劉園園，賀興時

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

0 引言

中國證券市場于20世紀末逐漸形成，經(jīng)過20多年的發(fā)展，已成為國民經(jīng)濟發(fā)展的重要組成部分。[1]隨著國民經(jīng)濟的發(fā)展以及人們對投資理財?shù)闹匾暎善蓖顿Y受到越來越多的關(guān)注，因其收益比較高，并且股票的投資門檻較低，對于投資者來說是一個不錯的投資渠道，故逐漸成為大多數(shù)人的投資理財方式之一。然而國內(nèi)股市發(fā)展時間較短，各類規(guī)章制度尚不夠完善。加之股市是一個極其復(fù)雜的非線性時變動態(tài)系統(tǒng)，股票價格受各種宏觀、微觀因素以及突發(fā)事件的影響[2]，股價的走勢往往呈現(xiàn)出較強的非線性特征。為了降低投資風(fēng)險，保證穩(wěn)定的投資收益，人們迫切需要一種合理的、有效的方法來掌握股價的變化規(guī)律，并預(yù)測其走勢[3]，因此研究股票市場，構(gòu)建一種高效的股價預(yù)測模型，具有十分重要的現(xiàn)實意義。

股票預(yù)測即以股市信息及統(tǒng)計資料為依據(jù)，運用數(shù)學(xué)方法預(yù)測未來的股票價格。雖然學(xué)術(shù)界提出了多種方法來預(yù)測股價，如多元回歸、時間序列法、混沌理論、證券投資分析法等[4-7]，但由于諸多內(nèi)部、外部因素的影響，致使股票預(yù)測時存在很多難點[8]，如存在高噪聲數(shù)據(jù)、股價波動呈非線性特點及投資者意向的不確定性，因此傳統(tǒng)的線性分析方法在解決此類非線性問題時有一定的局限性，預(yù)測結(jié)果難以令人滿意。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性關(guān)系映射能力極強[9-10]，不需要構(gòu)建非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型或顯示數(shù)學(xué)解析式，便能夠?qū)崿F(xiàn)任意維數(shù)向量之間的映射關(guān)系，非常適用于對股市等非線性系統(tǒng)的預(yù)測，其中BP(Back Propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在此方面表現(xiàn)出了極其強大的能力。它不僅能夠?qū)⒂嘘P(guān)經(jīng)濟活動類的知識從歷史數(shù)據(jù)中自動提取出來，還能夠克服傳統(tǒng)的定量預(yù)測方法中存在的諸多局限及困難，同時也能夠避免人為因素的影響。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢雖然明顯，但也存在著諸多不足，如BP調(diào)整其權(quán)、閾值采用的是梯度下降法，這樣會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢且易陷入局部極小值點。因此，學(xué)者為了彌補算法自身的缺陷，將兩種以上的算法結(jié)合到一起，規(guī)避算法缺陷，凸顯算法優(yōu)勢。目前主要研究成果有以下幾個方面：許曉兵等人[11]提出將小波變換和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的股價預(yù)測算法，對股票價格先去干擾再預(yù)測，能夠提高預(yù)測精度，但去干擾的參數(shù)選擇對于股價的預(yù)測影響較大。尹璐[12]提出了一種利用遺傳算法優(yōu)化BP網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值，從而實現(xiàn)股價預(yù)測和發(fā)掘。但大量實驗表明，隨著時間的推移，該算法模型易使算法的絕對誤差呈上升趨勢變化。劉媛媛等人[13]提出了一種將遺傳算法與BP網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的算法，能夠提高收斂速度、改善尋優(yōu)精度，從而提高預(yù)測精度。Huang Fu-Yuan等人[14]提出了一種利用蜂群算法來優(yōu)化模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的股價預(yù)測算法，該算法提高了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測性能。

