喻 平

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 210046)

隨著高中課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布，一個迫切需要研究的問題顯現(xiàn)出來，就是如何在操作層面對學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測？通過考試選拔的評價標(biāo)準(zhǔn)如何制定？與之前的課程標(biāo)準(zhǔn)相比較，新的課程標(biāo)準(zhǔn)在指導(dǎo)思想、課程理念、教學(xué)評價等方面發(fā)生了變革，要使新的課程改革真正落實，評價的研究必須先行.始于2001年至今仍然在義務(wù)教育階段施行的一輪課程改革，為什么阻力重重，課程實施舉步維艱？除了課程設(shè)計本身有一些問題外，對學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量評價的研究始終沒有進(jìn)展，甚至選拔考試都是沿用傳統(tǒng)模式，這是必須直面的事實[1].

事實上，基于對課程改革歷史的反思，教育部在推行以發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為主線的新一輪課程改革之前，在課程標(biāo)準(zhǔn)的編制過程中就將評價納入研究范疇，關(guān)于評價，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下面簡稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)有了詳細(xì)的闡述.同時，一大批學(xué)者出于理論意識的自覺，開展了一系列有意義的研究，有的介紹國外關(guān)于核心素養(yǎng)評價的做法[2-3]，有的根據(jù)我國的具體情況作核心素養(yǎng)評價的探索[4-5]，也有研究學(xué)者對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評作了研究[6-7].綜觀這些研究，可以看到理論層面的思辨比較多，具體到實踐中具有可操作性的學(xué)習(xí)評價探討較少，而這個問題隨著新教材的實施變得更加突出，如何將《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于學(xué)習(xí)質(zhì)量評價的要求落實到位，如何為中學(xué)教師提供編制數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測量工具的思路與方法，需要作細(xì)致地探討.

1 考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力試題編制的前提性反思

1.1 從知識導(dǎo)向到能力為重的評價轉(zhuǎn)型

長期以來，對學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量的評估遵循的是“教知識考知識”的邏輯，這種邏輯以知識的教學(xué)作為起點和歸宿，其實是有一定問題的.設(shè)想一下，學(xué)生從小學(xué)一年級入學(xué)到高中三年級畢業(yè)，他們要學(xué)多少學(xué)科？每個學(xué)科有多少知識點？與每個知識點相關(guān)的問題解決涉及多少技能技巧？為了應(yīng)付考試，學(xué)生不得不記憶大量的知識和技能，通過數(shù)量龐大的練習(xí)使習(xí)得的基礎(chǔ)知識和基本技能鞏固下來，形成做題是主要的學(xué)習(xí)方式、“題?！庇?xùn)練是常規(guī)的局面.更重要的是，這種學(xué)習(xí)方式培養(yǎng)出來的人，在學(xué)習(xí)結(jié)果上偏重模仿、記憶和機(jī)械練習(xí)，缺乏理解、思考和知識建構(gòu)，在認(rèn)識信念上遵從接受而排斥辯解，相信結(jié)論的證實性而無視結(jié)論的證偽性，以“旁觀者”的姿態(tài)介入學(xué)習(xí)，個人的觀點和見解被長期的囚禁而日益消解，日積月累，學(xué)生的創(chuàng)造性意識和創(chuàng)新能力被磨滅得無影無蹤.

《普通高中課程方案(2017年版)》(下面簡稱《課程方案》)在培養(yǎng)目標(biāo)中明確指出，學(xué)生要具有科學(xué)文化素養(yǎng)和終身學(xué)習(xí)能力，“掌握適應(yīng)時代發(fā)展需要的基礎(chǔ)知識和基本技能，豐富人文積淀，發(fā)展理性思維，不斷提升人文素養(yǎng)和科學(xué)素養(yǎng).敢于批判質(zhì)疑，探索解決問題，勤于動手，善于反思，具有一定的創(chuàng)新精神和實踐能力.”[6]培養(yǎng)目標(biāo)是學(xué)業(yè)評價的依據(jù)也是學(xué)業(yè)評價的歸宿，顯然，《課程方案》培養(yǎng)目標(biāo)的描述突破了“教知識考知識”的邏輯，學(xué)習(xí)評價不能只對知識理解情況的考察，還應(yīng)當(dāng)考察學(xué)生的能力，這種能力主要是指蘊(yùn)含在學(xué)科核心素養(yǎng)中的關(guān)鍵能力.

