張煥梅， 郭蕓俊

(1. 太原工業(yè)學院 機械工程系, 山西 太原 030008； 2.太原工業(yè)學院 計算機工程系, 山西 太原 030008)

0 引 言

傳統(tǒng)的機床箱體作為機床總成的主要承載部件， 其受力情況比較復雜， 會受到較大的彎曲、 扭轉(zhuǎn)力的共同作用． 若箱體的強度、 剛度不夠， 就很難滿足機床工作時的穩(wěn)定性要求； 若僅為了保證總體強度而單純增加箱體厚度， 則機床的總重量就會增大， 增加了制造成本． 因此在滿足強度、 剛度及使用要求的條件下， 設計出體積最小或質(zhì)量最輕的機床箱體結(jié)構(gòu)就顯得非常關鍵[1-2]．

隨著有限元分析理論與現(xiàn)代優(yōu)化技術(shù)的發(fā)展， 企業(yè)在產(chǎn)品研發(fā)、 升級過程中逐步開始普及應用新技術(shù)． 有限元法(Finite Element Method)[3]是分析機床結(jié)構(gòu)應力應變分布的有效方法之一， 既可以檢驗機床箱體結(jié)構(gòu)的強度是否滿足要求， 也可以進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化．

目前集有限元分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的商業(yè)優(yōu)化軟件(如ANSYS, Hyperworks,OptiStruct等)也在機床界逐步普及， 優(yōu)化技術(shù)在工業(yè)上的應用逐漸展開[4-5]． 例如Altintas和Cao[6]以機床主軸系統(tǒng)為研究對象， 建立了具有非線性特征的主軸與軸承有限元模型， 并通過試驗數(shù)據(jù)與有限元分析對比， 驗證了該有限元建模方法的可行性， 同時為機床結(jié)構(gòu)動態(tài)分析和優(yōu)化設計提供了指導． 文桂林等[7]在高速機床零部件優(yōu)化設計研究中， 以結(jié)構(gòu)尺寸為設計變量， 提出了基于近似模型的機床零部件優(yōu)化設計方法， 有效提高了機床零部件設計的效率， 為其結(jié)構(gòu)改進提供了理論依據(jù)， 降低了生產(chǎn)成本．

本文以機床的床頭箱為研究對象， 基于不同加載方式對有限元結(jié)果的影響， 對模型進行有效簡化， 獲得精度較高的有限元模型． 同時為提高優(yōu)化計算效率， 通過靈敏度分析方法得出床頭箱壁厚對于質(zhì)量、 位移及應力的影響， 分析后篩選出合適的因素， 最后根據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計理念， 以輕量化為目標建立數(shù)學模型， 采用尺寸優(yōu)化方法進行迭代計算， 獲得有效的最優(yōu)解．

1 機床床頭箱有限元建模與分析

1.1 機床床頭箱三維模型的建立

床頭箱是機床的一個重要部件， 如圖 1 所示， 床頭箱由殼體、 主軸及其軸承、 工件傳動裝置組成， 根據(jù)其工作原理， 本文選擇了頂尖裝夾的方式， 故主軸不轉(zhuǎn)動， 所以帶輪和電機模型不需要繪制， 利用三維軟件繪制機床床頭箱零部件模型數(shù)據(jù)并進行裝配．

如圖 1 所示床頭箱中殼體模型， 頂部的空缺設計是為了表示電機位置和墊板形狀， 兩側(cè)面有多個定位孔， 底板有螺釘孔， 底部有和底座連接的孔和定位孔； 內(nèi)部心軸由軸套、 主軸和頂針組成， 頂針尾部為錐形嵌入主軸的錐孔中， 主軸、 軸套、 心軸是無間隙裝配．

圖 1 床頭箱總裝配模型Fig.1 The machine tool headstock assembly model

1.2 機床床頭箱有限元模型的建立與分析

床頭箱結(jié)構(gòu)由于加工定位、 工裝等條件約束， 側(cè)板上的定位孔、 連接孔等讓床頭箱箱體比較復雜， 但這些孔位對機床床頭箱的力學性能及本文輕量化的研究影響不大， 反而增加了有限元網(wǎng)格的劃分難度， 所以在進行有限元建模前先對機床床頭箱結(jié)構(gòu)進行模型簡化[8]， 其三維模型簡化過程如下：

1) 將殼體兩側(cè)與底端的定位孔、 螺栓孔等進行簡化， 定位孔是加工和安裝時輔助定位的， 對床頭箱結(jié)構(gòu)性能無影響； 底板與底座螺栓孔起到固定床頭箱的作用， 在有限元建模過程中通過虛擬約束體現(xiàn)．

