浙江省臺州市第一中學(317000)陳亞菲 曹賢鳴

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.[1]在高中數(shù)學課程中，數(shù)形結合思想方法的滲透是落實直觀想象素養(yǎng)的方式之一.數(shù)形結合的思想作為中學數(shù)學教學的重點之一，應用范圍廣，其重要性不言而喻.在教學過程中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結合思想的內涵在教材中沒有直接給出，一定程度上學生對該思想方法的理解與應用是在教師的有意牽引下零散地、被動地進行的，而在應用之后缺少歸納總結與自我內化，因此學生在自主解決數(shù)學問題時不易跳出每階段知識學習的限制，無法巧妙攻破“數(shù)”與“形”的轉換，從而限制了直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng).本文通過“直線與圓的最值問題”的專題復習課，闡述這一問題并反思該如何更好地提高學生直觀想象素養(yǎng)的水平.

一、學情分析

學生于高一階段完成了人教A 版必修一、四、五的學習，本學期學習必修二的內容.不難發(fā)現(xiàn)高一所學習的知識更側重代數(shù)，學生近階段初次開啟解析幾何的篇章——“直線的方程、圓的方程”的學習.在相關作業(yè)批改的過程中，發(fā)現(xiàn)學生在解決數(shù)學問題時有三個明顯的問題：一、作圖能力不強，直線不直、圓不圓等現(xiàn)象直接影響了問題直觀性的體現(xiàn);二、缺乏作圖習慣，利用幾何直觀與數(shù)形結合解決問題的意識薄弱.例如作業(yè)本中的一道習題：若直線y = x+m 與曲線有兩個不同的交點，求實數(shù)m 的取值范圍.對于這樣一個問題，學生更傾向于從代數(shù)角度切入，聯(lián)立方程組消元求解.而在代數(shù)求解的過程中，第三個問題則隨之暴露，作為數(shù)學活動的基本形式，學生的數(shù)學運算能力卻是讓人堪憂.

二、教學設計

本節(jié)復習課以學生暴露出來的問題為基礎，通過針對性的問題進行基礎排查與深化演練.

在簡單地整理了“圓的方程”章節(jié)的基礎知識和常用公式之后，從學生作業(yè)中的錯題出發(fā)，給出相關問題.

題型一已知M(x,y)是圓x2+y2=1 上任意一點，則的取值范圍是____．

問題1已知M(x,y)是圓x2+y2= 1 上任意一點，則的取值范圍是____．

問題2已知M(x,y)是圓x2+y2= 1 上任意一點，則的取值范圍是____．．

設計意圖知識框架是問題解決的基礎，簡單地復習幫助學生明確復習范圍.從學生提出的代數(shù)解法切入，代入消元轉化成方程有解構造不等式求取值范圍.在解題過程中指出易錯點，強調檢驗的必要性與代數(shù)運算的嚴謹性.在總結方法的同時，引導學生觀察代數(shù)式的式子結構，回歸定義，挖掘其幾何意義——斜率.在小結中對比兩種解法的特點與聯(lián)系，加深學生對數(shù)形結合的認識，從而達到以形助數(shù)在本專題巧妙應用的目的.通過兩個變式強化學生對該類代數(shù)式的幾何意義的構造與理解.

題型二如果實數(shù)x,y 滿足x2+y2-2y -4 = 0， 求x2+(y+3)2的最大值．

問題1在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6，P 是△ABC 的內切圓M 上的動點， 求以PA,PB,PC 為直徑的三個圓的面積之和的最小值．

設計意圖在題型一的基礎上，闡明規(guī)規(guī)矩矩的代數(shù)解法仍然適用，引導學生模仿題型一的思路，自主完成從式子結構入手，尋找其幾何意義的過程.旨在讓學生切實體會式與形之間的聯(lián)系，從代數(shù)解法的復雜與繁瑣到幾何解法的直觀簡便中感受數(shù)學直觀在解決幾何問題中的重要性.

題型三如果實數(shù)x,y 滿足x2+y2-2y -4 = 0， 求y-x 的最小值．

問題1求2x-y-8 的最小值.

問題2求|2x-y-8|的最小值.

設計意圖從“截距”模型出發(fā)，熟悉幾何解法之后，在挖掘代數(shù)式幾何意義練習的基礎上加大難度，引導學生通過聯(lián)系“點到直線的距離公式”構造有具體幾何意義的代數(shù)式在進行求解，歸納指出對數(shù)學式子幾何意義的理解切忌浮于表面，同時應在基礎知識學習之初重視式子結構與幾何內涵的認識.