從知識導(dǎo)向到能力為重的評價轉(zhuǎn)型，可以淡化學(xué)生對知識點的死記硬背，強(qiáng)化對知識的綜合運(yùn)用；可以減少學(xué)生大量的機(jī)械練習(xí)，著重提升反思意識和創(chuàng)新能力.這種學(xué)業(yè)評價的轉(zhuǎn)型，也可望在一定程度消除當(dāng)下“題海戰(zhàn)術(shù)”盛行的教育局面.

1.2 對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的認(rèn)識

在《課程方案》中，明確界定了核心素養(yǎng)的三個基本要素：學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的正確的價值觀、必備品格和關(guān)鍵能力. 因此，評價應(yīng)當(dāng)圍繞這三個方面展開，需要建立一個完整的評價體系.從測量角度來看，由于“品格”與“價值觀”很難用測量的方法評價，需要采用定性的方法，因此測量主要針對關(guān)鍵能力.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，并沒有對關(guān)鍵能力作出具體描述.在對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的定義中，是把這6個核心素養(yǎng)作為名詞來描述的，例如，“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)”，數(shù)學(xué)抽象是素養(yǎng)，顯然是名詞.但另一方面，“數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系”，這種描述顯然又將數(shù)學(xué)抽象看成是一個過程，即數(shù)學(xué)的抽象過程.既然是過程就必須有活動，就有活動效率的高低(對核心素養(yǎng)的三級水平劃分就是活動效率高低的表現(xiàn)形式)，因而數(shù)學(xué)抽象就表現(xiàn)出了能力的特質(zhì).對其他5個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以作同樣的分析，可以看出，6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)本質(zhì)上蘊(yùn)涵了6種關(guān)鍵能力，從能力角度理解，檢測學(xué)習(xí)質(zhì)量就應(yīng)當(dāng)從這6個關(guān)鍵能力來開展.

1.3 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的測試不能脫離數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

學(xué)科關(guān)鍵能力的生成源于知識[7]，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的生成源于數(shù)學(xué)知識，脫離知識談關(guān)鍵能力是空中樓閣.在6個數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力中，除邏輯推理和直觀想象具有一般思維能力的特征外，其余的關(guān)鍵能力完全不能脫離數(shù)學(xué)知識.另一方面，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的測驗是對學(xué)業(yè)成績的測驗.與一般的智力測驗不同，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的測驗用于日常教學(xué)評價和升學(xué)考試評價，是一種學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測而不是純粹的智商測驗.因此，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力測驗與教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)，形式上與以前的考試大同小異，內(nèi)容上卻是淡化單純對知識點理解和掌握情況的考察而應(yīng)增加對能力因素的考量.要改變單純在數(shù)學(xué)內(nèi)部情境命題的思路，削弱模式化的收斂性題型，將情境性、開放性、發(fā)散性問題滲入測驗中；要弱化題目過度追求技能技巧的傾向，增強(qiáng)考察思維深刻性和獨創(chuàng)性的元素.

2 考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力試題編制的模型建構(gòu)

怎樣的題目就是考察了學(xué)生的能力水平而不是單純地考察知識理解？其實這是一個相對的概念，因為知識與能力不能截然分開，按照認(rèn)知心理學(xué)的觀點，技能和能力包含在程序性知識之中或者說由程序性知識發(fā)展而來.掌握了一個知識并能用于解決與知識相關(guān)的簡單問題，這是一種技能；面對一個復(fù)雜問題判斷知識該怎么運(yùn)用，何時運(yùn)用，哪些知識應(yīng)該組合運(yùn)用，這就是能力.

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》給出了學(xué)業(yè)質(zhì)量水平與考試評價的基本框架和要求，提出學(xué)業(yè)水平考試與高考命題的建議.

2.1 對《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》評價框架的解析

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將評價分為三個維度：第一個維度是反映數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個方面，它們分別為情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思.第二個維度是四條內(nèi)容主線，它們分別為函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動.第三個維度是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的三個水平[8].