智能算法近年來受到諸多學(xué)者的關(guān)注，如遺傳算法、蟻群算法、布谷鳥算法、螢火蟲算法等，其中螢火蟲算法(Firefly Algorithm,FA)[15]概念簡單，流程清晰，需要調(diào)整的參數(shù)較少，收斂速度較快，同時搜索精度較高，更加容易實現(xiàn)。本文在詳細研究了標準BP算法和標準FA算法原理的基礎(chǔ)上，針對FA算法存在的缺陷，通過將混沌優(yōu)化方法應(yīng)用到螢火蟲算法中，并對螢火蟲算法中的步長因子進行自適應(yīng)調(diào)整，提出了一種自適應(yīng)螢火蟲優(yōu)化算法(SFA)；針對BP算法的不足，提出了利用自適應(yīng)的螢火蟲算法優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，改善股票的預(yù)測精度、提高BP算法的收斂速度，據(jù)此對4種股票指數(shù)走勢進行預(yù)測。通過與傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、基于FA算法的BP網(wǎng)絡(luò)模型(FA-BP)對比，發(fā)現(xiàn)基于SFA算法的BP網(wǎng)絡(luò)模型(SFA-BP)明顯優(yōu)于另外兩種模型，能有效預(yù)測股票價格。

1 FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

1.1 螢火蟲算法

螢火蟲算法(FA)的核心思想是通過亮度比較來調(diào)整位置、更新數(shù)據(jù)，即亮度大的螢火蟲吸引亮度小的螢火蟲向其移動，同時兩者均更新自身位置。故亮度、吸引度、位置更新公式為螢火蟲算法中的幾個要素。 當(dāng)螢火蟲i的亮度大于螢火蟲j的亮度時，螢火蟲j向i移動。故有如下定義：

(1)螢火蟲i對j的相對亮度為：

(1)

其中：Ii為螢火蟲i的最大熒光亮度；γ為光強吸收系數(shù)，通常設(shè)為常數(shù)；rij為螢火蟲i到j(luò)的空間距離。

(2)螢火蟲i對j的吸引力為：

(2)

其中：β0為在光源(r=0)處的吸引力，是最大吸引力。

(3)螢火蟲j向i移動并進行位置更新，螢火蟲j的位置更新公式如下：

Xj(t+1)=Xj(t)+βij(Xi(t)-Xj(t))+α(rand-1/2)。

(3)

其中：t為迭代次數(shù)；Xi、Xj表示螢火蟲i與j的空間位置；步長因子α為[0，1]上的常數(shù)；rand是[0,1]上的隨機因子，且服從均勻分布。 由于其他螢火蟲無法吸引最亮的螢火蟲，故最亮的螢火蟲位置更新公式不能按式(3)執(zhí)行。

下面給出最亮螢火蟲位置更新公式：

XB(t+1)=XB(t)+α(rand-1/2)。

(4)

基本螢火蟲算法步驟如下：

Step 1：設(shè)置相關(guān)參數(shù)，隨機初始化n個候選解作為螢火蟲的初始種群。

Step 2：計算適應(yīng)度值，更新空間位置，重新計算各螢火蟲的亮度、吸引度，計算移動到的新位置。

Step 3：評估新解，更新螢火蟲熒光亮度，排列各螢火蟲，并且找出當(dāng)前最優(yōu)解。

Step 4：移動最亮螢火蟲。

Step 5：判斷是否滿足迭代結(jié)束條件：若滿足，轉(zhuǎn)至Step 6；若不滿足，轉(zhuǎn)至Step 2。

Step 6：輸出結(jié)果。

1.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為目前應(yīng)用最為廣泛的一項人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16-18]，是基于反向傳播的多層前饋式網(wǎng)絡(luò)，其特點是信號正向傳播、誤差反向傳播。BP網(wǎng)絡(luò)一般為三層結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)，即輸入層、輸出層和隱含層，隱含層可為單層或多層。各層間的神經(jīng)元僅和相鄰層神經(jīng)元之間通過權(quán)值傳遞信息，同層神經(jīng)元之間無連接。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的輸入層神經(jīng)元個數(shù)、隱含層神經(jīng)元個數(shù)、輸出層神經(jīng)元個數(shù)分別為n、m、s，則BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)即為：n-m-s。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法步驟如下：

