錢建芬

(江蘇省蘇州市吳江區(qū)實驗初級中學 215200)

初中數(shù)學涉及人的兩種思維形式，即以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來的判斷與推理，而構成它們的基礎是數(shù)學概念，也就是說初中數(shù)學課程開始聚焦于學生抽象思維能力的發(fā)展.要夯實學生的學習基礎，提高數(shù)學學科的關鍵能力，其應然途徑就是要重視學生的每一個數(shù)學概念的形成.但是，對于初中生而言，數(shù)學概念的學習并不是件容易的事，一是數(shù)學概念是一種反映人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關系和空間形式本質(zhì)特征的形式，它的形成是人腦擺脫了對感性材料依賴的抽象思維過程；二是許多數(shù)學概念用數(shù)學符號來表示，數(shù)學概念的內(nèi)涵、形成過程以及表達方式都很“抽象”.所以，數(shù)學概念是初中數(shù)學教學中的重點，也是學生學習中的難點.有相當一部分初中學生對數(shù)學學習有畏懼心理，在課堂上情緒緊張，聽課效率低下，一知半解、稀里糊涂，嚴重影響后續(xù)學習，進而導致學業(yè)成績的下滑，思維能力得不到充分發(fā)展等等.為了破解數(shù)學概念教學的這兩大問題，從學生經(jīng)驗成長出發(fā)，圍繞數(shù)學本原性問題，尋找數(shù)學概念教學的突破點和學生思維發(fā)展的生長點.

1 基于學生生活經(jīng)驗成長的概念學習，給數(shù)學課堂增活力

美國著名教育家，經(jīng)驗主義學習的倡導者杜威先生認為：學生的學習就是經(jīng)驗的重組和經(jīng)驗的成長.所以，學生生活經(jīng)驗和學習經(jīng)驗是學生當下數(shù)學概念學習的起點，也是學生學習的重要資源.數(shù)學概念教學的實質(zhì)就是幫助頭腦沒有概念的學生建立新的概念，幫助頭腦中已經(jīng)有的模糊的、不完整的、甚至錯誤的概念的學生，進一步厘清、補充、矯治，從而形成正確概念的過程.所以，離開學生經(jīng)驗進行數(shù)學概念教學,就是無源之水、無本之木,教學目標的達成必然成為一句空話.因此，在初中數(shù)學教學中，教師要讓學生的學習主動對接他們已有的經(jīng)驗，激活學生數(shù)學學習興趣的活躍因子，順應學生經(jīng)驗的成長規(guī)律.

在蘇科版八年級下冊《9.1圖形的旋轉(zhuǎn)》教學導入時，教師先讓學生來玩“俄羅斯方塊”游戲，以孩子喜聞樂見的活動吸引學生的注意力、激發(fā)學生的興趣.指導學生觀察通過遙控器，玩家控制屏幕上出現(xiàn)的圖形做出動作反應.設計一組問題串，幫助學生在游戲中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，從他們生活經(jīng)驗中構建數(shù)學概念.

問題一“俄羅斯方塊”游戲中圖形做幾種運動？哪幾種運動？因為大多數(shù)孩子都玩過“俄羅斯方塊”游戲，不難發(fā)現(xiàn)屏幕中的圖形就作兩種運動，一是平移，二是旋轉(zhuǎn).

問題二在日常生活中，你還見到哪些現(xiàn)象是圖形的平移和旋轉(zhuǎn)？讓學生說說身邊的平移和旋轉(zhuǎn)的實例，幫助學生反芻生活經(jīng)驗，豐富學生數(shù)學概念形成前的思維圖識.同時，激發(fā)學生的求知欲，為本節(jié)課開場白創(chuàng)設良好的氛圍,同時也讓去學生從數(shù)學的角度觀察生活，思考生活,從而在生活中發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學問題的能力.

問題三請你用自己的話，說說平移和旋轉(zhuǎn)到底是什么樣的運動方式？一方面檢視學生生活經(jīng)驗中究竟形成什么樣的平移和旋轉(zhuǎn)的概念，這是數(shù)學概念正式教學前的測試，是“以學定教”的基礎性工作.平移的概念來自于學生初一學習時的經(jīng)驗，而旋轉(zhuǎn)的概念因為學生沒有系統(tǒng)學習，全憑學生的生活經(jīng)驗和小學學習“圖形的變換方式”時積累的經(jīng)驗來表述，形成不了“清晰、完整、合理”的數(shù)學概念.這時，教師就要在學生的各種觀點中梳理出“旋轉(zhuǎn)”的本原性問題，一個固定點、一個轉(zhuǎn)動角和轉(zhuǎn)動方向，即“圍繞一個點、轉(zhuǎn)動一個角度”.

教師出示各種用硬紙板做成“俄羅斯方塊”道具和大頭針，讓學生體驗：在圖形上找出一個“點”，說出圖形圍繞這個點旋轉(zhuǎn)了“幾度”角，通過動手操作來強化學生對數(shù)學本原性問題的理解.最后，提煉歸納出“圖形旋轉(zhuǎn)”的數(shù)學概念.

