孫軍波

(浙江省溫嶺中學(xué) 317500)

1 引言

開(kāi)展基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，需要把一些具有邏輯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，即進(jìn)行整體的單元教學(xué)設(shè)計(jì)，這樣更有利于培育學(xué)生的核心素養(yǎng)．單元教學(xué)是撬動(dòng)課堂教學(xué)轉(zhuǎn)型的一個(gè)支點(diǎn)，以單元為整體進(jìn)行設(shè)計(jì)可以更好地理解知識(shí)從何處來(lái)，到何處去這一問(wèn)題，通過(guò)單元教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升是高效的.

在實(shí)際教學(xué)中，實(shí)施整體單元的教學(xué)設(shè)計(jì)，需要綜合考慮各種影響和制約高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有關(guān)因素或環(huán)節(jié)，特別是單元思想和現(xiàn)行教材的關(guān)系，班級(jí)授課制和整體教學(xué)設(shè)計(jì)落地的關(guān)系．從單元與現(xiàn)存教材的關(guān)系角度看，一類是不改變教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)與編排，以單位為單元，強(qiáng)化教學(xué)內(nèi)容分析、學(xué)生認(rèn)知分析、教學(xué)目標(biāo)制定、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)的整體性，使課時(shí)與課時(shí)之間的聯(lián)系更加緊密，例如本文中的復(fù)數(shù)；一類是以單元為單位，需要適當(dāng)調(diào)整教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，重新強(qiáng)化內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，更好地突出教與學(xué)的整體性與系統(tǒng)性．另外受現(xiàn)行班級(jí)授課制的限制，較難在每節(jié)課中體現(xiàn)出單元的整體思想．筆者認(rèn)為落實(shí)單元教學(xué)思想的關(guān)鍵是單元起始課的教學(xué)設(shè)計(jì)研究，起始課作為知識(shí)單元教學(xué)的序曲，是單元整體的引導(dǎo)性材料，它具有介紹本單元的內(nèi)容、地位和作用的功能，是展現(xiàn)單元整體思想的較好載體．

2 單元起始課概念界定

基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)與發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)切實(shí)需要的教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)課標(biāo)、教材、學(xué)情在結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，進(jìn)行重新組合的“單元”第一課．單元更多的是課程/學(xué)習(xí)單位，非內(nèi)容單位．單元的劃分標(biāo)準(zhǔn)不同，重組的單元也是不同的．若大單元與章的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)保持一致，起始課有一定的相似性，但是單元起始課更突出整體(內(nèi)容和研究方法的整體性)關(guān)聯(lián)性思維，它是以提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)為目標(biāo)，即生本與培育核心素養(yǎng)為主；單元起始課與傳統(tǒng)的章起始課有很多共同之處，但章節(jié)起始課更多地關(guān)注將要學(xué)習(xí)什么知識(shí)、如何學(xué)、學(xué)了有什么用，即文本為主．

3 復(fù)數(shù)單元起始課再設(shè)計(jì)的緣由

復(fù)數(shù)在人教A版選修2-2第三章，新教材中位于主題三第二部分，在原有的數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算基礎(chǔ)上，補(bǔ)充了復(fù)數(shù)的三角形式等[1]．近幾年高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查基本圍繞復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，使得師生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)單元不夠重視，僅僅考慮使用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算，因此教師和學(xué)生對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程及復(fù)數(shù)的幾何意義的認(rèn)識(shí)較為模糊．

在數(shù)學(xué)史上，虛數(shù)以及復(fù)數(shù)概念的引入經(jīng)歷了一個(gè)曲折過(guò)程，其中充滿著數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓的精神，對(duì)于培育學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想方法的理解有著較好的作用．基于此我們對(duì)復(fù)數(shù)單元的起始課進(jìn)行了再設(shè)計(jì)，力求找準(zhǔn)復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的邏輯起點(diǎn)，揭示復(fù)數(shù)概念發(fā)展的邏輯主線，明晰定性刻畫(huà)復(fù)數(shù)幾何意義的必要性，把數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程的思考作為復(fù)數(shù)概念建立的重要過(guò)程和階段來(lái)處理，重在探究數(shù)系擴(kuò)充的原則、從而建立復(fù)數(shù)概念，同時(shí)深化對(duì)復(fù)數(shù)概念的幾何意義與四則運(yùn)算間的聯(lián)系．