這個框架可以用表1來表示：

表1 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》考試評價框架

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對6個核心素養(yǎng)的三個水平作了詳細(xì)描述，并指出水平一是高中畢業(yè)應(yīng)當(dāng)達(dá)到的要求，也是高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的命題依據(jù)；水平二是高考的要求，也是高考命題的依據(jù)；水平三是必修、選擇性必修和選修課程的某些內(nèi)容對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)達(dá)成提出的要求，可以作為大學(xué)自主招生的參考.

這一評價框架，無疑是對傳統(tǒng)評價模式的一種突破，它突出了對學(xué)生的能力而非單純對知識的理解與記憶的考察.但是，我們從學(xué)理和操作層面作分析，會看到這個評價框架存在的一些問題.

第一，這個評價框架是將核心素養(yǎng)的水平又作了水平劃分，造成實踐層面的操作困難.把每一種核心素養(yǎng)分為情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個方面，然后每一個方面又分別分為三種水平，這樣的做法其依據(jù)是什么？事實上，它存在的問題是，四個方面不是四個平行的維度而是四種不同的水平.“知識與技能”是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)具備的基本水平，只有具備了一定的知識和技能，才可能進(jìn)入“情境與問題”階段.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把“情境與問題”界定為“情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，問題是指在情境中提出的問題.”“知識與技能”指“能夠幫助學(xué)生形成相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的知識與技能.”顯然，后者是基礎(chǔ)，前者是發(fā)展.也就是說，“知識與技能”與“情境與問題”本身就應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的兩種水平，對水平再分水平，就會出現(xiàn)學(xué)理上的混亂或者是概念的邊界不清.例如，對于數(shù)學(xué)抽象這個核心素養(yǎng)，在“情境與問題”這一維度上三級水平劃分，其三個水平的描述幾乎相同，差異主要在“熟悉的情境”“關(guān)聯(lián)的情境”和“綜合的情境”上，一方面，這三種情境并沒有清晰的界定，給實踐層面帶來了困難；另一方面，這三種情境并不能完全反映問題的難度，在熟悉的情境中解決或提出問題就一定比在關(guān)聯(lián)的情境中解決或提出問題容易嗎？在關(guān)聯(lián)的情境中解決或提出問題就一定比在綜合情境中解決或提出問題容易嗎？顯然不一定，前者的難度比后者的難度更大的例子比比皆是.對于“思維與表達(dá)”顯然比前面兩個方面又有了更高的要求，屬于更高一級水平.而“交流與反思”，可以作為平時教學(xué)評價的一個指標(biāo)，但在考試命題中是無法實施的，因而在試題命題中可以不考慮這個因素.

第二，三個水平分別對應(yīng)高中畢業(yè)、高考、高校自主招生的要求，會造成教學(xué)目標(biāo)設(shè)定的困難.從評價本身來看，三個水平分別對應(yīng)高中畢業(yè)、高考、高校自主招生的要求似乎沒有什么問題，但是平時的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)當(dāng)制定在哪個水平上？因為評價的依據(jù)是教學(xué)目標(biāo)，是對教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成的評判，沒有脫離教學(xué)目標(biāo)的評價；反過來，教學(xué)評價又對教學(xué)目標(biāo)的制訂起著規(guī)約甚至是導(dǎo)向作用.根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的這種對應(yīng)關(guān)系，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何操作呢？如果教學(xué)目標(biāo)定位在水平一上，那么不能適合要參加高考的學(xué)生需求；如果教學(xué)目標(biāo)定位在水平二上，那么對于不參加高考的學(xué)生其要求又太高；如果教學(xué)目標(biāo)定位在水平三上，那么對于不參加高考以及參加高考的學(xué)生，其要求都太高.因此，將三個水平分別對應(yīng)高中畢業(yè)、高考、高校自主招生的要求，會使教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的無所適從，造成教學(xué)方案設(shè)計的困難.

