李巖 李翔宇 于道洋

摘 要：電容層析成像具有非侵入、抗干擾、安全性好等一系列優(yōu)點。但以往ECT系統(tǒng)僅能獲得流體二維成像圖形，再通過二維截面累加形成三維圖像，并不是實際意義上的三維圖像。針對這個問題，從理論分析角度，運用數(shù)值分析與泛函建立三維ECT數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB腳本程序?qū)?shù)學(xué)模型的結(jié)果進行計算，并與ANSYS仿真結(jié)果進行比對。實驗結(jié)果證明三維ECT數(shù)學(xué)模型計算結(jié)果能夠滿足工程應(yīng)用的要求。

關(guān)鍵詞：電容層析成像;三維ECT數(shù)學(xué)模型;等價變分;伽遼金加權(quán)余數(shù)法;有限元分析

DOI：10.15938/j.jhust.2019.05.020

中圖分類號： TP391.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）05-0122-06

Abstract：Electrical capacitance tomography （ECT） has many advantages， such as non-invasion， anti-interference， and security. In the past， the ECT system can only obtain two-dimensional images of fluid， and the three-dimensional images formed by the accumulation of two-dimensional cross sections are not three-dimensional images in actual sense. To solve this problem， this paper from the view of theoretical analysis， used numerical analysis and functional to establish a 3D mathematical model of ECT. Meanwhile we utilized the MATLAB script to calculate the results of the mathematical model， and compared with the simulation results of ANSYS. The experimental results show that the 3D ECT model can meet the requirements of Engineering applications.

0 引 言

通常將科學(xué)研究以及工程應(yīng)用中的問題分成兩大類：正問題（也稱正演問題）和逆問題（也稱反問題或反演問題）[1-3]。正問題（forward problem or direct problem）是指對于某些物理過程或現(xiàn)象，若已知該物理過程的分布，可根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的某些特性條件（如初始條件或邊界條件等）確定整個系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化規(guī)律;而逆問題（inverse problem）則是指依據(jù)觀測數(shù)據(jù)和模型反演確定被研究對象的模型參數(shù)[4]。

對于ECT正問題通常是指在采用狄利赫利（Dirichlet）第一類邊界條件，且已知空間內(nèi)任意一點的介電常數(shù)分布函數(shù)ε（x，y，z）的條件下，利用有限元法及變分原理求解電勢分布函數(shù)（x，y，z）的過程。

1 ECT系統(tǒng)敏感場數(shù)學(xué)原理

由于ECT系統(tǒng)為敏感場，測量值受多相流介電常數(shù)分布函數(shù)的影響[5]。傳感器的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性和被測場域內(nèi)的介電常數(shù)部分不規(guī)則，解析法和有限元差分法不適合ECT正問題的研究，而有限元法既能求解非均勻線性電位場，也可求解似穩(wěn)場，只要網(wǎng)格劃分精細(xì)，即可獲得較精確的數(shù)值解，進而從電位值求出電容的自容和互容值[6]。

因此本文采用有限元法，利用泛函的變分公式將電勢分布函數(shù)（x，y，z）離散成適合計算機求解的矩陣形式，并利用伽遼金法（Galerkin）在一定間隔內(nèi)消除誤差，提高解的精度。

由麥克斯韋電磁場方程可知， ECT為靜電場模型，且場域內(nèi)不存在自由電荷，即電位移矢量的散度處處為零，敏感場內(nèi)任一點滿足[7-8]：

2 三維ECT系統(tǒng)正問題的研究

在文[6]和文[10]中，分別對ECT一維與二維的泛函變分問題和有限元法進行了詳細(xì)的論述。本節(jié)即在兩部專著的基礎(chǔ)上，針對ECT傳感器正問題的三維數(shù)學(xué)模型進一步論述。

2.1 等價變分問題

先考慮一般情況，下列二階微分方程式：

2.2 有限單元法

針對其他形式單元格有限元計算結(jié)果精度低，求解速度慢等問題，本節(jié)論述了10節(jié)點的四面體單元的有限元求解方法。對于ECT而言，電勢分布函數(shù)中的每個節(jié)點只有電勢一個自由度[10]，因此對于ECT用10節(jié)點四面體單元描述電勢變化的插值函數(shù)可以表示為：

2.3 區(qū)域離散法矩陣參數(shù)的確定

余差方法需要在一定范圍內(nèi)消除余差，因此在整個系統(tǒng)內(nèi)，余差和應(yīng)該為0，則整理式（14）可得：

式中，上角標(biāo)e為有限元網(wǎng)格劃分后的第e個單元格，其他符號同式（15）。

由于系統(tǒng)剛度矩陣K，電勢向量與加載向量b待定。需要引入二維區(qū)域離散劃分中提出的局部編碼和全局編碼的概念[14]。假設(shè)水放置在12×12×12mm3的立方體容器內(nèi)，且容器壁厚度為0。每個單元網(wǎng)格為1×1×1mm3的立方體。在局部編號中，選擇左下角的單元格編號為1的節(jié)點作為坐標(biāo)原點。局部編號方式形如n（1，1，1，1），其含義為單元格位置處在i軸方向第1個單元格，j軸方向第1個單元格，k軸方向第1個單元格的節(jié)點編號為1的節(jié)點。

