劉永 劉世鐸 林海 萬有余 劉歡 任廣聰 陳銘

(1. 中國石油青海油田公司鉆采工藝研究院， 甘肅 敦煌 736200；2. 中國石油大學(北京)石油工程學院， 北京 102249)

柴達木盆地基巖氣藏是目前在我國陸地上發(fā)現(xiàn)的地質(zhì)儲量最大的基巖儲集層氣藏[1]。該氣藏的儲集層具有低孔低滲、天然裂縫發(fā)育等特征，若要實現(xiàn)持續(xù)高效的勘探開發(fā)，水力壓裂是其必不可少的增產(chǎn)手段[2]。通過測井、取芯等技術(shù)手段發(fā)現(xiàn)，基巖氣藏發(fā)育大量天然裂縫，而天然裂縫地層的裂縫起裂壓力和起裂形態(tài)較難判斷[3]。建立基巖氣藏水力壓裂起裂壓力和起裂形態(tài)的計算方法，對于基巖氣藏優(yōu)化壓裂設(shè)計、提高增產(chǎn)效果具有重要意義。

國內(nèi)外學者針對天然裂縫地層的起裂壓力和起裂形態(tài)展開了大量的實驗研究、數(shù)值模擬研究和理論模型研究。其中，Werjers[4]、Beugelsdijk[5]、張士誠[6]、王磊等人[7]針對天然裂縫巖心的壓裂物理模擬實驗研究頗具代表性。

通常，實驗研究主要側(cè)重機理分析，難以應用于工程設(shè)計分析。數(shù)值模擬研究的方法主要包括有限元分析、邊界元分析和離散元分析等。Gao等人[8]運用有限元分析方法，研究了水力壓裂過程中天然裂縫的應力分布變化，但并未涉及起裂壓力與起裂形態(tài)。Lecampion等人[9]運用邊界元方法，研究了近井發(fā)育一條縱向裂縫時的起裂壓力。Pater等人[10]運用離散元方法進一步研究了天然裂縫發(fā)育地層的起裂形態(tài)。盡管數(shù)值模擬研究取得了較好的規(guī)律性認識，然而此方法計算量較大，不便于一般工程人員應用，不利于施工優(yōu)化設(shè)計。金衍等人[11-12]基于彈性力學方法提出了天然裂縫地層的起裂壓力模型，此模型考慮了天然裂縫的張性和剪切破裂類型。趙金洲等人[13]提出了天然裂縫地層水力裂縫張性起裂壓力模型。任嵐等人[14]進一步研究了考慮射孔井天然裂縫地層的起裂壓力模型。

然而，以上研究中的模型均建立在彈性力學的基礎(chǔ)上，僅通過井筒周圍應力場來判斷天然裂縫面位置的張開或剪切，并未考慮天然裂縫的弱面斷裂屬性。本次研究將基于斷裂力學原理，提出與井筒相連的天然裂縫的應力強度因子解析方法，建立裂縫性地層的天然裂縫起裂壓力模型，并重點對比橫切天然裂縫和縱向天然裂縫的起裂壓力，進而評價近井形成橫切裂縫與縱向裂縫的條件。

1 數(shù)學模型

天然裂縫是固體力學中的弱面，判斷弱面的起裂可采用斷裂力學方法。斷裂力學的原理是，通過計算天然裂縫的應力強度因子，判斷其是否發(fā)生破裂；若天然裂縫尖端的應力強度因子達到巖石斷裂韌性水平，則認為發(fā)生了起裂，否則認為未發(fā)生起裂。

在此，考慮水平井壓裂的情況，應力按照巖石力學來設(shè)定，即壓應力為正，拉應力為負。地層天然裂縫與水平井筒存在2種典型的位置關(guān)系：沿井筒軸向和垂直井筒軸向[15]。沿井筒軸向的天然裂縫為縱向天然裂縫，垂直井筒軸向的天然裂縫為橫切天然裂縫(見圖1)。

圖1 天然裂縫與井筒相對位置示意圖

若縱向天然裂縫起裂壓力小于橫切天然裂縫起裂壓力，則近井筒產(chǎn)生縱向裂縫，反之則產(chǎn)生橫切裂縫。在此，僅側(cè)重于天然裂縫對破裂壓力的影響，忽略縫內(nèi)摩阻和基質(zhì)的彈性作用。

