王開宏

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,湖北武漢 430072)

1 引言

確定最優(yōu)投資組合的準(zhǔn)則一直是人們關(guān)注的熱點,可能最早的理論是由Bernoulli提出的期望財富最大化準(zhǔn)則,類似的還有對數(shù)財富最大化、財富增長率最大化和Kelly投資策略.MacLean等[1]指出Kelly投資策略從沒有提到破產(chǎn)風(fēng)險,但通常情況這種策略會使投資者承擔(dān)失去本金的較大風(fēng)險.傳統(tǒng)方法還包括期望效用最大化的準(zhǔn)則,在這個準(zhǔn)則下,首先要明確代表投資者偏好的效用函數(shù),顯然這是帶有一定主觀性并且很難準(zhǔn)確估計的.同時,面對不同規(guī)模的風(fēng)險選取合適的效用函數(shù)類型來計算也是比較困難的.

鑒于之前準(zhǔn)則的缺陷,Browne[2,3]對于連續(xù)時間的投資行為,提出了赤字概率最小化準(zhǔn)則,并且與標(biāo)準(zhǔn)的冪效用函數(shù)準(zhǔn)則作了對比,發(fā)現(xiàn)冪效用函數(shù)最大化和赤字概率最小化是可以同時實現(xiàn)的.Stutzer[4,5,6]建立了新的投資準(zhǔn)則,提出在相當(dāng)長的投資期限內(nèi),選取一個投資組合,使得期望收益率小于目標(biāo)收益率的概率衰減到0的衰減速率達(dá)到最大,以此作為最優(yōu)投資組合,這個準(zhǔn)則簡稱衰減速率準(zhǔn)則.并且證明了當(dāng)不同時刻的投資組合收益率獨立同分布時,這樣的最優(yōu)投資組合對于任何期限T,相比其他投資組合,收益率小于目標(biāo)收益率的概率都是最小的.Stutzer開創(chuàng)性地將大偏差方法引入到了最優(yōu)投資組合的研究中,通過大偏差方法計算得到衰減速率準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資組合.而Chu[7]從另外的角度,利用大偏差方法研究了證券組合包含的資產(chǎn)種類充分大情況下的最優(yōu)投資組合,計算了資產(chǎn)種類為有限個時的赤字概率上界.并且研究了資產(chǎn)間的非線性相關(guān)關(guān)系對于最優(yōu)投資組合和赤字概率上界的影響.

Pham[8,9]提出了連續(xù)時間下客觀的最優(yōu)投資組合準(zhǔn)則,即在時間充分大的條件下,使得真實收益率大于目標(biāo)收益率的概率達(dá)到最大的投資組合.將這個問題歸結(jié)為大偏差控制問題,證明了在一定條件下可以將大偏差控制問題轉(zhuǎn)化為它的對偶問題進行求解,而它的對偶問題是一個在對數(shù)矩母函數(shù)最大值處的遍歷風(fēng)險敏感度控制問題,具體給出了最優(yōu)投資組合的確定方法,并且研究了模型在邊界點的最優(yōu)投資組合.

關(guān)于相依隨機序列的大偏差,Schonmann[10]證明了弱混合有界平穩(wěn)序列滿足大偏差原理,Yakimavichyus[11]證明了一維的一致強混合序列滿足大偏差原理,Bryc[12]在前人研究的基礎(chǔ)上證明了有界φ混合平穩(wěn)序列和有界ψ混合平穩(wěn)序列滿足大偏差原理.但這些研究都是基于有界隨機變量進行的.

基于前人的研究,在離散時間下,投資者將財富投資于兩類資產(chǎn):風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn),風(fēng)險資產(chǎn)價格的增長率獨立同分布,每個時刻的最優(yōu)投資組合依賴于前一時刻風(fēng)險資產(chǎn)價格的變動表現(xiàn),在這種情況下,本文結(jié)合引理3.2,通過借鑒Bryc[12]的定理4的證明思路并且運用分塊法思想、Hlder不等式、函數(shù)的凹凸性性質(zhì)等技巧,給出了時均對數(shù)收益率滿足大偏差原理的證明,定理不需要隨機序列有界的假設(shè).