Step 1：初始化各層之間的連接權(quán)值、閾值，ωij為輸入層和隱含層間的連接權(quán)值，ωki為隱含層和輸出層間的連接權(quán)值，θi為隱含層閾值，αk為輸出層閾值，均取[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機值。

Step 2：選擇一個樣本作為輸入樣本xj進行訓(xùn)練，則隱含層第i個節(jié)點的輸入變量zi、輸出變量yi如下：

(5)

(6)

Step 3：通過確定隱含層輸出變量yi，則輸出層第k個節(jié)點處的輸入變量mk、輸出變量nk、輸出變量與實際輸出值Ok的均方差E如下：

(7)

nk=ψ(mk)，

(8)

(9)

Step 4：比較E的值與訓(xùn)練目標誤差值的大小：若小于誤差值，則返回Step 2，選擇下一個樣本；反之進行誤差反向傳播，修正各層連接權(quán)值、閾值，直至滿足誤差要求。其中應(yīng)用梯度下降法獲得權(quán)值的學(xué)習(xí)率η的修正公式如下：

(10)

其中：

(11)

(12)

則輸出層的權(quán)值修正公式如下：

Δωkj=-?(Ek-nk)ψ′(mk)yi。

(13)

同理，可得閾值的修正公式。隱含層的權(quán)值、閾值修正公式亦可得。

Step 5：選擇下一個樣本，返回Step 2繼續(xù)訓(xùn)練，直至將所有樣本訓(xùn)練完。

1.3 FA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于梯度下降法獲得的權(quán)值和閾值，是隨機的，且收斂速度較慢，易陷入局部極小值點。而通過BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和螢火蟲算法相結(jié)合的方法(FA-BP)可以在一定程度上改善BP算法的不足。其基本思想是：首先由輸入和輸出的參數(shù)將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)加以確定，這樣也就能夠?qū)⑽灮鹣x算法內(nèi)每個螢火蟲個體的編碼長度加以確定。每個螢火蟲個體都包含了BP網(wǎng)絡(luò)的所有權(quán)值、閾值，且螢火蟲個體的維度與BP網(wǎng)絡(luò)中起作用的權(quán)值和閾值的總個數(shù)相對應(yīng)。再根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算每個螢火蟲個體的適應(yīng)度值，并且進行迭代，更新亮度、吸引度、位置等信息，找到最優(yōu)個體，然后將得到的螢火蟲個體信息給BP網(wǎng)絡(luò)賦值，作為其初始權(quán)值和閾值，最后通過BP算法進行股價預(yù)測，從而得到精確度較高的預(yù)測結(jié)果。

但是，傳統(tǒng)的螢火蟲算法存在對初始解較為依賴、迭代后期收斂速度較慢、搜索精度不高等缺陷。為解決這些問題，提高算法的全局搜索效率，本文提出了一種利用自適應(yīng)的螢火蟲算法來優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法，并構(gòu)建了模型(SFA-BP)，從而獲得最優(yōu)的初始權(quán)值和閾值，提高預(yù)測精度。

2 自適應(yīng)螢火蟲算法(SFA)

2.1 混沌映射

混沌是一種復(fù)雜的非線性系統(tǒng)動態(tài)行為，因其具有對初值敏感依賴性、遍歷性、隨機性等優(yōu)點，近些年得到廣泛關(guān)注，還被廣大學(xué)者應(yīng)用到啟發(fā)式算法中，將其與啟發(fā)式算法相結(jié)合，提高算法的尋優(yōu)性能?；舅枷胧前褍?yōu)化變量空間通過混沌映射線性地映射到混沌變量中，再根據(jù)混沌變量的遍歷性、隨機性進行優(yōu)化搜索，最后將得到的解線性地轉(zhuǎn)化到優(yōu)化變量空間。

Tent映射混沌序列分布均勻，并且搜索效率較高，有更快的收斂速度，其數(shù)學(xué)表達式為：

(14)

該映射經(jīng)貝努力移位變換后數(shù)學(xué)表達式為:

xn+1=(2xn)mod 1。

(15)