2) 將殼體的部分倒角和凸臺簡化， 本文選用頂尖裝夾， 主軸不轉(zhuǎn)動， 故內(nèi)部的變速傳動結(jié)構(gòu)可進行簡化； 倒角和凸臺屬于工藝， 故可簡化．

3) 頂部電機的位置孔是為了說明電機的位置和電機墊板的形狀， 在有限元建模中通過不同加載方式來模擬電機負重．

其中簡化過程與結(jié)果如圖 2 所示．

圖 2 三維模型簡化過程與結(jié)果Fig.2 Result and process of model simplification

在有限元分析軟件Hyperworks中導入模型， 劃分網(wǎng)格， 殼體抽取中心面， 劃分成2D殼單元網(wǎng)格， 其單個殼單元尺寸為3 cm ×3 cm； 在對主軸劃分網(wǎng)格時， 選用的單元類型為二階實體四面體單元， 每個二階四面體單元有10個節(jié)點(4個角點和6個中間節(jié)點)， 并且每個節(jié)點有3個自由度． 二階實體四面體單元模擬了二階(拋物線型)位移場以及相應的一階應力場， 當單元因加載而變形時可有效地傳遞載荷． 在殼體和主軸之間定義3D-2D接觸關系來傳遞載荷關系， 最終完成有限元模型， 如圖 3 所示．

圖 3 機床床頭箱有限元模型Fig.3 Finite element model of machine tool headstock

床頭箱結(jié)構(gòu)的主要作用是固定于保持工件的作用， 在工作過程中主要受壓、 彎、 扭三種形式的組合變形． 根據(jù)金屬切削原理[9-10]， 查表得到工件為鑄鐵時沿工件徑向進給方向的作用力Fx/Fy比值最大， 取值為3， 則水平方向的最大載荷Fx=3Fy=1 206 N； 機床砂輪主電機的功率為14.08 kW， 砂輪線速度為v=35 m/s， 由公式得切向力Fy=1 000P/v=402 N， 假設工件重力為G1=9 800 N， 則豎直向下的載荷為FG=9 800 N+402 N=10 202 N； 徑向切削力與水平慣性力同時作用在被夾持工件上， 假設加工過程中床頭箱和尾架頂尖的距離為1 000 mm， 在工件的中心位置到頂尖前端的節(jié)點產(chǎn)生一個扭矩M=743×500=3.72×105N·mm； 最后床頭箱頂部電機重70 kg， 墊板重2 kg， 重力載荷為G2=705.6 N， 電機和砂輪的質(zhì)量偏心產(chǎn)生慣性力為100 N．

如圖 4 所示為力的加載示意圖， 頂尖處切削產(chǎn)生的豎直載荷FG=10 202 N， 水平載荷Fx=1 206 N， 扭矩M=3.72×105N·mm， 床頭箱電機的重力G=705.6 N， 慣性力F3=100 N； 整個底面約束Z方向自由度， 2個螺釘孔處約束6個自由度．

圖 4 機床床頭箱結(jié)構(gòu)受力圖Fig.4 Machine tool headstock structure diagram

床頭箱材料的基本參數(shù)： 鑄鐵材料的密度為7 200 kg/m3， 泊松比為0.25， 彈性模量(E)為1.2×105MPa．

根據(jù)力學分析， 其載荷對機床床頭箱的影響主要在主軸頂尖與靠近頂尖的殼體前板區(qū)域． 根據(jù)圣維南原理， 在彈性結(jié)構(gòu)一塊區(qū)域上的載荷所引起的應力， 在離載荷作用稍遠的地方， 基本上等同于載荷的合力和合力矩． 本文研究的工況為靜力學， 底面的6個自由度已經(jīng)全部約束， 模擬電機的載荷相對較小， 而且加上底端自由度約束的影響， 其合力和合力矩對于主軸和殼體前板的應力影響幾乎為零．

為了驗證該分析的正確與否， 同時進一步簡化優(yōu)化仿真模型， 本次有限元分析中通過三種不同仿真加載方式將電機的力加載于殼體頂板， 同時增加一組電機載荷為零仿真分析作為對比， 三種方案有限元仿真模型如圖 5 所示， 具體試驗方案如下：

方案一： 床頭箱電機的重力和慣性力通過一個等效節(jié)點， 等效節(jié)點與床頭箱殼體之間通過剛性rigid連接來傳遞載荷；

方案二： 床頭箱電機的重力和慣性力通過有限元網(wǎng)格間的節(jié)點， 將載荷均勻分布在該區(qū)域；

方案三： 床頭箱電機的重力用壓力的方式加載于安裝區(qū)域， 根據(jù)壓力公式P=F/S， 每個單元平均施加壓力.