基于投資組合固定不變的假設(shè),利用MATLAB計算了風(fēng)險資產(chǎn)價格服從兩點分布時的最優(yōu)投資組合;接著以投資組合是前一時刻風(fēng)險資產(chǎn)收益率的線性函數(shù)為假設(shè),利用MATLAB計算了風(fēng)險資產(chǎn)價格服從均勻分布時的風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資比例函數(shù).

2 大偏差準(zhǔn)則

基于投資期限充分長的假設(shè),利用大偏差方法建立一個最優(yōu)投資組合的確定準(zhǔn)則,這個準(zhǔn)則與個人偏好無關(guān).假設(shè)在離散時間下,財富只投資于兩種資產(chǎn):風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn),并且假定風(fēng)險資產(chǎn)價格的增長率是i.i.d.的,即為獨立同分布的,認(rèn)為每一時刻的投資組合只與前一時刻風(fēng)險資產(chǎn)價格的增長率有關(guān),建立模型

風(fēng)險資產(chǎn):Sn=Sn?1ξn,ξn～f(x),n=1,2,3···;

其中Sn表示n時刻風(fēng)險資產(chǎn)的價格,S0表示風(fēng)險資產(chǎn)的初始價格,ξn表示n時刻風(fēng)險資產(chǎn)價格的增長率,f(x)為ξn的概率密度函數(shù),表示n時刻無風(fēng)險資產(chǎn)的價格,r為無風(fēng)險利率.

用π(ξn?1)表示n時刻投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例,它是前一時刻資產(chǎn)價格增長率的函數(shù),Xn表示n時刻投資者的財富,于是有

其中X0,π0為常數(shù),從而有

對(2.1)式兩邊取對數(shù),有

前n項連加,得到

定義n時刻財富Xn的對數(shù)增長率

其中

定義0到n時刻之間的平均對數(shù)增長率

考慮投資期限充分長的條件下,給定一個目標(biāo)增長率l,在投資組合集里尋找能使以下概率達(dá)到最大的組合作為最優(yōu)投資組合.如果滿足大偏差原理,則可以建立最優(yōu)投資組合的大偏差準(zhǔn)則

可以看出,這個準(zhǔn)則只依賴于客觀的概率P和目標(biāo)增長率l,與效用函數(shù)無關(guān),并且是在投資期限充分大的情況下確定的.

3 時均對數(shù)收益率的大偏差定理

定義3.1[13]設(shè)G是C(E)中一個子集,稱G為一個分離類,若

(i)G包含所有常值函數(shù);

(ii)G對有限逐點下端運算封閉,即g1,g2∈G?g1∧g2∈G;

(iii)G分離E中的點.即若x,y∈E且則對任意a,b∈R,?g∈G使g(x)=a,g(y)=b,

其中C(E)表示E上實值連續(xù)函數(shù)的全體.

引理3.2設(shè)(με,ε>0)是Polish空間E上一族指數(shù)胎緊概率測度,設(shè)G是E上一個分離類,假若對任意g∈G,

存在,則對任意φ∈Cb(E),Λ(φ)存在,令

則{με,I,λ(ε)}滿足LDP,I下緊,其中Cb(E)表示E上有界實值連續(xù)函數(shù)的全體.

定理 3.3?θ,假定E(eθξi)<∞,則

存在,且對任何閉集F,

對任何開集G,

其中Iπ(x)=sup[θx?Γ(θ,π)].即在風(fēng)險資產(chǎn)價格增長率獨立同分布,投資決策只依賴于前一時刻風(fēng)險資產(chǎn)價格的變動表現(xiàn)的情況下,時均對數(shù)收益率滿足大偏差原理.

證令

其中R?表示R上線性有界泛函的全體.