2.2 Tent混沌優(yōu)化

利用混沌序列優(yōu)化螢火蟲算法已經(jīng)受到眾多學(xué)者的研究，本節(jié)利用Tent映射具有更好的遍歷均勻性及更快的搜索速度的特點，優(yōu)化螢火蟲算法，其基本思想如下：

(1)利用Tent映射初始化種群。利用Tent映射隨機產(chǎn)生分布均勻的初始種群，這樣既能保證初始種群個體的隨機性，又能使種群多樣性得以提升，從而提高算法的收斂速度。

(2)自適應(yīng)動態(tài)調(diào)整較優(yōu)解混沌搜索。本文假設(shè)算法第i只螢火蟲在尋優(yōu)時出現(xiàn)停滯。對當(dāng)前進化第t代的所有螢火蟲按適應(yīng)值從大到小排序，取前百分之p個個體n(其中p=5)，分別求出這n只螢火蟲第d維的最小值Xdmin和最大值Xdmax作為混沌搜索空間。并從這n只螢火蟲中隨機選擇1個螢火蟲位置XB作為基礎(chǔ)解，產(chǎn)生Tent混沌序列，進而用產(chǎn)生的混沌序列中的最優(yōu)解更新螢火蟲位置，使算法跳出局部最優(yōu)。

利用Tent映射對種群中較優(yōu)解進行局部搜索的主要步驟如下：

Step 1：在螢火蟲種群Xi(i=1,2,…,n)中，從前百分之p個個體當(dāng)中隨機選擇一個螢火蟲位置XB作為基礎(chǔ)解。

Step 2：利用式(16)將XB映射到(0,1)，其中i=1,2,…,n；d=1,2,…,D。

(16)

(17)

Step 5：計算XC的適應(yīng)度值，并與XB的適應(yīng)度值作比較，保留最好的解。

Step 6：如果達到最大混沌迭代次數(shù)，運行結(jié)束，否則轉(zhuǎn)至Step 3。

2.3 選擇策略

錦標賽選擇策略是一種基于局部競爭機制的方法，即從種群當(dāng)中隨機選出q個個體進行比較，并且將適應(yīng)度大的個體作為最優(yōu)個體。本文中螢火蟲采用錦標賽選擇策略進行群體位置更新，并且取q=2，給適應(yīng)度大的個體加1分，所有螢火蟲進行此過程，最終得分最高的螢火蟲個體其權(quán)重也最大。因為該選擇策略僅將適應(yīng)度值的相對值當(dāng)作選擇的標準，而對適應(yīng)度值的正負不作要求，故能避免超級個體對螢火蟲算法的影響。適應(yīng)度選擇概率為：

(18)

其中：ci為每個個體的得分。

2.4 自適應(yīng)步長

基本FA算法中步長因子α為常數(shù)，采用的是[0,1]間的固定值，且在迭代過程中值不變。較大的α在進化初期有利于算法的全局搜索，但進化后期會降低搜索精度，容易出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象，不易找到全局最優(yōu)解；較小的α在進化后期有利于算法的局部搜索，搜索精度較高，但將導(dǎo)致算法收斂速度過慢等問題。本文采用隨著迭代次數(shù)而遞減的 α，從而使算法具有更快的搜索速度和搜索精度，α計算公式如下：

αt+1=αtδ，0.5<δ<1。

(19)

其中：δ為冷卻系數(shù)，通過式(19)迭代計算得到的α，每次會得到一個更小的值，從而能更好地平衡螢火蟲算法的全局搜索能力和局部開發(fā)能力。

2.5 SFA算法

SFA算法采用Tent混沌優(yōu)化、錦標賽選擇策略和自適應(yīng)步長參數(shù)優(yōu)化方法，避免算法早熟收斂及陷入局部極值，具體算法流程如下：

Step 1：設(shè)置相關(guān)參數(shù)：螢火蟲種群規(guī)模n、最大迭代次數(shù)T抑或求解精度σ、步長因子α初始值、最大吸引度β0、光強吸收系數(shù)γ、位置維數(shù)D、混沌搜索最大迭代次數(shù)Cmax。