圖 5 三種方案有限元仿真模型Fig.5 Finite element simulation models of three schemes

通過有限元分析軟件Hyperworks進行靜力分析， 在有限元模型中選擇主軸頂尖處相同的節(jié)點提取位移量， 得出了床頭箱的位移云圖和應力云圖， 三種方案的詳細分析結(jié)果數(shù)據(jù)對比如表 1 所示．

表 1 三種方案仿真結(jié)果比較

通過分析結(jié)果對比， 雖然床頭箱電機力的加載方式不同， 但床頭箱的最大位移都集中在主軸頂尖處， 三種方案的位移量相差不大， 且最大應力的區(qū)域也相似， 均分布在床頭箱前板與主軸軸套相配合的凸臺上．

針對機床床頭箱的靜力分析中， 電機的重力和慣性力的合力對于主軸頂尖處的位移和殼體前板應力的影響很小， 符合前期的相關力學分析， 其中方案一是根據(jù)前期力學分析而提出的簡化性方案， 有利于提高優(yōu)化迭代的計算效率， 本文采用方案一的建模方式來進行優(yōu)化分析計算．

2 機床床頭箱結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計

2.1 設計思路與流程

機床床頭箱主要由箱體與主軸系統(tǒng)組成， 其中主軸系統(tǒng)是機床的核心件， 設計影響因素眾多， 不適合作為本次優(yōu)化的目標， 考慮到再設計及生產(chǎn)成本， 輕量化設計在盡量不改變模具、 工藝等情況下， 由板筋件組成的箱體外殼是最佳選擇， 以有限元分析為基礎， 通過優(yōu)化箱體板材的厚度來達到減重的目的[11]．

床頭箱主軸系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)精度和剛度直接影響產(chǎn)品的質(zhì)量， 根據(jù)機床設計手冊機床主軸的回轉(zhuǎn)精度為0.07 mm， 剛度不小于150 N/mm[12]． 根據(jù)前述有限元分析數(shù)據(jù)結(jié)果表明， 最大位移發(fā)生在床頭箱頂尖處， 最大應力分布在殼體前面， 故在后續(xù)優(yōu)化設計中要保證殼體滿足許用應力， 同時主軸頂端處的最大位移不能大于限定值．

根據(jù)以上設計準則， 床頭箱在靜態(tài)工況下的輕量化設計流程如圖 6 所示.

圖 6 結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化流程圖Fig.6 Optimized flowchart of structural dimensions

2.2 靈敏度分析方法

機床床頭箱箱體為殼體模型， 根據(jù)設計方案， 主要是對殼體的尺寸優(yōu)化， 其初始壁厚的尺寸為： 前圈和后圈壁厚為10 mm， 頂板和底板壁厚為20 mm， 前板和后板的壁厚為25 mm， 左側(cè)板和右側(cè)板的壁厚為15 mm． 根據(jù)壁厚對性能的影響劃分為8個設計變量， 如圖 7 所示為X1前板、X2前圈、X3頂板、X4左側(cè)板、X5后圈、X6右側(cè)板、X7后板和X8底板．

圖 7 殼體參數(shù)變量布局Fig.7 Shell parameter variable layout

在結(jié)構(gòu)力學分析中， 定量研究目標函數(shù)、 約束函數(shù)對設計變量的敏感程度稱為靈敏度分析[13-14]． 假設由多參數(shù)定義的目標函數(shù)為f(x1,x2,…,xn)， 那么該函數(shù)f對各個參數(shù)的導數(shù)， 即被稱作該參數(shù)對函數(shù)f的靈敏度， 其數(shù)學表達式為

(1)

式中：uj為第j個響應；xi為響應的第i個設計變量；X0為由設計變量的初始值組成的向量， 通過求解響應的靈敏度， 可以在設計變量的可行域內(nèi)逐步逼近響應的最優(yōu)化解[15]．

針對大型復雜結(jié)構(gòu)設計問題， 靈敏度分析可以看作是確定模型輸出信息與模型輸入信息變化的關鍵技術(shù)， 在建立模型、 檢驗模型、 鑒定模型等方面具有重要的作用， 主要體現(xiàn)在以下幾個方面[16]：