證明對于任意θ∈G,極限

考慮分塊法,對n≥1,有n=k(M+1)+l,0≤l≤M+1,k=k(n)=[n/(M+1)],l=n?k(M+1),有

從而Zn可以表示為凸組合

由θ(x)的凹性

由θ(x) 的定義,?a>0,有,從而有

結(jié)合(3.1)式,因此有

另一方面,Zk(M+1)可以表示為凸組合

令

令

由θ(x)的凹性有

同理利用θ(x)的定義,有

結(jié)合(3.3)式,可以推出

結(jié)合(3.2)式,有

其中

由于風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例π(ξi?1)有界,所以有Eeθ(Yi)<∞,l≤M+1,所以

由于

對于θ(Yj(M+1)),總能找到常數(shù)cj和常數(shù)dj,使得,所以有

因此有

結(jié)合 (3.4)–(3.6) 式,得到

由于

故有

因此有

再證{μn,n>0}指數(shù)胎緊.其中對集合.?M∈[0,∞),?α>0,有

1)顯然,G?C(R)且包含所有常值函數(shù);

2) 假設(shè)θ1,θ2∈G,

其中d=d1+d2,

因此G對有限逐點下端運算封閉得證;

得到λ1∈R?,因此G分離R中的點得證.由引理3.2,的大偏差原理成立.

4 最優(yōu)投資組合的確定

給定π,給定一個目標(biāo)收益率l,要求,平均增長率的速率函數(shù)Iπ(?)是Γ(?,π) 的 Legendre 變換Iπ(l)=I(l,π)=supθ[θl?Γ(θ,π)].由定理 3.3 得到

因此有

定義

引理4.1[9]假定Λ+在上是有限且可微的,其中是區(qū)間(0,∞]中的某個實數(shù),?θ∈(0,θ),存在 Λ+(θ)的解(θ),則對于所有的,有,并且當(dāng)時,ν(l)的最優(yōu)控制為,當(dāng)時,ν(l)=0的近似最優(yōu)控制為

此時有

引理4.1說明了收益率高于目標(biāo)收益率的概率最大化的大偏差控制問題,在一定條件下可以通過它的對偶控制問題予以求解.可以看到,當(dāng)目標(biāo)收益率l小于時,此時ν+(l)=0,也就是說,在投資期限充分長的情況下,投資者的實際收益率高于目標(biāo)收益率的概率幾乎為1,這時的近似最優(yōu)投資組合與目標(biāo)收益率無關(guān).而當(dāng)目標(biāo)收益率l介于和Λ0+(θ)之間時,最優(yōu)投資組合由目標(biāo)收益率決定.當(dāng)時,對于所有的l都可以得到準(zhǔn)確的最優(yōu)投資組合;而當(dāng)時,若,這時無法確定最優(yōu)投資組合.

以風(fēng)險資產(chǎn)價格增長率ξ服從二點分布,投資組合固定不變?yōu)槔M行計算,假定無風(fēng)險利率r=0.02,ξ的概率分布為

則

Λ+(θ)在 [0,1)上是可導(dǎo)的,,根據(jù)引理4.1,

圖1:風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資比例曲線

接著以每一時刻的投資組合依賴于前一時刻的資產(chǎn)價格變動表現(xiàn)為假設(shè),做模擬計算,假設(shè)風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例π是前一時刻風(fēng)險資產(chǎn)收益率的線性函數(shù),即

令初始時刻風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例π1=0.3,對

進行數(shù)值計算.

假設(shè)ξi服從區(qū)間[0.9,1.1]的均勻分布.根據(jù)引理4.1,對于收益率高于目標(biāo)收益率的概率最大化投資準(zhǔn)則,θ∈[0,1),在每一個θ下,關(guān)于a、b取Γ(θ,π)的最大值,在這些最大值中,再關(guān)于θ取[supπΓ(θ,π)?θl]的最小值,其對應(yīng)的線性函數(shù)即為最優(yōu)投資組合的確定方法.選取無風(fēng)險利率r=0.02,設(shè)定目標(biāo)收益率l=0.07,對a以0.02為步長在區(qū)間[-4.5,-3.6]選取46個值,對b以0.02為步長在區(qū)間[3.6,4.5]選取46個值,對θ以0.02為步長在區(qū)間[0.05,0.95]選取46個值,計算得到風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例函數(shù)為