孫佳佳， 張玉潔， 熊暢

(北京航空航天大學(xué) 物理科學(xué)與核能工程學(xué)院, 北京 100083)

底夸克偶素(bottomonium)是由正反底夸克(bottom)對組成的束縛態(tài)，ηb作為 S 波自旋單態(tài)的底夸克偶素，是能量最低的底夸克偶素。而對于底夸克偶素系統(tǒng)，由于底夸克質(zhì)量mb≈4.7 GeV遠(yuǎn)大于量子色動力學(xué)(Quantum Chromodynamics，QCD)特征能標(biāo)，從而強耦合系數(shù)αs≈0.2，因此可以認(rèn)為底夸克對的湮滅過程可以用微擾量子色動力學(xué)(Perturbative Quantum Chromodynamics,PQCD)來描述，另外在底夸克偶素質(zhì)心系中，底夸克的速度平方v2≈0.1，因此可以認(rèn)為底夸克對和底夸克偶素之間的強子化過程可以用非相對論量子色動力學(xué)(Non-Relativistic Quantum Chromodynamics，NRQCD)[1]來描述。在NRQCD因子化方案中，重夸克偶素的產(chǎn)生和衰變可以展開成長程部分的矩陣元和短程部分的系數(shù)，長程部分的矩陣元可以按照重夸克偶素質(zhì)心系中重夸克的速度平方v2來標(biāo)度，而短程部分的系數(shù)可以按照αs來標(biāo)度。由于底夸克偶素系統(tǒng)中αs≈0.2和v2≈0.1，所以在底夸克偶素衰變中按照αs和v2的雙重展開中微擾展開和相對論展開收斂行為都比較好，高階修正會很小，理論上領(lǐng)頭階或者次領(lǐng)頭階的預(yù)言將會靠近真實的物理結(jié)果，從而ηb提供了良好的檢驗PQCD和NRQCD的平臺。

1 ηb衰變到和色八重態(tài)機制

(1)

按速度標(biāo)度律，對于色八重態(tài)矩陣元有

(2)

圖 的費曼圖

圖的費曼圖

(3)

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(5)

從而可以得到分支比為

(6)

圖3 歸一化后相對的對于膠子能量的分布Fig.3 Distribution of gluon energy of normalized

本文討論了Υ和ηb到D介子的衰變。c夸克碎裂到D介子的幾率選擇為[12-13]

(7)

Br[Υ→γ*→D*±+X]=2f(c→D*+)×

(8)

大約70%的Br[Υ→D*±+X]來源于色單態(tài)的單光子衰變部分貢獻(xiàn)。即使將色單態(tài)三膠子衰變部分取為 0，本文也可從實驗值得到色八重態(tài)部分貢獻(xiàn)的Br[Υ→D*±+X]大約是0.7%，而理論預(yù)言的色八重態(tài)的貢獻(xiàn)為

(9)

(10)

(11)

σ(e+e-→μ+μ-)=4πα2/(3s)

(12)

σ(e+e-→D+D*-)∝1/s4

(13)

σ(e+e-→D+D*-)∝1/s3

(14)

σ(e+e-→D+D*-)∝1/s3.5±0.5

(15)

文獻(xiàn)[8]中給出：

Br(Υ→γ*→μ+μ-)=(2.48±0.05)%

(16)

可得

(17)

還可通過碎裂函數(shù)另外估計遍舉分支比，參考文獻(xiàn)[12-13]給出了c→D的碎裂函數(shù)，幾率選擇文獻(xiàn)[12-13]中給出的：

(18)

碎裂函數(shù)選擇單參數(shù)無橫動量依賴的Kartvelishvili碎裂函數(shù)[12-13]：

Fc→D(z)=

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式中：z=(ED+pD)/(Ec+pc)，E和p分別為能量和動量，下標(biāo)D和c分別表示D介子和c夸克。因為mc≈mD≈1.5 GeV，遠(yuǎn)小于mb≈4.7 GeV，所以可取z=ED/Ec。在文獻(xiàn)[12]中給出αD為

(20)

(21)

(22)

這種方法得到的理論預(yù)言與通過正負(fù)電子對撞中數(shù)據(jù)給出的理論預(yù)言數(shù)量級一致，而且符合很好，相對差異小于1/4，因此在后續(xù)分析中，類似的估計遍舉衰變過程的分支比時，本文將選取δS=0.13。

(23)

可以和色單態(tài)部分的分支比互相比擬。

3 ηb 到的衰變

(24)

Br[ηb→D*+D*-]遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于文獻(xiàn)[9]中給出的 10-8，但是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于文獻(xiàn)[10]中給出的10-3

(25)

需要指出的是，碎裂函數(shù)本是用來計算單舉末態(tài)，此處利用碎裂函數(shù)來計算遍舉過程的分支比是非常簡略的估計，一方面是因為聯(lián)合碎裂過程中沒有考慮粲夸克對產(chǎn)生時是聯(lián)合產(chǎn)生的，另外一方面忽略了強子化的動力學(xué)機制。這里利用截斷來限制末態(tài)為遍舉末態(tài)只是一個嘗試，碎裂函數(shù)對于遍舉分支比只能給出數(shù)量級的估計，而不能代替完整的結(jié)果。

4 結(jié) 論

相關(guān)預(yù)言可以通過 BelleⅡ的實驗進(jìn)行驗證，從而得到更多強子化的信息。