第三，考試命題難以界定核心素養(yǎng)的水平.以表1為例，假定某一道題目考察的是數(shù)學(xué)抽象，題目在“情境與問題”因素是水平三，在“知識與技能”因素是水平二，在“思維與表達(dá)”因素是水平一，在“交流與反思”因素是水平一，那么，這道題目應(yīng)當(dāng)算考察了數(shù)學(xué)抽象這個核心素養(yǎng)的第幾水平？一套試題應(yīng)當(dāng)全面反映考察6個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)(本質(zhì)是6種關(guān)鍵能力)，同時考察三種水平的試題要有合理分布，如果不能準(zhǔn)確分析試題考察水平的分布，就難以對試題的合理性作出評判.

2.2 對幾種測評理論的解析

1.布盧姆認(rèn)知領(lǐng)域的評價理論

布盧姆將認(rèn)知領(lǐng)域的目標(biāo)從低到高分為六級：①知識：對先前學(xué)習(xí)過的材料的記憶.②領(lǐng)會：能把握材料的意義.可借助于三種形式來表征：一是轉(zhuǎn)換，即用自己的話或用與原先表達(dá)方式不同的方式表達(dá)自己的思想；二是解釋，即對一項信息加以說明或概述；三是推斷，即估計將來的趨勢.③運(yùn)用：能將習(xí)得的材料應(yīng)用于新的具體情境.④分析：能將整體材料分解成它的構(gòu)成成分并理解組織結(jié)構(gòu).⑤綜合：能將部分組成新的整體，產(chǎn)生新的模式和結(jié)構(gòu).⑥評價：對材料作價值判斷的能力[9].

布盧姆的學(xué)習(xí)評價理論，其實就是一個從對基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的形成到問題解決的上升過程的認(rèn)知水平劃分，并不只是考察學(xué)生掌握知識的情況，在比較高的水平階段，涉及到了對知識學(xué)習(xí)之后形成的能力的考察.但是，這個框架基本上還是對知識學(xué)習(xí)不同結(jié)果的評價，雖然在“綜合”和“評價”兩個階段有能力水平表現(xiàn)的描述，但還是是圍繞學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識展開的，并不涉及由學(xué)生“生成新知識”的因素，因而不能體現(xiàn)高水平能力的表現(xiàn)形式.

2.測量數(shù)學(xué)素養(yǎng)的PISA評價模型

PISA關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測評框架包括3個維度：情境維度、內(nèi)容維度、過程維度.3個數(shù)學(xué)過程：①表述：數(shù)學(xué)化(公式化、系統(tǒng)化)地表示情境；②運(yùn)用：調(diào)用數(shù)學(xué)的概念、事實、程序和原理；③評估：解釋、應(yīng)用和評價數(shù)學(xué)的結(jié)果.7種數(shù)學(xué)能力為交流，數(shù)學(xué)化，表征，推理和論證，設(shè)計問題解決策略，使用符號、公式、專業(yè)語言和運(yùn)算，使用數(shù)學(xué)工具.以3個數(shù)學(xué)過程為經(jīng)線、7種數(shù)學(xué)能力為緯線，組成一個3×7的矩陣結(jié)構(gòu)[10].

分析這個測評結(jié)構(gòu)，可以看到“數(shù)學(xué)過程”并不是對數(shù)學(xué)能力的水平劃分，而是一種分類，即通過測驗可以考察各種能力在不同數(shù)學(xué)過程中的表現(xiàn).該模型主要是為反饋評估結(jié)果提供有價值的信息，為政策制定者、教育工作者提供研究學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的有效資料.我們認(rèn)為，作為關(guān)鍵能力的測評，更重要的是要考察學(xué)生在某種能力上的水平差異，這也是考試選拔功能的需要.事實上，PISA關(guān)于能力水平的劃分是依據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績來劃分的，分為6個等級水平，這6個水平代表了任務(wù)的難易程度.學(xué)生處于某一個等級，不僅表明掌握了那個等級所需要的知識和技能，而且也說明具備了更低等級的要求.規(guī)定具備某個等級水平的學(xué)生，需要正確回答那個等級至少一半以上的題目[11].顯然，這種劃分并不能反映出學(xué)生在各個能力要素的不同水平差異.作為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的測評，不宜采用這種方式.

