幾年的數(shù)學高考中頻頻出現(xiàn)函數(shù)零點存在的問題，其形式逐漸多樣化，難點在于函數(shù)零點所在區(qū)間內(nèi)的取點問題.本文將以兩道高考題以例，闡述函數(shù)零點所在區(qū)間內(nèi)應(yīng)如何取點的基本方法.

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：f(x)只有一個零點.

解：(1)略；

綜上，f(x)只有一個零點．

評析：如何思考到取3a-1,3a+1？

方法二：f′(x)=x2-a(2x+1)=x2-2ax-a,

①當△=4a2+4a≤0即-1≤a≤0時，f′(x)≥0恒成立，且等號僅在a=-1或0，且x=a時取得，所以f(x)在R上單調(diào)遞增.

②當△=4a2+4a≥0即a<-1或a>0時，x2-2ax-a=0有兩個不等實根，不妨設(shè)為x1,x2(x1

綜上所述，f(x)只有一個零點.

評析:如何取得零點區(qū)間為(-3|m|-1,|m|+1)呢？

思路2：由g(t)=t3+t2+t-m可得，試點，g(0)=-m，g(-1)=1-m，g(1)=3-m，g(m)=m3+m2=m2(m+1),g(2m)=8m3+4m2+m=m(8m2+4m+1)，g(-m)=-m3+m2-2m=

-m(m2-m+2),g(-2m)=-8m3+4m2-3m=

-m(8m2-4m+3)，因為8m2+4m+1>0，m2-m+2>0，8m2-4m+3>0都恒成立，即有

g(2m)g(-m)<0,g(2m)g(-2m)<0.

試題呈現(xiàn)2 (2015年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)的零點的個數(shù);

當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點；

通過以上探究過程，可以總結(jié)零點區(qū)間端點選取的一般步驟：

步驟1：先分析當x→∞或x→a時，f(x)的符號，確定影響符號的關(guān)鍵項，然后通過等價轉(zhuǎn)化使得y=f(x)各項均為基本初等函數(shù);

步驟2：由于放縮的需要，有時候需適當縮小零點區(qū)間端點所在區(qū)間，一般說來，若區(qū)間為(a,+∞)(a<0)或(-∞,a)(a>0)型，通常取(0,+∞))或(-∞,0)型，對于區(qū)間為(a,b)，型，區(qū)間通常可取(a,b′)，ab′>0型;

步驟3：一般來說，在不影響決定函數(shù)符號的前提下，常常要用到不等式或轉(zhuǎn)化成求某個函數(shù)在區(qū)間上的最值問題進行放縮，最終得到一個含參的可解不等式即可解出區(qū)間端點.

常用的放縮公式：

第一組：對數(shù)放縮

(放縮成一次函數(shù))lnx≤x-1，lnx

第二組：指數(shù)放縮

(放縮成一次函數(shù))ex≥x+1，ex>x，ex≥ex;

第三組：指對放縮

ex-lnx≥(x+1)-(x-1)=2.

第四組：三角函數(shù)放縮

第五組：以直線y=x-1為切線的函數(shù)