學生都是帶著自己的生活經(jīng)驗和學習經(jīng)驗進入課堂的.所以，教師要尊重學生經(jīng)驗、充分利用學生經(jīng)驗組織課堂教學，學生才有可能成為學習的主人，才有活力，課堂才有可能充滿活力.

2 基于學生活動經(jīng)驗成長的概念學習，給數(shù)學課堂添動力

數(shù)學基本活動經(jīng)驗是指學習者在經(jīng)歷數(shù)學學習活動過程中所獲得的感受、體驗以及由此獲得的知識、技能、情感、和觀念的綜合體.學生的數(shù)學基本活動經(jīng)驗既是數(shù)學教學的一項任務，也是課堂學習的重要資源.所以，在課堂教學中，教師不僅僅要讓學生參與、經(jīng)歷各種圍繞教學任務的學習活動，更重要的是讓學生在活動中獲得感悟.學生的基本活動經(jīng)驗是在“做”中獲得，在“思”中提升，在“悟”中遷移.

八年級學生對“旋轉(zhuǎn)”概念的形成也可以從活動經(jīng)驗的改造過程中形成.即，教師可以通過一些動手操作活動，讓學生在活動體悟到旋轉(zhuǎn)的“本原性”問題所在，在加深對圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)理解，在此基礎上概括形成有關“旋轉(zhuǎn)”的完整定義.教師可以設計以下幾個活動.

活動一將一塊三角尺放在白紙上，用筆描一個△ABC.如圖1,在將三角板繞直角頂點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，用筆在白紙上描△DEC的位置，并回答問題：

圖1

(1)在三角尺旋轉(zhuǎn)的過程中，形狀有沒有變化？大小有沒有變化？

(2)指出點A、B、C分別轉(zhuǎn)到哪個位置？讓學生找對應點，發(fā)現(xiàn)其中點C是固定的，認識旋轉(zhuǎn)中心.學生可以通過操作、觀察、測量比較等方式得出結論，引導學生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有變化，改變的只是位置.

(3)指出AB、BC、AC邊和∠A、∠B、∠C分別轉(zhuǎn)到哪個位置？其實質(zhì)讓學生找對應邊和對應角.

(4)讓學生用量角器測量一下，A、B兩點轉(zhuǎn)過了幾度？引入旋轉(zhuǎn)角的概念，即每一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角.

通過學生仔細觀察、動手測量，會直觀的發(fā)現(xiàn)其結論：當圖形發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，其上面的每個點同時都按相同的方式旋轉(zhuǎn)相同的角度，都等于旋轉(zhuǎn)角.

學生在實際操作時，使用的道具都不相同.但是，通過教師層層深入地設問，旋轉(zhuǎn)的本原性問題就慢慢地凸顯出來了.即：一個固定的點和一個轉(zhuǎn)動角度.數(shù)學抽象的概念就與一個個動手操作的活動緊密結合在一起，在活動與思辨中逐步形成.

活動二教師將一個硬紙板制作的三角形，在黑板上描畫△ABC.如圖2所示,在形外有一個點O，將三角形(當場在三角形上固定一根硬紙板條，控制其旋轉(zhuǎn))繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度，在黑板上描畫出△A′B′C′的位置.

(1)找一找、量一量旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

(2)找一找、量一量對應點到旋轉(zhuǎn)中心距離的長度.

(3)除了對應邊、對應角都相對之外，還有哪些相等的角和相等的線段？

圖2

(4)在三角形的一條邊上隨機選擇一個點N，找一找三角形旋轉(zhuǎn)后N點的對應點在哪里？畫一畫，量一量，N點轉(zhuǎn)過的角度是多少？

讓學生通過測量、思辨、推理等手段，去發(fā)現(xiàn)不管圖形如何旋轉(zhuǎn)，圖形上任意點到旋轉(zhuǎn)中心的距離是不變，該點轉(zhuǎn)過的角度跟圖形上所有的點轉(zhuǎn)過的角度是一致的.

我們可以看到這一系列的數(shù)學活動，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學知識發(fā)生、形成、發(fā)展的過程，讓學生有相對充足的時間去觀察、猜想、驗證、歸納，參與探索數(shù)學問題的全過程.只有這樣，學生才能在探究活動中獲得解決問題的實踐能力，豐富思維活動需要的感性素材.動手活動讓數(shù)學概念的形成擺脫傳統(tǒng)教學“死記硬背”模式，將抽象的數(shù)學知識與具體的操作實踐結合起來，給原本課堂氣氛相對沉悶、學生動手實踐活動不多的數(shù)學教學增添無限動力，這不但利于學生對數(shù)學概念的理解和記憶，而且還利于融會貫通，舉一反三能力的提升，同時也能培養(yǎng)學生在實踐中解決問題的思想方式和行為習慣，這是一舉多得的好事.