4 前期分析

4.1 教學(xué)內(nèi)容分析

4.1.1知識(shí)產(chǎn)生的背景與固著點(diǎn)

復(fù)數(shù)起源于負(fù)數(shù)開(kāi)平方問(wèn)題，在復(fù)數(shù)誕生的早期，數(shù)學(xué)家并不愿意接受，認(rèn)為這種數(shù)只是存在于“幻想之中”，直至德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯用復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后并用向量解釋了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)才被廣泛接受．雖然有種說(shuō)法虛數(shù)是為了解沒(méi)有實(shí)數(shù)解的二次方程式而想象出來(lái)的，但是事實(shí)可能并非如此，如果僅是二次方程的話，只要加一個(gè)規(guī)定“如果判別式是負(fù)數(shù)的話，二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解”，這樣就可以結(jié)束討論了，并沒(méi)有為了要二次方程有解而創(chuàng)造復(fù)數(shù)的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)．在歷史上，利用數(shù)學(xué)方法認(rèn)真思考復(fù)數(shù)，就是在研究三次方程的解法時(shí)，因此三次方程求根公式中出現(xiàn)負(fù)數(shù)開(kāi)方的情形是復(fù)數(shù)知識(shí)產(chǎn)生的一個(gè)固著點(diǎn).

4.1.2知識(shí)生長(zhǎng)的過(guò)程與階段

復(fù)數(shù)概念的形成經(jīng)歷了如下幾個(gè)階段：一是使用卡當(dāng)公式求解三次方程，發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)解需要用到不存在的虛數(shù)來(lái)表示；二是近百年時(shí)間數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)復(fù)數(shù)，但在各式各樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題之間它越來(lái)越活躍；三是到了十九世紀(jì)，高斯提出了復(fù)平面的見(jiàn)解，闡述了復(fù)數(shù)加法與乘法的幾何意義，至此復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了．需要注意的是，幾何意義是復(fù)數(shù)概念得以形成與發(fā)展的重要依據(jù)．

4.1.3知識(shí)建構(gòu)的策略與方法

復(fù)數(shù)概念是根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際需求和數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的矛盾(復(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)集內(nèi)無(wú)法開(kāi)方)而產(chǎn)生的.其建構(gòu)所用到的主要策略與方法：一是類比思想，即類比有理數(shù)、實(shí)數(shù)等數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程，探索推理復(fù)數(shù)模型；二是數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)復(fù)數(shù)與向量一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，以形助數(shù)、以數(shù)論形，構(gòu)建完整的復(fù)數(shù)理論.

4.1.4知識(shí)間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)分析

向量是復(fù)數(shù)的幾何表示，通過(guò)向量的運(yùn)算定義，完善復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算的幾何解釋；另一方面復(fù)數(shù)僅是二維向量，嚴(yán)格地講復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但兩者并非完全等價(jià).兩者在線性運(yùn)算方面是等價(jià)的，但在乘法運(yùn)算方面存在不同.

4.1.5知識(shí)間的要點(diǎn)與本質(zhì)

復(fù)數(shù)的本質(zhì)是二元數(shù)，對(duì)一元實(shí)數(shù)的推廣，是代數(shù)研究對(duì)象從一維空間到二維空間的推廣，因此實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的另一個(gè)固著點(diǎn).

4.1.6知識(shí)的學(xué)科意義與教學(xué)價(jià)值

復(fù)數(shù)已被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、信號(hào)分析等學(xué)科，因此復(fù)數(shù)有著深厚的物理背景. 復(fù)數(shù)是復(fù)變函數(shù)論、量子力學(xué)等學(xué)科中最基礎(chǔ)的對(duì)象和工具，具有十分重要的學(xué)科價(jià)值和教育價(jià)值．復(fù)數(shù)概念建立過(guò)程中所蘊(yùn)含的類比思想，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、推理素養(yǎng)．在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓構(gòu)造了四元數(shù)模型，并導(dǎo)致了物理學(xué)中著名的麥克斯韋方程的產(chǎn)生[2].