1.1 水平井筒附近應力場分布

對于水平井筒沿最小主應力方向，根據(jù)平面應變力學模型，可得井筒附近周向應力分布[16]：

(1)

式中：σθ—— 周向應力，MPa；

p—— 井筒內(nèi)流體壓力，MPa；

σH—— 最大水平主應力，MPa；

σv—— 垂向主應力，MPa；

Rw—— 井筒半徑，m；

x—— 距離井筒軸線的位置，m。

1.2 縱向天然裂縫起裂壓力模型

運用加權(quán)函數(shù)法[17]，計算與圓孔相連的裂縫尖端應力強度因子。

(2)

式中：K—— 裂縫尖端應力強度因子，MPa·m0.5；

p—— 井筒內(nèi)流體壓力，MPa；

l—— 裂縫長度，m；

當lRw→0，即裂縫長度相對井筒半徑趨于零時，裂縫趨近于平面應變解[18]，此時影響函數(shù)為

(3)

當lRw→+∞，即井筒半徑相對裂縫長度可忽略時，裂縫趨近于斷裂力學的圓形裂縫解[19]，此時影響函數(shù)為

(4)

影響函數(shù)要在以上2種極端情況下收斂到式(3)和式(4)，可同時計算中間值。因此，令

(5)

式(5)在lRw→+∞時收斂到式(4)，本身符合式(3)的形式，滿足影響函數(shù)的特征。

當裂縫尖端應力強度因子達到巖石斷裂韌性(KIC)時，裂縫即發(fā)生破裂，縱向天然裂縫破裂壓力為F(p)。

=0

(6)

1.3 橫切天然裂縫起裂壓力模型

對于橫切天然裂縫，其遠場應力為最小水平主應力。橫切天然裂縫的尖端應力強度因子為K。

(7)

當lRw→0，即裂縫長度相對井筒半徑趨于零時，裂縫趨近于平面應變解，此時影響函數(shù)為

(8)

當lRw→+∞，即井筒半徑相對裂縫長度趨于零時，裂縫趨近于斷裂力學的圓形裂縫解[20]，此時影響函數(shù)為

(9)

影響函數(shù)要在這2種情況下收斂到式(8)和式(9)，即可同時計算中間值。此時，橫切天然裂縫的影響函數(shù)為：

(10)

式(10)在lRw→+∞時收斂到式(9)，在lRw→0時收斂到式(8)，滿足影響函數(shù)的特征。

當裂縫尖端應力強度因子達到巖石斷裂韌性時，裂縫即發(fā)生破裂，可通過式(11)計算橫切天然裂縫破裂壓力。

(11)

2 模型解法與驗證

式(6)和式(11)為非線性積分方程，其求解需要運用數(shù)值方法。為求解該非線性積分方程，通過高斯數(shù)值積分求解積分方程，并運用二分法搜索非線性方程根。程序采用Matlab軟件編寫，天然裂縫起裂壓力計算過程如圖2 所示。

為了驗證本模型應力強度因子解法的準確性，將本模型計算結(jié)果與有限元軟件COMSOL計算結(jié)果進行對比(見圖3)。驗證算例的參數(shù)有：pf=36 MPa；σv=40 MPa；σH=35 MPa；σh=35 MPa；Rw=0.1 m。通過對比可以看出，本模型計算結(jié)果與有限元軟件計算結(jié)果相吻合，其相對誤差僅為1.5%。本模型的優(yōu)勢在于，計算效率高，不需要進行大量的數(shù)值計算，便于進行工程設(shè)計分析。

圖2 天然裂縫起裂壓力計算過程

3 影響因素分析

取東坪基巖氣藏壓裂井典型參數(shù)：垂向應力為100.00 MPa；最大水平主應力為80.00 MPa；最小水平主應力為70.00 MPa；井筒半徑為0.1 m；天然裂縫長度為0.1～10 m，巖石斷裂韌性為0.46～1.93 MPa·m0.5。分別對比天然裂縫長度、斷裂韌性、地應力差等因素對天然裂縫發(fā)育的基巖破裂壓力和裂縫起裂形態(tài)的影響。