全局編號中，選擇左下角的點作為1號節(jié)點，根據(jù)20節(jié)點六面體單元的節(jié)點劃分，i軸上節(jié)點編號依次為1，2，…，25，剩下的編號以此類推。全局編號如圖1所示。

2.4 靜電儲能求解電容值

在工程上計算電容值總體來說有兩種計算方法，一種是矩量法，另一種為集總電容法[15-18]。但在ECT系統(tǒng)中，一是無法確定帶電極板的電荷量，二是集總電容法相對于靜電儲能法計算精度較低[19]。所以在計算ECT系統(tǒng)電容值時，采用靜電儲能法。

3 三維ECT系統(tǒng)正問題仿真分析

為了進一步驗證數(shù)學(xué)模型建立的空間電勢函數(shù)是否與仿真結(jié)果相符，設(shè)計如下實驗：利用ANSYS軟件對管道內(nèi)的流型進行數(shù)值模擬，通過對比數(shù)學(xué)模型的Matlab計算結(jié)果，證明數(shù)學(xué)模型是否正確。

3.1 ANSYS正問題簡化模型仿真

傳感器方面則采用3組軸向極板組，且每組軸向極板組中有8個徑向電極，每組中的兩個電極放置在六面體的一個面上，總計3組24個電極板。一個作為激勵電極，其余作為檢測電極，檢測電極極板接地。

圖2為APDL中的模型結(jié)構(gòu)、網(wǎng)格劃分和加載電壓分布的示意圖。模型邊長為12×12×12mm3，劃分網(wǎng)格時每條邊平均分成12份，在APDL中映射體形成網(wǎng)格。3組軸向電極組分布如下圖所示，其中極板長寬為4×2mm2，相鄰極板間隔2mm，激勵極板電壓為24V其余檢測極板電壓為0V，表示極板接地。同時假設(shè)理想水立方體絕對絕緣，即立方體內(nèi)不存在自由電荷。

全水的條件下，實驗結(jié)果是沿中截面對稱的，因此實驗提取18個特殊位置點的電勢值。同時提取激勵電極與其他檢測電極的電容值，共23組。圖3為提取的電勢編號P、電場的節(jié)點編號F及各極板編號B，其中B1為激勵電極。圖中實線與實心點表示為立方體在此位置下所能觀察到的節(jié)點與極板，虛線與空心點表示立方體背面觀察不到的節(jié)點與極板。

激勵電極與各檢測電極之間的互容如下表1所示，編號B1-BX（X=2，3，…，24）表示激勵極板與第X號檢測極板之間的電容值記錄1號激勵極板與其他檢測電極的電容值如表1所示。

3.2 MATLAB數(shù)學(xué)模型的驗證

采用MATLAB作為驗證工具主要因為其強大的腳本語言、完備的符號微積分計算與稀疏矩陣存儲方式和奇異值分解函數(shù)[20]。

由于假設(shè)水立方絕緣，內(nèi)部不存在自由電荷。真空介電常數(shù)ε0=8.8541878F/m，水的相對介電常數(shù)為εw=78.36，單元格邊長為1mm。根據(jù)電勢求解方程，編寫MATLAB腳本語言， MATLAB計算程序的流程如圖4所示。利用靜電儲能法求解電容值，互容計算結(jié)果如表2所示。

通過對比表1與表2的各組數(shù)據(jù)， MATLAB的程序自容和互容的計算結(jié)果與ANSYS的計算結(jié)果基本一致，最大誤差在0.375%。

4 結(jié) 語

本文中完成了對三維ECT系統(tǒng)正問題的研究，主要完成了對以下幾個方面的探討：

1）數(shù)學(xué)模型的建立。利用麥克斯韋電磁方程組、有限單元法、泛函中的等價變分問題以及數(shù)值分析中的伽遼金加權(quán)余數(shù)法等一系列數(shù)學(xué)方法，求解出三維ECT系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

2）重要參數(shù)的求解方法。利用區(qū)域離散法，以及靜電儲能法給出電勢、電容等參數(shù)的求解方法。為下一步樣本的自動計算提供基礎(chǔ)。

3）數(shù)學(xué)模型的驗證。首先利用ANSYS對簡化的三維ECT模型進行求解，求出電勢以及各極板之間的電容值。然后編寫MATLAB腳本程序?qū)?shù)學(xué)模型進行驗證，結(jié)果能夠證明ANSYS與MATLAB計算結(jié)果的相符。優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，提高運算效率是下一步研究的重點

參 考 文 獻(xiàn)：

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（編輯：溫澤宇）