三、教學反思

對于本節(jié)試教課，用代數(shù)與幾何兩個角度分別切入，全程遵循將數(shù)學直觀落到實處， 切實體會“以形助數(shù)， 以數(shù)解形”優(yōu)越性為初衷， 讓學生通過兩種方法的對比， 感受有效“翻譯”題干信息，合理選取適用方法的必要性，通過避開繁瑣計算降低錯誤率，同時通過方法總結與細節(jié)的細致分析來提高代數(shù)運算的準確率.而在實施過程中，更多的感觸是，學生幾何直觀的建立的整個過程，從基礎知識、代數(shù)公式的鞏固，到幾何模型的建立以及幾何意義的構造，都需要學生自主參與，深刻理解其內涵，才能到達運用自如、靈活切換的效果.而對于這樣一節(jié)容量較大的數(shù)學課，學生的課堂小結不佳、動手演練機會不足等問題讓我有了一些新的思考.

早在《給教師的建議》中，蘇霍姆林斯基曾經向我們闡述過：對于數(shù)學學習困難的學生，應該先教會他們“畫”應用題，而直觀手段應使學生把注意力放在最主要、最本質的東西上去.[2]因此，對于這樣一節(jié)復習課，要使核心素養(yǎng)更好地在課堂中落地，就像完成一座“素養(yǎng)城堡”的框架設計、實物搭建與整理美化的過程.首先，相關概念與公式的復習是必要的.學生的知識遺忘現(xiàn)象總是存在的，而課本上的基礎知識是解決運用與拓展問題的根本， 因此系統(tǒng)地梳理相關知識網絡，定好“城堡”搭建框架，為激發(fā)形象思維作鋪墊這一環(huán)節(jié)必不可少.其次，引導學生理解本專題的方法，在理解的基礎上應重視學生思維探索的過程，教師應當留更多的時間與空間給學生，讓他們自主地完成“城堡”搭建的過程，比如“題型一：已知M(x,y)是圓x2+y2=1 上任意一點，求的取值范圍”與“題型三：如果實數(shù)x,y 滿足x2+y2-2y-4=0，求y-x 的最小值．”涉及的幾何模型分別為一條過定點和定斜率的直線，我們是否可以嘗試只講解其中一題，而剩下的一類拋出問題交給學生自己去探索，去填充呢? 畢竟，對于一個復習專題來說，模型個數(shù)有限，重要的是經驗積累的過程，而這樣一個掌握方法、經驗積累與問題解決的過程的反復將促進學生數(shù)學素養(yǎng)的形成.最后，對于這一塊知識整體，學生還需要一個自我整理與完善的過程，一股腦地接收就像“城堡”里突然被塞入許多有用的東西，而雜亂無章使得它們該有的價值沒有得到體現(xiàn)，因此，學生需要根據自己的學習習慣總結模型與方法歸類，使其內化為自己所有，同時加深對模型內涵的理解，減少遺忘.

“數(shù)缺形時少直觀;形缺數(shù)時難入微.”數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，要更好地落實直觀性教學，理應建立在扎實的代數(shù)功底基礎上，因此在數(shù)形結合思想滲透過程中，代數(shù)解法中的條件分析、代數(shù)運算、結論檢驗等環(huán)節(jié)不可輕視，更何況幾何解法提供的是過程的直觀，問題解決仍然避不開少量的代數(shù)運算.而從數(shù)到形的過程應當是建立在邏輯推理基礎之上的等價轉化，為了體現(xiàn)直觀性，適當?shù)厥褂枚嗝襟w進行輔助教學可以提高課堂效率，在學生腦海中建立起抽象概念與具體圖像的聯(lián)系.多媒體之所以是輔助，是因為信息化帶來地快節(jié)奏課堂限制了學生自身的直觀想象能力的培養(yǎng)，作圖等基本能力培養(yǎng)不到位的問題已越來越突出，換言之，學生缺少直觀想象的實戰(zhàn)經驗，因此規(guī)范作圖應列為幾何新授課的教學目標之一.在這整個思維探索的過程最后，還需培養(yǎng)學生歸納總結的能力，集中類型進行學習、訓練和反饋，有意識地完成“精準代數(shù)解釋”到“幾何直觀刻畫”的操作性條件反射的學習過程.直觀想象的素養(yǎng)培養(yǎng)不會孤立于知識學習與方法積累而存在，因此，遵循“框架梳理——代數(shù)分析——幾何刻畫——以數(shù)解形——歸納總結”這一思路的教學設計是落實直觀想象、代數(shù)運算、邏輯分析等素養(yǎng)培養(yǎng)的方式之一.