圖3 應力強度因子計算結(jié)果對比

3.1 天然裂縫長度的影響

根據(jù)天然裂縫長度與破裂壓力的計算結(jié)果(見圖4)，發(fā)現(xiàn)橫切天然裂縫破裂壓力隨裂縫長度增加而減小，而縱向天然裂縫的起裂壓力隨裂縫長度增加而先下降后增大。當裂縫長度小于0.8 m時，縱向天然裂縫的起裂壓力低于橫切天然裂縫。若近井同時存在這2類天然裂縫，則優(yōu)先形成縱向裂縫擴展。當裂縫長度大于0.8 m時，橫切裂縫的起裂壓力低于縱向裂縫，說明在此情況下會優(yōu)先形成橫切裂縫。

圖4 不同天然裂縫長度下的起裂壓力曲線

井筒周圍應力場是決定近井縱向裂縫起裂的關(guān)鍵因素。當裂縫長度相對井筒半徑而言較小時，天然裂縫受井筒應力場控制，縱向裂縫受到井筒周圍的周向張應力作用，從而發(fā)生起裂。當裂縫長度較小時，縱向裂縫呈優(yōu)先起裂的趨勢，而橫切天然裂縫的應力強度因子不受井筒周圍應力場的控制。根據(jù)應力強度因子計算公式可知，裂縫長度越大，所需的起裂壓力就越小。

3.2 斷裂韌性的影響

根據(jù)不同斷裂韌性條件下天然裂縫起裂壓力曲線(見圖5)可知：在不同斷裂韌性條件下，橫切裂縫的起裂壓力均隨裂縫長度的增加而減小，縱向裂縫的起裂壓力隨裂縫長度先減小后增大。對比不同斷裂韌性的起裂壓力可知，高斷裂韌性的天然裂縫起裂壓力較大，但其變化趨勢與裂縫長度有關(guān)。當裂縫長度小于1 m時，斷裂韌性對起裂壓力影響較為顯著；而當裂縫長度大于1 m時，斷裂韌性對起裂壓力的影響減弱。尤其對于縱向天然裂縫，縫長增加至5 m及以上時，不同斷裂韌性的縱向天然裂縫起裂壓力趨于一致。

圖5 不同斷裂韌性下天然裂縫起裂壓力曲線

在天然裂縫中，橫切裂縫與縱向裂縫或許在一定裂縫長度時的破裂壓力相同。為了便于討論，在此用“等值破裂壓力縫長”描述橫切裂縫與縱向裂縫相同破裂壓力對應的縫長(見圖6)。由圖6可以看出，斷裂韌性越大，等值破裂壓力縫長就越大。這表明，斷裂韌性越大，縱向裂縫起裂的趨勢就越強，而在低斷裂韌性情況下主要形成橫切裂縫。

3.3 地應力的影響

3.3.1 應力差的影響

應力差主要通過固定最小水平主應力和改變最大水平主應力來實現(xiàn)。根據(jù)圖7所示不同應力差條件下的天然裂縫起裂壓力曲線可知，不同應力差下橫切裂縫的起裂壓力相同。根據(jù)式(7)，橫切裂縫受到的外應力僅為最小水平主應力，而不受井筒應力場影響，因此，最大水平主應力與橫切裂縫起裂壓力無關(guān)。圖7同時表明，應力差越大(或最大水平主應力越大)，縱向裂縫的起裂壓力就越高；且在高應力差條件下，縫長對縱向裂縫起裂壓力的影響減小。

圖6 不同斷裂韌性下的等值破裂壓力縫長曲線

圖7 不同應力差下的天然裂縫起裂壓力曲線

對比不同應力差下天然裂縫的破裂壓力可知：

(1) 當應力差小于或等于6.00 MPa時，縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井縱向裂縫優(yōu)先起裂。

(2) 當應力差為10.00 MPa時，若天然裂縫長度小于0.7 m，縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井容易形成縱向縫；而若裂縫長度大于0.7 m，則橫切裂縫的起裂壓力低，近井容易發(fā)生橫切裂縫起裂。