3. SOLO評價理論

SOLO分類理論是基于學(xué)生對某一具體問題反應(yīng)的分析,對學(xué)生解決問題時所達(dá)到的思維水平進(jìn)行由低到高的5個基本結(jié)構(gòu)層次的等級劃分.①前結(jié)構(gòu)：學(xué)生無法理解對象或只會重復(fù)對象，不能理解要點；②單結(jié)構(gòu)：學(xué)生注意到了對象的一個相關(guān)特征，但事實和觀點之間沒有聯(lián)系；③多元結(jié)構(gòu)：學(xué)生找到了許多獨立的相關(guān)特征，但還無法有機(jī)地將它們聯(lián)系起來；④關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)：整合各部分內(nèi)容使其成為一個有機(jī)整體；⑤擴(kuò)展抽象：學(xué)生會歸納問題或重新概念化到更高的抽象層次[12].

SOLO模型主要用于問題解決中學(xué)生對知識的理解情形，例如，拓展抽象水平的描述：學(xué)生在復(fù)雜的環(huán)境下不僅能夠發(fā)現(xiàn)隱含的信息，并能夠運(yùn)用自己已有的知識將這些信息進(jìn)行全面的聯(lián)系，而且能夠提出發(fā)展的觀點.從SOLO的最高水平可以看出，它并不是真正意義上對學(xué)生的能力作評價，主要用于傳統(tǒng)意義上的學(xué)業(yè)成就評價.

2.3 考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力測驗的一種模型

綜合分析布盧姆認(rèn)知領(lǐng)域的評價理論、PISA評價模型和SOLO評價的水平劃分，參考李藝等提出的學(xué)科核心素養(yǎng)水平劃分理論，并結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的特殊性質(zhì)，我們提出了一種評價數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的框架.關(guān)于這個框架的結(jié)構(gòu)和理論分析，在文[7]、[13]、[14]中作了詳細(xì)闡述，這里不再贅述.下面對這一模型作進(jìn)一步完善.

具體地說，將數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力分為三級水平，一級水平對應(yīng)知識理解，二級水平對應(yīng)知識遷移，三級水平對應(yīng)知識創(chuàng)新.知識理解指的是原課程標(biāo)準(zhǔn)中三維目標(biāo)的第一維目標(biāo)，即知識與技能，也就是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》所指的“知識與技能”.理解基礎(chǔ)知識、掌握基本技能是數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力形成的基礎(chǔ)，將其作為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力表現(xiàn)的一級水平.知識遷移指將數(shù)學(xué)知識遷移到情境中去解決問題，情境包括現(xiàn)實情境、其他學(xué)科情境、數(shù)學(xué)學(xué)科情境.知識遷移基本上與《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“情境與問題”對應(yīng)，由于需要面臨情境采用多種規(guī)則或多種方法解決問題，所以將其作為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力表現(xiàn)的二級水平.知識創(chuàng)新指學(xué)習(xí)者能夠?qū)栴}進(jìn)行推廣、變式，能夠提出合理的猜想并證偽或證實；能夠解決開放性、探究性問題；能夠適度生成超越教材范圍的新的知識，形成優(yōu)良的數(shù)學(xué)學(xué)科思維品質(zhì).顯然，這是數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵能力的高級表現(xiàn)，因此界定為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的三級水平.

這個評價模型的基本思路是，將數(shù)學(xué)的6個關(guān)鍵能力均按知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新三個水平劃分，以知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新為“經(jīng)”，以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析為“緯”，建立一個二維評價結(jié)構(gòu)，在經(jīng)緯交匯處給出具體的內(nèi)涵描述，即為某種關(guān)鍵能力在某個水平上的具體表現(xiàn)，這就是考試命題的依據(jù).數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價模型由三個維度組成，能力維度(6個關(guān)鍵能力)、水平維度(3級水平)、內(nèi)容維度(函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、建模與探究).

考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的命題框架見表2.

表2 考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的命題雙向細(xì)目表

幾點說明：

(1)利用這個表，可以分析某道題目考察的是哪些關(guān)鍵能力，分別是什么水平，在相應(yīng)的關(guān)鍵能力下面的三級水平適當(dāng)位置畫一個勾，同時在考察內(nèi)容的對應(yīng)位置畫一個勾.最后統(tǒng)計出每個關(guān)鍵能力、各個水平以及考察內(nèi)容的各自次數(shù)，從而可以精準(zhǔn)地分析題目分布的合理性.