3 基于思維經(jīng)驗成長的概念學習，數(shù)學課堂顯張力

不管是基于生活經(jīng)驗還是基于活動經(jīng)驗進行數(shù)學概念的教學，很大程度上依賴于孩子的形象思維和動作思維，對于初中數(shù)學教學而言這是遠遠不夠的. 促進學生思維品質(zhì)的提升，特別是抽象思維能力的發(fā)展是數(shù)學教學的一項核心任務.所以，教師還要積極地引導學生用數(shù)學的眼光觀察，將生活中具象實例抽象成數(shù)學圖形或模型，從“生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象” 走向 “數(shù)學平面圖形的旋轉(zhuǎn)”.基于學生思維經(jīng)驗的成長來組織數(shù)學概念的學習，讓數(shù)學冰冷的美麗變成火熱的思考,會使得我們的數(shù)學教學更顯張力，更具魅力.

問題一觀察以下動畫中的轉(zhuǎn)動現(xiàn)象，如圖3所示,找一找有什么共同的特征?

圖3

學生不難發(fā)現(xiàn)風車、大轉(zhuǎn)輪和風扇葉片都是繞著一個固定的點轉(zhuǎn)動.再讓學生說說身邊類似的場景.學生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗會一一舉例，不斷加深旋轉(zhuǎn)的本原性問題，即有一個固定的點.盡管直觀感受只能形成感性知識，但它卻是思維的起點，是感性知識轉(zhuǎn)化為理性認知的開端.于是教師引入一個時鐘指針的轉(zhuǎn)動的實例.將時鐘抽象一個圖形，時針抽象一條線段，再引發(fā)學生思考.

問題二如圖4所示,你能說出時鐘的指針是如何轉(zhuǎn)動的嗎？

圖4

繞著一個固定點轉(zhuǎn)動一定角度，這是旋轉(zhuǎn)的另一個本原性問題呈現(xiàn)出來了，即轉(zhuǎn)動的角度.教師繼續(xù)追問.這個過程能讓學生感悟數(shù)學直觀，達到思維層面的再認識，再思考.

問題三如何根據(jù)圖形的轉(zhuǎn)動過程，給圖形的旋轉(zhuǎn)下個合適的定義？

因為學生有學習圖形平移時積累的經(jīng)驗，教師可以用類比的方式，引導學生從已有的認知圖識中去歸納圖形旋轉(zhuǎn)的定義，形成生動的數(shù)學概念.在這一過程中激發(fā)學生的探索精神的同時，夯實之前學習的知識，達到前后知識點的融合，培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力.

問題四“點動成線，線可構形”，我們看到的是圖形在旋轉(zhuǎn)，那么構成圖形上的各點是如何隨圖形轉(zhuǎn)動呢？

引導學生“定點、連線、找規(guī)律”.即，在圖形上任意確定一個點，同時找到圖形旋轉(zhuǎn)后的對應點；分別連接該點及對應點與旋轉(zhuǎn)中心；可以利用活動經(jīng)驗，量一量、測一測，找出規(guī)律得出結論.也可以用已經(jīng)學過的數(shù)學知識，通過推理、判斷等思維方式解決問題，形成完整的數(shù)學概念.

我們可以發(fā)現(xiàn),此環(huán)節(jié)的活動讓學生在探究圖形旋轉(zhuǎn)的概念時，找準了聯(lián)系生活的數(shù)學抽象的切入點，類比圖形的平移，不僅提煉概括思維過程，把握生成概念的經(jīng)驗，還能遷移此經(jīng)驗至后續(xù)學習，理解了圖形的旋轉(zhuǎn)其實質(zhì)是點的旋轉(zhuǎn)，為圖形旋轉(zhuǎn)的作圖提供了依據(jù).所以,在教學中,我們教師一定要把握時機,抓住本質(zhì),與學生一起分析、歸納、抽象，這正是數(shù)學抽象思維的生長點.

但是，對于初中學生而言，在抽象的數(shù)學概念學習中，也需要生活經(jīng)驗和活動經(jīng)驗的成長來助推，這樣才能使得學生形成的概念更加生動、更加鮮活.游離于思維經(jīng)驗成長、思維品質(zhì)提升的數(shù)學學習不是真正意義上的數(shù)學教學.但是，沒有生活經(jīng)驗和活動經(jīng)驗的數(shù)學學習，不能成為適合初中學生的數(shù)學教學.

建構主義認為，知識不是對現(xiàn)實的純粹客觀的反映，只不過是人們對客觀世界的一種解釋、假設或假說；學生對知識的理解，還需要個體基于自己的知識經(jīng)驗而建構，還需要取決于特定情境下的學習歷程.數(shù)學概念教學是數(shù)學定理、法則、公式教學的基礎，為了讓學生全面理解、掌握數(shù)學概念，教師要緊緊圍繞數(shù)學本原性問題，從不同維度對同一數(shù)學概念組織一系列的認知活動，從多維度幫助學生自主構建，這不是一件事倍功半的“蠢事”，而是一件為學生后續(xù)學習打?qū)嵒A的“好事”.所以，教師要充分利用學生的生活經(jīng)驗、活動經(jīng)驗和思維經(jīng)驗來組織課堂教學，同時在數(shù)學基礎知識的傳授和基本技能的訓練過程，不斷地成長學生的經(jīng)驗，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).