(3) 當應力差大于10.00 MPa時，橫切裂縫的起裂壓力始終低于縱向裂縫，近井容易形成橫切裂縫起裂，縱向裂縫難以起裂。

3.3.2 垂向應力的影響

根據(jù)圖8所示不同垂向應力下的天然裂縫起裂壓力曲線可知，不同垂向應力下橫切裂縫的起裂壓力相同。此結(jié)果與前述應力差的分析結(jié)果相同，即橫切天然裂縫的起裂不受垂向應力影響。同時可知，高垂向應力地層的縱向天然裂縫起裂壓力會減小。高垂向應力會增大井筒周圍應力，從而促進縱向天然裂縫起裂。此結(jié)果與Lecampion等人[9]的認識一致。

圖8 不同垂向應力下的天然裂縫起裂壓力曲線

對比不同垂向應力下2種類型的天然裂縫破裂壓力可知：

(1) 當垂向應力為95.00 MPa時，橫切裂縫的起裂壓力低于縱向裂縫，近井橫切裂縫優(yōu)先起裂。

(2) 當垂向應力為100.00 MPa時，若裂縫長度小于0.7 m，則縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井容易形成縱向裂縫；而若裂縫長度大于0.7 m，則橫切裂縫的起裂壓力低，近井容易發(fā)生橫切裂縫起裂。

(3) 當垂向應力為105.00 MPa時，若裂縫長度小于6.8 m，則縱向裂縫的起裂壓力低于橫切裂縫，近井容易形成縱向裂縫；而若裂縫長度大于6.8 m，則橫切裂縫的起裂壓力低，近井容易發(fā)生橫切裂縫起裂。

(4) 當垂向應力為110.00 MPa時，橫切裂縫的起裂壓力始終低于縱向裂縫，近井容易形成橫切裂縫。

4 實例研究

以青海油田的基巖氣藏坪1-2-9井為例進行分析。測井資料顯示，該井參數(shù)為：天然裂縫長度為1～10 m；天然裂縫斷裂韌性為0.82 MPa·m0.5；垂向應力為88.00 MPa；最大水平主應力為65.00 MPa；最小水平主應力為81.00 MPa；井筒半徑為0.12 m。該井壓裂施工共分3層進行：第1層施工破裂壓力為65.70 MPa；第2層施工破裂壓力為64.10 MPa；第3層施工破裂壓力為67.00 MPa。

運用模型計算得出(見圖9)，該井縱向裂縫的起裂壓力為77.50～78.50 MPa，橫切裂縫的起裂壓力為65.50 ～ 68.10 MPa。橫切裂縫的起裂壓力低于縱向裂縫，同時橫切裂縫的起裂壓力與現(xiàn)場實際數(shù)據(jù)較為接近，表明近井已形成橫切裂縫。本模型計算結(jié)果與實際壓裂監(jiān)測到的破裂壓力數(shù)據(jù)一致，這進一步驗證了模型的合理性。

圖9 坪1-2-9井起裂壓力計算結(jié)果

5 結(jié) 論

針對天然裂縫發(fā)育地層水力壓裂工藝的起裂壓力和近井裂縫形態(tài)計算問題，提出采用加權(quán)函數(shù)法計算天然裂縫地層應力強度因子，并建立了橫切裂縫和縱向裂縫起裂壓力計算模型，進而評價天然裂縫地層的起裂壓力和起裂形態(tài)。得出以下結(jié)論：

(1) 裂縫性地層破裂壓力與天然裂縫的形態(tài)、長度緊密相關(guān)。近井發(fā)育較長橫切天然裂縫時，容易發(fā)生橫切裂縫起裂；而近井存在較短縱向天然裂縫時，縱向裂縫會優(yōu)先起裂，從而在近井形成縱向裂縫。

(2) 斷裂韌性較小時，橫切天然裂縫更容易起裂；斷裂韌性較大時，縱向天然裂縫更容易起裂。

(3) 縱向天然裂縫的起裂壓力受最大水平主應力和垂向應力的影響較為顯著。在高應力差下縱向裂縫的起裂壓力就高，縱向天然裂縫難以起裂，而橫切天然裂縫相對容易起裂。高垂向應力有利于縱向裂縫起裂，從而促進縱向裂縫的形成。