4.2 學(xué)生認(rèn)知分析

4.2.1學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)分析

學(xué)生已具有一些數(shù)的概念并能理解數(shù)集之間的包含關(guān)系,掌握了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的一些運(yùn)算法則和運(yùn)算律，有了數(shù)系擴(kuò)充的一些經(jīng)驗(yàn)．其次學(xué)生掌握了一元二次方程等的求解方法以及方程的解的概念，了解乘方運(yùn)算與開(kāi)方運(yùn)算的互逆關(guān)系、數(shù)學(xué)邏輯用語(yǔ)以及推理與證明的相關(guān)知識(shí)．最后是學(xué)生已掌握向量的概念及運(yùn)算的一些相關(guān)知識(shí)．

4.2.2學(xué)生認(rèn)知障礙分析

在生活中缺少?gòu)?fù)數(shù)的現(xiàn)實(shí)物理背景，學(xué)生缺乏直觀感受，對(duì)其很陌生且較難理解；另一方面學(xué)生缺乏從整體上重新審視數(shù)系發(fā)展的過(guò)程，不知道數(shù)系為什么要擴(kuò)充，以及它與生產(chǎn)生活及方程求解之間的關(guān)系,對(duì)數(shù)的生成和發(fā)展的歷史規(guī)律沒(méi)有深刻的認(rèn)識(shí)，也缺少深入的思維習(xí)慣．

4.2.3學(xué)生認(rèn)知風(fēng)格分析

多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于被動(dòng)學(xué)習(xí)而不是主動(dòng)的研究學(xué)習(xí)，習(xí)慣于獨(dú)立學(xué)習(xí)而不是合作學(xué)習(xí)，習(xí)慣于機(jī)械解題而不是研究問(wèn)題．

4.2.4學(xué)生認(rèn)知差異分析

由于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)等方面的差異，因此應(yīng)允許不同的學(xué)生以不同的方式學(xué)習(xí)，獲得不同的結(jié)果，即允許部分學(xué)生以接受、模仿的方式學(xué)習(xí)．

4.3 教學(xué)目標(biāo)及素養(yǎng)解讀

基于前期的內(nèi)容分析、學(xué)生的認(rèn)知分析，確定教學(xué)目標(biāo)及其素養(yǎng)解析如下：

(1)借助方程，對(duì)復(fù)數(shù)概念的引入背景與必要性有比較清楚的認(rèn)識(shí)，從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù)，從具體到抽象，學(xué)會(huì)掌握研究擴(kuò)充數(shù)系的思路，理解復(fù)數(shù)的概念，了解數(shù)系擴(kuò)充的基本規(guī)則．學(xué)會(huì)用類比的思想解決問(wèn)題的思路和領(lǐng)域，感悟解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法，提升學(xué)生的邏輯推理能力；

(2)通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)不同形式的研究，厘清解決問(wèn)題的思路和思想，積累創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生建模的能力；

(3)通過(guò)課后對(duì)三元數(shù)和四元數(shù)相關(guān)材料的閱讀和研究，開(kāi)闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、思考策略、解決問(wèn)題的能力．

4.4 教學(xué)設(shè)計(jì)片段

4.4.1片段1呈現(xiàn)背景，提出問(wèn)題

問(wèn)題1已知三次方程x3+px+q=0的其中一個(gè)根的求根公式:

請(qǐng)根據(jù)該公式求解方程x3-3x=0的一個(gè)根．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：教材從二次方程出發(fā)有其合理性，新的教學(xué)設(shè)計(jì)找準(zhǔn)復(fù)數(shù)概念產(chǎn)生的邏輯起點(diǎn)，通過(guò)設(shè)置情景沖突，可以有利激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的欲望，也比較自然地進(jìn)入復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)之中．還原歷史幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)引入的必要性，進(jìn)而了解實(shí)際需求和數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中的作用．

4.4.2片段2聯(lián)想激活，尋求方法

問(wèn)題2數(shù)系的擴(kuò)充可能遵循哪些原則？聯(lián)想回憶我們?cè)鴮W(xué)習(xí)了哪些數(shù)的集合與運(yùn)算？數(shù)系每一次擴(kuò)充后哪些方程從無(wú)解變有解？