Step 2：設(shè)置迭代次數(shù)初始值t=0，在可行域中利用Tent映射初始化種群，隨機初始化n個D維候選解作為螢火蟲的初始種群Xi(i=1,2，…,n)。

(20)

Step 3：根據(jù)適應(yīng)值函數(shù)f(Xi)計算各螢火蟲的亮度I(Xi)。初始標志向w(i)=0，記錄最亮螢火蟲為同一螢火蟲的次數(shù)。

Step 4：每只螢火蟲都會向著比自身亮的螢火蟲移動，更新螢火蟲之間距離，更新吸引度值，根據(jù)式(19)更新步長因子，根據(jù)式(3)或(4)進行位置更新，計算亮度。

Step 5：如果f(Xj)>f(Xi)，則Xi=Xj，w(i)=0；反之保持原解Xi不變，w(i)=w(i)+1。

Step 6：利用錦標賽選擇策略，通過式(18)計算選擇概率Pi(t)。

Step 7：螢火蟲根據(jù)概率Pi(t)選擇最亮螢火蟲，從而確定自身位置更新，計算適應(yīng)度值，轉(zhuǎn)至Step 5。

Step 8：若w(i)>Limit，則第i只螢火蟲為停滯解，根據(jù)第2.2節(jié)的自適應(yīng)混沌搜索產(chǎn)生一個新解替換停滯解。

Step 9：記錄當(dāng)前所有螢火蟲自身的最優(yōu)解，保存種群當(dāng)前最優(yōu)解。

Step 10：更新t=t+1，判斷是否達到求解精度σ要求或滿足最大迭代次數(shù)T。若滿足，則輸出當(dāng)前最優(yōu)解；反之返回Step 4。

3 SFA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

3.1 個體編碼

本文采用實數(shù)編碼的形式，將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值和閾值表示為螢火蟲個體。該個體被映射為4部分，即輸入層到隱含層間的連接權(quán)值ωij、隱含層的閾值θi、隱含層到輸出層間的連接權(quán)值ωki、輸出層的閾值αk。由于輸入層節(jié)點個數(shù)為n、隱含層節(jié)點個數(shù)為m、輸出層節(jié)點個數(shù)為s，因此，螢火蟲個體的字符串長度為：L=n×m+m+m×s+s。

各連接層之間的權(quán)值和閾值表示如下：

(21)

θi=[θ1,θ2,…,θm]Τ，

(22)

(23)

αk=[α1,α2,…,αs]Τ。

(24)

則螢火蟲個體的編碼形式為：

X= [ω11,ω12,…,ω1m,ω21,ω22,…,ωnm,θ1,θ2,…,θm,

ω11,ω12,…,ω1s,ω21,ω22,…,ωms,α1,α2,…,αs]。

(25)

3.2 評價標準

本文將網(wǎng)絡(luò)的實際輸出值和真實值之間的均方誤差作為BP網(wǎng)絡(luò)的評價標準，因此在螢火蟲算法中可將適應(yīng)度函數(shù)設(shè)置為：

(26)

其中：N為輸入的樣本總數(shù)，yi為預(yù)測的股票價格，xi為真實的股票價格。fitness的值越小，表示網(wǎng)絡(luò)的性能越好。

3.3 算法實現(xiàn)的基本步驟

根據(jù)傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實現(xiàn)步驟及自適應(yīng)螢火蟲算法的實現(xiàn)步驟，得到基于自適應(yīng)螢火蟲算法優(yōu)化的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(SFA-BP)的算法實現(xiàn)步驟如下：

Step 1：初始化參數(shù)：初始化SFA算法以及BP算法的參數(shù)，并設(shè)置最大迭代次數(shù)。

Step 2：編碼：采用實數(shù)編碼方法，依照式(25)將BP的權(quán)值和閾值統(tǒng)一編碼，并對應(yīng)到螢火蟲個體中，使得每個螢火蟲個體代表一個BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

