熊瑜

【摘要】本文通過筆者多年教授離散數(shù)學(xué)課程中“集合與關(guān)系”部分的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)學(xué)習(xí)中遇到的和“集合與關(guān)系”相關(guān)的知識點，理清這些知識點之間的聯(lián)系，從而幫助學(xué)生更快速地掌握“集合與關(guān)系”的學(xué)習(xí)意義和方法，旨在鼓勵學(xué)生積極發(fā)展抽象思維能力，好好學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)這門課程，不斷提高自己的學(xué)習(xí)能力.

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué);集合;關(guān)系

一、引 言

在離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，“集合與關(guān)系”部分可能會被認(rèn)為是相對容易學(xué)習(xí)的一部分，但是在筆者多年教授這門課程的過程中，發(fā)現(xiàn)并非如此.在中學(xué)數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)中習(xí)慣于研究的集合就是各種數(shù)的集合，關(guān)系就是簡單的數(shù)集合當(dāng)中大小關(guān)系.而對離散數(shù)學(xué)當(dāng)中把集合抽象到萬事萬物都可以因為某種聯(lián)系構(gòu)成一個研究對象的群體，并且把它們之間的各種關(guān)系也抽象為集合來理解，這些知識點在開始學(xué)習(xí)階段對學(xué)生而言其實是十分困難的.本文旨在讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)“集合與關(guān)系”這部分知識時，更加快速有效地掌握從具象思維到抽象思維的方法，從而提升學(xué)生的抽象思維能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).比如，代數(shù)系統(tǒng)中群論的拉格朗日定理的學(xué)習(xí)就需要學(xué)生對集合與二元關(guān)系之間的聯(lián)系非常清楚.

二、集合與關(guān)系學(xué)習(xí)的意義

集合是不能用其他概念精確定義的原始概念.我們說當(dāng)我們把世界上萬事萬物的任何一部分群體按照某種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行歸類以后，那么就構(gòu)成了一個形式上的集合，其因為研究者研究領(lǐng)域的不同，會從不同的出發(fā)點研究集合中元素之間特定的關(guān)系，而這里的元素遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了我們中學(xué)研究的簡單的數(shù)字.因此，你會發(fā)現(xiàn)，在研究人群中人與人之間是否有血緣關(guān)系，就能夠和研究空間解析幾何時空間直線的正交關(guān)系，研究矩陣?yán)碚撝芯仃嚨南嗨脐P(guān)系一樣，可以用相應(yīng)集合的笛卡爾積的子集合來統(tǒng)一一個標(biāo)準(zhǔn)描述他們的本質(zhì).集合的方法研究關(guān)系，體現(xiàn)了離散數(shù)學(xué)的精髓，那就是把具象思維拔高到抽象思維，找到本質(zhì).這種知識能力的培養(yǎng)，在后續(xù)代數(shù)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)當(dāng)中也得到了充分體現(xiàn).

以下我們通過用集合的方式把上面一個自然段中出現(xiàn)的例子表示出來，讓大家更加加深對“集合與關(guān)系”理論抽象概括性的理解.A表示全體人類的集合，

A×A={〈a，b〉|a∈A∧b∈A}則R={〈a，b〉|a∈A∧b∈A∧a與b具有血緣關(guān)系}，顯然R是笛卡爾積A×A的一個子集合，R是把所有具有血緣關(guān)系的人雙雙配對作為一個序偶的形式出現(xiàn)在我們的集合表示的元素當(dāng)中.當(dāng)然我們另外舉的兩個例子，比如，研究空間解析幾何時空間直線的正交關(guān)系，我們只要把這里A換成空間全體直線構(gòu)成的集合，關(guān)系R里面的解釋換成是直線的正交關(guān)系，那么我們的集合表示關(guān)系R就與剛才要表示人類的血緣關(guān)系是一樣的，所以很有意思的事情就是我們可以通過完全相同的數(shù)學(xué)集合表達(dá)式來把這兩種表面上完全沒有聯(lián)系的關(guān)系表示出來.這樣做的意義是我們把本質(zhì)要表示的東西用集合來表示清楚了，對這種特殊的集合——關(guān)系我們就可以研究作為關(guān)系呈現(xiàn)出來的效果，通過對“關(guān)系”這種特殊的集合性質(zhì)的研究反過來研究我們要研究的內(nèi)容.比如，關(guān)系的自反性、對稱性、傳遞性，我們就可以得到等價關(guān)系的概率.數(shù)學(xué)的各個分支的學(xué)習(xí)中或生活中很多研究的關(guān)系其實都是等價關(guān)系，比如，人類的同姓關(guān)系、直線的平行關(guān)系、三角形的全等關(guān)系、矩陣的相似關(guān)系等.越學(xué)習(xí)，我們會越發(fā)現(xiàn)，不僅可以在學(xué)習(xí)不同學(xué)科的時候越來越有歸納總結(jié)能力了，同時還在生活當(dāng)中，發(fā)現(xiàn)越來越多的有趣關(guān)系，增加了生活的樂趣.

離散數(shù)學(xué)中當(dāng)我們已經(jīng)從集合的觀點出發(fā)，把各種關(guān)系都抽象總結(jié)成為一種研究對象，我們會發(fā)現(xiàn)之前數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中一直研究的函數(shù)這個概念本質(zhì)上就是一種特殊的關(guān)系，從而把事先已經(jīng)在關(guān)系中研究明白的結(jié)果平移過來，可能解決了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直困擾的問題.在大學(xué)的微積分學(xué)習(xí)中，函數(shù)是我們研究極限的載體，極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，是微積分學(xué)能夠成立的基石.大一的理工科類學(xué)生，是要花大量的時間在解決函數(shù)的求導(dǎo)求積分上的.當(dāng)他們學(xué)完了基礎(chǔ)課，又會投入到各自選擇的專業(yè)中，不斷做的事情就是學(xué)會把研究領(lǐng)域的問題數(shù)學(xué)模型化，建立數(shù)學(xué)模型，其實也就是最終研究量和量之間構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系.比如，優(yōu)化問題就要借助建立的函數(shù)關(guān)系來進(jìn)行.綜上，可以看到我們這種特殊的關(guān)系——函數(shù)的偉大意義了.

三、小 結(jié)

本文旨在和學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的學(xué)生和教師分享一下學(xué)習(xí)“集合與關(guān)系”這部分的心得和意義，讓學(xué)生們體會到學(xué)習(xí)是可以深入和深刻的，要有耐心和細(xì)心來完善自己的學(xué)習(xí)方法，要有恒心來不斷提高自己的學(xué)習(xí)能力.數(shù)理邏輯的先驅(qū)萊布尼茲曾經(jīng)有一個理想：創(chuàng)造出了一種“通用的語言”，把邏輯推理過程像數(shù)學(xué)一樣利用公式來進(jìn)行演算，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的數(shù)理邏輯就實現(xiàn)了這個預(yù)想.筆者認(rèn)為這就是離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力，培養(yǎng)邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生在今后任何專業(yè)的學(xué)習(xí)中都能夠得心應(yīng)手，充滿自信.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Kenneth H.Rosen離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用（英文版第七版）[M].北京：機械工業(yè)出版社，2012.

[2]方景龍，周麗.應(yīng)用離散數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：人民郵電出版社，2014.