(2)每一道題目不一定只測量某一種能力，而往往是測量多種能力.例如，數(shù)學(xué)問題的解決總是存在邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算，因此這兩種能力幾乎滲透到所有的問題解決中.但是，每一道題應(yīng)當(dāng)有一種作為主要考察的關(guān)鍵能力.

(3)關(guān)于每道題目的分值確定.可以采用如下方案：由各水平的分值確定題目的總分值.將題目中1級、2級、3級水平分別計x分、x+1分、x+2分，x可以取一個恰當(dāng)?shù)闹祻亩_定各水平的分值.例如，假如有兩道題目分別考察了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象，其分布如表3.

表3 兩道題目考察的關(guān)鍵能力及水平分布示例

從表3可以看到，知識理解水平考察了4次，知識遷移水平考察了2次，知識創(chuàng)新水平考察了1次.取x=2，則知識理解水平分?jǐn)?shù)8分，知識遷移水平分?jǐn)?shù)6分，知識創(chuàng)新水平分?jǐn)?shù)4分，分布是基本合理的.由此可以確定題1的總分是2+3+2=7分，題2的總分是3+2+2+4=11分.

3 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的測驗題目編制

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出命題的原則，“考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線，聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性；注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧；融入數(shù)學(xué)文化.”[8]因此，考試命題應(yīng)當(dāng)以此為準(zhǔn)則，真正把命題指向?qū)W生核心素養(yǎng)的達(dá)成而非單純對知識理解的考察.

3.1 題目設(shè)計形式多樣化

傳統(tǒng)的考試，題目基本上以驗證、證實為主要題型，答案是唯一的，解決問題的過程就是利用相關(guān)概念、規(guī)則去尋求這一答案.顯然，這樣的題目主要依托解題者對知識的理解和對各種解題技能技巧的熟練掌握，以考量知識與技能的掌握為主要目的.要改變這種考察模式，以考察關(guān)鍵能力的發(fā)展為目標(biāo)，就應(yīng)當(dāng)把探究型問題適當(dāng)放入考題中，探索答案而不是只有驗證答案.

探究型問題的形式可以是，①開放性問題.開放題是指問題的答案不是唯一的，或者問題的條件是不充分的，或者問題的條件是冗余的(即有的條件是多余的).開放性問題也包括只給出條件不給出結(jié)論的問題，可以讓解題者自由探究結(jié)論，不同的解題者得到的結(jié)論可能是不一樣的.②推廣性問題.指在解決的基礎(chǔ)上可以把這個問題進(jìn)行推廣，將特殊情形推廣為一般情形.③變式性問題.指改變問題的條件或者對圖形進(jìn)行運(yùn)動變化而產(chǎn)生新的結(jié)論.④作文性問題.給出一個題目，圍繞這個題目寫一篇小作文.

案例1：如圖1，我們知道，以Rt△ABC的三邊為邊長的三個正方形的面積之間有關(guān)系：兩個小正方形面積之和等于大正方形.請你回答下面的問題：

(1)如圖2，以Rt△ABC的三邊為邊長的三個等邊三角形的面積之間有什么關(guān)系？請給出證明.

(2)根據(jù)上面兩個問題的啟示，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？請你寫發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)論，并給出證明.

圖1

圖2

第(1)題將問題作了變式，是一種新的情境(數(shù)學(xué)內(nèi)部情境)，涉及邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.第(2)題是開放性問題，考察學(xué)生推廣命題的能力，涉及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.具體水平見表5.

表5 案例1的關(guān)鍵能力和水平分布

案例2：請你就對“函數(shù)”概念的理解，寫一篇200字的作文.

學(xué)生可以就對函數(shù)知識本身的理解、函數(shù)在知識體系中的作用、函數(shù)在現(xiàn)實中的應(yīng)用、函數(shù)的歷史發(fā)展、函數(shù)的類型及特征、函數(shù)的美學(xué)特征等等方面選取題材進(jìn)行描寫，從而考察學(xué)生的核心素養(yǎng).