Step 3：根據(jù)2.5節(jié)自適應(yīng)螢火蟲算法步驟，找出當(dāng)前最優(yōu)解。

Step 4：解碼：將螢火蟲個體解碼，得到相應(yīng)BP網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值。并以此作為BP的初始權(quán)、閾值，進而訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

Step 5：判斷是否達到BP網(wǎng)絡(luò)停止條件：若滿足，得到最優(yōu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);反之，繼續(xù)訓(xùn)練。

4 仿真實驗與結(jié)果分析

4.1 FA與SFA性能對比分析

由上文可知，載有BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初值信息的螢火蟲個體進行尋優(yōu)，然后將輸出的最優(yōu)值解碼為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值、閾值，因此FA-BP、SFA-BP算法性能的好壞在一定程度上依賴于FA、SFA算法的性能。為了評估FA、SFA算法的優(yōu)化性能，本文選取4個標準測試函數(shù)來進行仿真實驗，這4個測試函數(shù)表達式、搜索區(qū)間和最優(yōu)值如表1所示。

表 1 4個基準測試函數(shù)

這些測試函數(shù)均為國際通用的全局優(yōu)化問題常用的測試函數(shù)，分別具有不同的特性，可用來充分考察算法的尋優(yōu)能力。其中，Rosenbrock和Sphere是單峰函數(shù)，這些函數(shù)可以用來測試算法的尋優(yōu)精度、收斂速度和執(zhí)行效率；Rastrigin 和Ackley為多峰多極值函數(shù)，這些函數(shù)的特點是有許多局部極值，可以用來考察算法的全局尋優(yōu)能力、跳出局部極值點和避免算法早熟收斂的能力。將標準FA算法和SFA算法進行對比實驗。所有實驗均在硬件環(huán)境為Intel Core I5-7200，CPU 2.70 GHz，內(nèi)存4 GB；軟件環(huán)境為Windows 10操作系統(tǒng)的計算機上進行，所有算法在Matlab R2016a下進行仿真。

在實驗中，算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：螢火蟲種群個數(shù)為100個，最大迭代次數(shù)為2 000次，最大吸引度β0=1，步長因子初值α=0.05，光強吸收系數(shù)γ=1.0，函數(shù)維數(shù)設(shè)置為30。相比FA算法，SFA算法又引入了3個參數(shù)，參數(shù)值的設(shè)定分別為混沌搜索次數(shù)為30次、δ=0.97、Limit=100。為了避免算法偶然性帶來的誤差，每個測試函數(shù)分別獨立運行30次，并統(tǒng)計其結(jié)果。規(guī)定當(dāng)求解精度達到10-20時假定結(jié)果為0，通過記錄FA算法和SFA算法在迭代后的平均值、最優(yōu)值、最差值、平均運行時間等來評價各算法的優(yōu)化性能，平均值、最優(yōu)值、最差值反映的是解的質(zhì)量，平均值反映的是算法所能達到的精度，平均運行時間反映的是算法的尋優(yōu)速度。測試結(jié)果比較如表2所示。

由表2可知，SFA算法的尋優(yōu)精度明顯優(yōu)于FA算法，無論是對于單峰函數(shù)還是對于多峰函數(shù)，SFA算法的收斂速度均明顯優(yōu)于FA算法。

表2 FA算法和SFA算法測試結(jié)果比較

對于單峰函數(shù)Sphere,SFA算法在尋優(yōu)精度、尋優(yōu)率及收斂速度方面均明顯優(yōu)于FA算法，能夠持續(xù)有效地搜索函數(shù)全局最小值。對于非凸病態(tài)單峰函數(shù)Rosenbrock而言，因其在取值范圍內(nèi)走勢較平坦，可收斂至全局最優(yōu)點的機會很少，但SFA算法依然表現(xiàn)出了強大的全局尋優(yōu)能力；對于多峰函數(shù)Rastrigin和Ackley函數(shù),SFA算法的求解精度及收斂速度均高于FA算法，主要由于SFA采用自適應(yīng)Tent混沌搜索和自適應(yīng)步長因子，不僅能動態(tài)調(diào)整混沌搜索空間，還能動態(tài)調(diào)整步長，因而既能保證種群多樣性、提高求解精度和收斂速度，也能使算法跳出局部最優(yōu)。故初步推斷SFA-BP預(yù)測精度優(yōu)于FA-BP。