分析：從自然數(shù)擴(kuò)充到了整數(shù)，實(shí)現(xiàn)了方程x+1=0有解，從而實(shí)現(xiàn)了減法運(yùn)算的封閉，從整數(shù)擴(kuò)充到了有理數(shù)，實(shí)現(xiàn)了方程2x+1=0有解，從而實(shí)現(xiàn)了除法運(yùn)算的封閉．通過(guò)類比自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)到實(shí)數(shù)的過(guò)程，獲得數(shù)系擴(kuò)充可能遵循的原則，首先是為了解決方程中產(chǎn)生的問(wèn)題；其次擴(kuò)充的數(shù)系應(yīng)該包含原來(lái)的數(shù)系，并希望原有的運(yùn)算及運(yùn)算律仍能成立．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：數(shù)系擴(kuò)充原則的討論這一問(wèn)題是尋求方法的關(guān)鍵，通過(guò)回顧從自然數(shù)集逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)系的過(guò)程，為實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充提供了類比對(duì)象，也為如何擴(kuò)充數(shù)系指明了方向．

4.4.3片段3歸納抽象，建立概念

問(wèn)題3規(guī)定虛數(shù)i后，通過(guò)實(shí)數(shù)與i進(jìn)行四則運(yùn)算可以產(chǎn)生哪些新的形式的數(shù)？這些新的數(shù)一般形式可能是什么？

分析：新數(shù)集可能有這樣一些形式的數(shù)，1+i、1-i、2i等，所以新數(shù)的一般形式可能為a+bi(a,b∈R)．把集合C={a+bi|a,b∈R}中的數(shù)，即形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位．全體復(fù)數(shù)組成的集合C叫做復(fù)數(shù)集．用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：根據(jù)上述討論的數(shù)系擴(kuò)充原則，由實(shí)數(shù)和新引入的虛數(shù)單位進(jìn)行四則運(yùn)算，嘗試構(gòu)建復(fù)數(shù)的一般形式并命名，學(xué)生經(jīng)歷復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生過(guò)程，為課后三元數(shù)的證偽研究提供思路借鑒和研究方向．

4.4.4片段4運(yùn)用新知，解決問(wèn)題

問(wèn)題4下列方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是否有解，如果有解，請(qǐng)求出方程所有的解．

(1)x2+9=0； (2)x2+x+1=0 ；

(3)x3-1=0．

學(xué)生活動(dòng)：利用配方、因式分解、求根公式等在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解這三個(gè)方程．

分析：由實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，失去了實(shí)數(shù)集R全區(qū)域的性質(zhì)，復(fù)數(shù)集C只能是一個(gè)半?yún)^(qū)域了，即C中元素?zé)o大小可言，但是C是代數(shù)閉域，任何代數(shù)方程在C中必定有根．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：增加了在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解二次方程等問(wèn)題，可以更好地理解復(fù)數(shù)模型建立的意義，感悟數(shù)系擴(kuò)充后帶來(lái)的飛躍．學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的假設(shè)、論證和完善過(guò)程，體會(huì)數(shù)系的擴(kuò)充可以解決問(wèn)題的同時(shí)，也可能會(huì)失去原數(shù)系的一些性質(zhì)．

4.4.5片段5多元聯(lián)系，拓展深化

問(wèn)題5實(shí)數(shù)的順序特征使得它和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部組成，能否在實(shí)數(shù)軸的基礎(chǔ)上為復(fù)數(shù)尋找一個(gè)幾何意義？

分析：復(fù)數(shù)的虛部為零時(shí)，復(fù)數(shù)就成為了一維的實(shí)數(shù)軸，所以當(dāng)虛部不為零時(shí)，可以考慮類似于坐標(biāo)系一樣引進(jìn)一個(gè)虛軸，復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是二元數(shù)，具體復(fù)數(shù)的幾何意義在下一課中詳細(xì)講解．

設(shè)計(jì)說(shuō)明：復(fù)數(shù)概念的建立缺乏生活背景，通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義猜測(cè)，人們可以嘗試感受到復(fù)數(shù)的存在，在起始課中為下一節(jié)幾何意義的引進(jìn)埋下伏筆．歷史上復(fù)數(shù)的幾何意義是建立復(fù)數(shù)模型的關(guān)鍵，不僅為后續(xù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和法則提供依據(jù)，也導(dǎo)致了三元數(shù)的提出和否定