1) 靈敏度分析可確定不同自變量對響應對象影響的重要程度， 從而減少有限元模型的校核次數(shù)， 提高效率；

2) 靈敏度分析可以確定輸入信息的不確定性從而判斷科學假設的真實性；

3) 靈敏度分析可以得到對輸出信息影響較大的輸入?yún)?shù)， 可以從模型中去除不重要的參數(shù)從而簡化模型．

利用Hyperstudy軟件， 基于正交試驗設計進行靈敏度分析， 選擇機床床頭箱質(zhì)量M、 床頭箱主軸頂尖測點位移δ及應力σ為響應量， 獲得機床床頭箱的8個尺寸對以上3個響應量的靈敏度數(shù)據(jù)， 如表 2 所示．

表 2 尺寸變量對于不同響應的靈敏度仿真分析

為了能夠直觀獲得自變量的尺寸變化對不同響應量的影響， 經(jīng)過進一步統(tǒng)計處理， 可得到尺寸變化對該3個響應量的影響百分比， 如圖 8 所示．

圖 8 尺寸變量對于不同響應的影響百分率Fig.8 Size variables have a percentage effect on different responses

通過數(shù)據(jù)分析， 發(fā)現(xiàn)對于位移和應力的影響， 前板X1所占比重最高， 說明靈敏度比較高， 如果改動其值對于位移和應力的影響很大， 但是對于質(zhì)量M的影響不是最主要的， 故不選擇前板X1作為優(yōu)化變量； 對于底板X8， 對質(zhì)量響應的貢獻度很小， 對位移和應力響應的貢獻度比較高， 故也不選擇其為優(yōu)化設計變量． 頂板X3、 后圈X5和后板X7對質(zhì)量的貢獻度比較高， 對于位移和應力的貢獻度比較小， 最終選擇這三個因素進行優(yōu)化．

2.3 優(yōu)化數(shù)學模型的建立

基于輕量化的機床床頭箱優(yōu)化模型中， 以質(zhì)量最小作為優(yōu)化目標， 考慮到結(jié)構(gòu)剛度能反映機床的整體性能， 故數(shù)學模型中以剛度作為其中一個重要約束． 結(jié)合床頭箱的設計要求， 主軸的回轉(zhuǎn)精度為0.07 mm， 床頭箱殼體的材料為灰鑄鐵HT100， 是脆性材料， 以斷裂為主要失效方式， 強度極限σb=100 MPa, 安全系數(shù)nb通常取2～3.5， 故床頭箱的許用應力為[σ]≤50 MPa． 所以靜態(tài)工況下機床床頭箱優(yōu)化的數(shù)學模型表示為

FindX=(x1,…,xi,…,xn)T,

MinimizeM,

s.t.δ(x)≤0.07 mm,

[σ]≤50 MPa,

在HyperWorks中對機床床頭箱結(jié)構(gòu)的箱體厚度進行尺寸優(yōu)化， 結(jié)果7次優(yōu)化迭代后， 位移達到約束值0.07 mm， 取得最優(yōu)解， 停止迭代計算， 具體參數(shù)改變?nèi)绫?3 所示．

表 3 優(yōu)化前與優(yōu)化后的尺寸

將優(yōu)化后的圓整結(jié)果更新到有限元模型中重新計算， 查看優(yōu)化后床頭箱的位移和應力情況． 如圖 9 所示， 優(yōu)化前機床床頭箱結(jié)構(gòu)的最大位移為62.9 μm， 優(yōu)化后的最大位移為69.37 μm<δ=70 μm； 優(yōu)化前的最大應力為46.748 MPa， 優(yōu)化結(jié)構(gòu)的最大應力為47.96 MPa<[σ]=50 MPa， 滿足設計要求．

圖 9 優(yōu)化后機床床頭箱有限元分析Fig.9 The finite element analysis of machine tool headstock was optimized

通過優(yōu)化床頭箱與原床頭箱位移和應力云圖的分析， 優(yōu)化后的床頭箱質(zhì)量減小， 而且位移和應力滿足設計要求． 優(yōu)化后機床床頭箱質(zhì)量減重比達到18.33%， 其優(yōu)化前后質(zhì)量對比如表 4 所示．

表 4 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)質(zhì)量比較

3 結(jié) 論

本文以機床床頭箱結(jié)構(gòu)為例， 提出了一種基于靈敏度分析的床頭箱結(jié)構(gòu)輕量化方法， 研究了有限元分析精度及計算效率的關鍵問題， 獲得了有效的簡化模型， 最后在輕量化目標下進行了尺寸優(yōu)化設計， 獲得可靠的最優(yōu)解， 并通過優(yōu)化前后對比表明， 在保證機床床頭箱性能要求的前提下， 質(zhì)量得到較大下降， 驗證了提出的優(yōu)化方法的可行性， 同時對機床結(jié)構(gòu)進行全面優(yōu)化研究具有一定的指導意義．