4.2 樣本數(shù)據(jù)準備

BP網(wǎng)絡(luò)進行預(yù)測時，若樣本個數(shù)太少，會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的泛化能力較弱；反之，樣本個數(shù)太多，又會出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。因此，樣本個數(shù)的選取應(yīng)當(dāng)適中。本節(jié)選取了4種股票指數(shù)從2015年1月5日—11月12日的歷史收盤價數(shù)據(jù)，分別是中證1000指數(shù)、深證1000指數(shù)、上證商業(yè)指數(shù)及香港恒生指數(shù)。中證1000指數(shù)能夠整體反映滬深證券市場內(nèi)小市值公司的綜合狀況，深證1000指數(shù)，旨在反映深圳證券市場內(nèi)大中小市值企業(yè)的整體狀況。上證商業(yè)指數(shù)能總體反映多種行業(yè)的景氣情況及其股價的波動情況，香港恒生指數(shù)在反映香港整體股市價幅趨勢中是最具權(quán)威影響的股價指數(shù)。

4.3 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的設(shè)計

(1)網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的確定。Cybenko等人[19]已經(jīng)用理論證明，三層的BP網(wǎng)絡(luò)能夠以任何精度逼近任意非線性函數(shù)。因此本文選擇三層BP網(wǎng)絡(luò)進行研究，即只含一個隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

(3)其他參數(shù)的確定。利用隨機函數(shù)設(shè)置初始權(quán)值，通常為(-1,1)之間的隨機數(shù)，學(xué)習(xí)步長取0.2，期望誤差取0.000 1，螢火蟲種群個數(shù)取100個，最大迭代次數(shù)取2 000次,步長因子初值α=0.05,最大吸引度β0=1,光強吸收系數(shù)γ=1.0。相比FA算法，SFA算法又引入了3個參數(shù)，參數(shù)值的設(shè)定分別為混沌搜索次數(shù)為30次,δ=0.97，Limit=100。

4.4 預(yù)測結(jié)果及分析

本文通過已選取的股票數(shù)據(jù)，對BP網(wǎng)絡(luò)模型、FA-BP網(wǎng)絡(luò)模型和SFA-BP網(wǎng)絡(luò)模型進行股價預(yù)測精度的仿真對比分析。表3為3種算法對4種股票指數(shù)預(yù)測的平均誤差數(shù)據(jù)對比。

由表3的統(tǒng)計結(jié)果可以看出，對于4種股票指數(shù)數(shù)據(jù)而言，SFA-BP網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測精度最高，明顯優(yōu)于BP網(wǎng)絡(luò)模型及FA-BP網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測精度，具有一定的實際應(yīng)用價值。

表3 BP算法、FA-BP算法和SFA-BP算法誤差對比

5 結(jié)語

為了克服傳統(tǒng)BP網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢、容易陷入局部極值點等不足，提出了利用自適應(yīng)的螢火蟲算法(SFA)來優(yōu)化BP網(wǎng)絡(luò)的方法，構(gòu)建了BP優(yōu)化模型(SFA-BP)，并將其用于股價預(yù)測，構(gòu)建了股票價格的預(yù)測系統(tǒng)模型，通過仿真實驗可以看出，該預(yù)測系統(tǒng)取得了較為理想的預(yù)測效果，在實際生活與工作中，具有一定的實用價值。但股票價格預(yù)測作為一個長期的工作，若能擴大其樣本規(guī)模，將開盤價數(shù)據(jù)、最高最低價數(shù)據(jù)、成交量數(shù)據(jù)等引入，將進一步提高預(yù)測精度，進行更為精確的預(yù)測，將有更好的應(yīng)用前景。