4.4.6片段6回顧反思，拓展問(wèn)題

問(wèn)題6為什么要建立復(fù)數(shù)模型？能否描述一下復(fù)數(shù)模型的研究過(guò)程？

問(wèn)題7如果說(shuō)復(fù)數(shù)是二元數(shù)，那是否存在a+bi+cj這樣形式的數(shù)？你能否借鑒本節(jié)課復(fù)數(shù)的研究過(guò)程創(chuàng)建一個(gè)三元數(shù)的模型？請(qǐng)查閱資料，是基于什么原因人們最后認(rèn)可了復(fù)數(shù)模型，而三元數(shù)a+bi+cj卻沒(méi)有？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：復(fù)數(shù)的本質(zhì)是二元數(shù)，對(duì)一元實(shí)數(shù)的推廣，是代數(shù)研究對(duì)象從一維空間到二維空間的推廣，因此實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的另一個(gè)固著點(diǎn).二元數(shù)的本質(zhì)一旦揭示，那三元數(shù)的提出就顯得很自然也很合理，更為重要的是數(shù)學(xué)研究需要考慮證實(shí)，也需要考慮證偽，通過(guò)證偽可以更好地佐證其合理性．回顧反思不僅是為了總結(jié)，更多的是展望下一步研究，拓展數(shù)學(xué)的問(wèn)題．通過(guò)課后研究三元數(shù)的問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)定義三元數(shù)的乘法時(shí)，無(wú)法明確地定義ij的值，若假設(shè)ij=0，則i(ij)與(ii)j無(wú)法相等，這樣就可以清楚地了解復(fù)數(shù)運(yùn)算建立的必要性．同時(shí)也為后續(xù)四元數(shù)的研究打開(kāi)了道路．也正是為了解決三元數(shù)模型中的缺陷，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓構(gòu)造了四元數(shù)模型，并導(dǎo)致了物理學(xué)中著名的麥克斯韋方程的產(chǎn)生．這樣的課后作業(yè)，比傳統(tǒng)的思考題更能拓展學(xué)生的視野，了解數(shù)學(xué)知識(shí)的研究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

5 總結(jié)和啟示

史寧中先生提到“開(kāi)展基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)把一些具有邏輯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體設(shè)計(jì)．無(wú)論把這個(gè)整體稱為‘單元’還是‘主題’，總之，要把這些內(nèi)容融為一體進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)．”[3]開(kāi)展基于核心素養(yǎng)的單元起始課教學(xué)設(shè)計(jì)是落實(shí)單元思想的第一步，本文的教學(xué)設(shè)計(jì)為“高中數(shù)學(xué)研究型教學(xué)實(shí)踐與探索”的延伸研究，采用的設(shè)計(jì)思路稱為研究型單元教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)以生為中心、教學(xué)過(guò)程即研究過(guò)程的目的，在研究過(guò)程中感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，該成果曾獲2018年國(guó)家級(jí)基礎(chǔ)教育教學(xué)成果二等獎(jiǎng)．

有效的單元起始課的關(guān)鍵是教師需要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，才能真正體會(huì)復(fù)數(shù)發(fā)展過(guò)程中數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓的精神．本課例在浙江師范大學(xué)的尖鋒論壇上進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐，從課堂的達(dá)成度和學(xué)生的訪談來(lái)看，都取得了不錯(cuò)的效果，與會(huì)教授認(rèn)為實(shí)踐中對(duì)教材的處理其實(shí)質(zhì)是將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的整個(gè)環(huán)節(jié)，雖然未提及數(shù)學(xué)史的知識(shí)，確將復(fù)數(shù)知識(shí)的誕生、發(fā)展、演變?cè)谡n中做了很好的揭示．通過(guò)對(duì)復(fù)數(shù)單元起始課的研究，也可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于復(fù)數(shù)，學(xué)生缺乏生活中的直觀感受，較難理解復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算定義的合理性，所以我們認(rèn)為有效的單元起始課還需要基于對(duì)學(xué)生層次的了解，基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)等方面的差異，允許不同的學(xué)生以不同的方式學(xué)習(xí)，獲得不同的結(jié)果．