3.2 問題情境設(shè)置合情化

問題情境包括現(xiàn)實生活情境、其他學(xué)科情境和數(shù)學(xué)內(nèi)部情境.所謂問題情境設(shè)置合情化，是指現(xiàn)實生活情境要體現(xiàn)真實性，其他學(xué)科情境要滿足科學(xué)性，數(shù)學(xué)內(nèi)部情境要突出探究性.PISA關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測試題目，幾乎都有真實的現(xiàn)實情境或科學(xué)情境，值得在編制考察數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力試題時借鑒.

案例3：現(xiàn)在我們定義兩種運(yùn)算“*”和“?”，對于任意兩個整數(shù)a，b，有

a*b=a2+b2，a?b=2ab.

(1)因式分解：(a*b)-(a?b)；

(2)驗證這兩種運(yùn)算滿足交換律，即a*b=b*a，a?b=b?a；

(3)如果要使結(jié)合律成立，即(a*b)?c=a*(b?c)，那么a，b，c之間要滿足什么條件？

(4)請你自己用代數(shù)式定義這兩種運(yùn)算，使得結(jié)合律恒成立.

這道題目的情境是數(shù)學(xué)內(nèi)部情境，它打破了傳統(tǒng)命題思維的束縛.不是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的概念基礎(chǔ)上解決問題，而是利用所學(xué)習(xí)過的知識去解理一個新的概念，本質(zhì)上是要求學(xué)生抽象出一個新的概念，這是數(shù)學(xué)抽象過程，同時考察了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.本題的情境設(shè)置較好，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)情境的探究性.

3.3 能力水平布局合理化

一套試卷的編制，首先要考慮對6個關(guān)鍵能力的綜合考察，題目應(yīng)當(dāng)覆蓋6種關(guān)鍵能力.其次，三級水平的題目都應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)，根據(jù)不同的考試目的，三級水平的題目分值比例可以不同.例如，平時測驗試題的水平一、二、三的分值比例可為5∶4∶1，選拔性考試的比例可以為4∶4∶2.

按照《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求，考題中應(yīng)當(dāng)減少選擇題和填空題，因為這樣的題目難以考察關(guān)鍵能力.一道好的題目，也應(yīng)當(dāng)考慮能力及水平布局的合理化.

(第17題)

案例4：江蘇省2016年高考題第17題.

現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍.

(1)若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少？

(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，當(dāng)PO為多少時，倉庫的容積最大？

本題考察的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力：直觀想象：第(1)題是一級水平；第(2)題需要引入輔助線，是二級水平.數(shù)學(xué)運(yùn)算：第(1)題用單一規(guī)則計算，屬于一級水平；第(2)題用多種規(guī)則計算，屬于二級水平.邏輯推理：第(1)題用到簡單推理，是一級水平；第(2)題進(jìn)行多步推理，是二級水平.

從考察關(guān)鍵能力角度看，這道題目涉及的能力水平偏低.如果增加一個問題，考察的關(guān)鍵能力會更加全面，水平分布更加合理.

增加問題(3)-1：由這個問題，你能構(gòu)造一個類似的問題并解決它嗎？

或者問題(3)-2：你能否把這個問題作一般化處理？請給出解答.

問題(3)-1是開放性問題，例如，學(xué)生可能會想到把求體積問題變化為求表面積問題；可能會把正四棱柱、正四棱錐改為圓臺、圓錐等等.問題(3)-2是推廣性問題，可以設(shè)正四棱柱的高O1O與正四棱錐的高PO1之比為a，設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長為bm，從而將問題一般化.

增加的問題考察的關(guān)鍵能力為數(shù)學(xué)抽象：從特殊到一般的抽象或類比得到新的結(jié)論，三級水平;邏輯推理：推理過程類似第(2)題，二級水平;數(shù)學(xué)運(yùn)算：二級水平;直觀想象：類比得到新的結(jié)論，需要重新作圖，引輔助線，三級水平.

本題通過三道小題的設(shè)計，使考察的能力比較全面，三個水平的分布比較合理.