王克亮

(江蘇省射陽中學(xué) 224300)

數(shù)學(xué)文化通常包括數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，數(shù)學(xué)的語言，數(shù)學(xué)的應(yīng)用等方面，數(shù)學(xué)文化教育應(yīng)貫穿整個高中教學(xué)過程之中. 引言課通常設(shè)置在一個章節(jié)的起始，側(cè)重回答“這個內(nèi)容是什么？為什么要學(xué)習(xí)這個內(nèi)容？如何學(xué)好這個內(nèi)容？”等問題. 那么，如何在引言課中實施數(shù)學(xué)文化教育呢？筆者擬以近期開設(shè)的“平面解析幾何引言課”這節(jié)省公開課為例，談?wù)勛约旱囊恍┠w淺實施策略.

1 回顧形成歷史，揭示研究思想

高中數(shù)學(xué)的每一塊知識內(nèi)容都蘊含著一些研究思想，這些研究思想應(yīng)該是教學(xué)中深植學(xué)生骨髓的東西，能對學(xué)生的終生發(fā)展起著潛移默化的作用. 那么，在引言課中如何將這些研究思想自然地揭示出來呢？筆者認(rèn)為，回顧知識形成歷史，沿著前人的思路行走是一個較好的策略.

在平面解析幾何引言課中，筆者就是從數(shù)學(xué)史談起的.

話題關(guān)于平面解析幾何，你現(xiàn)在最想了解的是什么？

根據(jù)學(xué)生的回答整理成如下三個問題：(1)是什么？——平面解析幾何是一門怎樣的學(xué)科？(2)為何學(xué)？——為什么要學(xué)習(xí)平面解析幾何？(3)怎么學(xué)？——怎樣才能學(xué)好平面解析幾何？

平面解析幾何是一門怎樣的學(xué)科呢？對這個問題的回答得從數(shù)學(xué)史談起.在數(shù)學(xué)史上，曾經(jīng)有這么幾位數(shù)學(xué)家，他們雄心勃勃，想創(chuàng)造一種能夠解決世界上一切問題的方法，法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾就是其中一位. 他們的設(shè)想是這樣的:“任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題→求解方程→得到結(jié)論”.那么，對于幾何問題，該如何用代數(shù)的方法來解決呢，這是他們遇到的難題之一.

據(jù)說，后來有一天，當(dāng)?shù)芽柼稍诖采闲蓍e時，忽然他看到墻角的蜘蛛網(wǎng)上有一只蜘蛛在爬來爬去，便突發(fā)奇想，假如在墻角的三根交線上分別標(biāo)上刻度，不就能用有序的數(shù)對來表示蜘蛛的位置了嗎！這正是直角坐標(biāo)系的芻形. 有了直角坐標(biāo)系，點就可以用數(shù)來表示，進(jìn)而線與面也能用數(shù)來表示，這樣用代數(shù)的方法來研究幾何問題有了可能,從而使得代數(shù)與幾何兩者相互結(jié)合而共同發(fā)展，產(chǎn)生了解析幾何學(xué).

所以，解析幾何學(xué)是一門用代數(shù)的方法來研究幾何問題的學(xué)科. 在中學(xué)教材平面解析幾何當(dāng)中，將要研究直線、圓、圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線)等曲線的代數(shù)表示及幾何性質(zhì).

評注本節(jié)課是從發(fā)生在數(shù)學(xué)家笛卡爾身上的一個小故事開始的，自然地回顧了數(shù)學(xué)史知識，既激發(fā)了學(xué)生的聽課興趣，又揭示了本章的研究思想，能給學(xué)生留下較為深刻的印象.

2 點擊核心概念，感悟數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的載體，是數(shù)學(xué)理論的基本構(gòu)成成分，所以數(shù)學(xué)文化教育離不開數(shù)學(xué)語言的感悟. 那么，如何在引言課中感悟相關(guān)的數(shù)學(xué)語言呢？筆者認(rèn)為，可點擊一些核心概念，在逐步呈現(xiàn)中初步感受其數(shù)學(xué)表達(dá).

筆者認(rèn)為，曲線的方程與方程的曲線是平面解析幾何中的兩個核心概念，在引言課中可進(jìn)行點擊，并體會其數(shù)學(xué)表述.

問題1設(shè)A(4,0),B(0,2)兩點確定的直線為l，如何判斷點Q(-2,3)是否在直線l上？

初步感受“兩都”關(guān)系.

變式設(shè)A(4,0),D(4,2)兩點確定的直線為m，如何判斷點P(x,y)是否在直線m上？

體會該直線不是函數(shù)的圖象，不能運用一次函數(shù)解析式來解決問題，并在得到關(guān)系式x-4=0后，引導(dǎo)學(xué)生將其改寫成x+0·y-4=0.

追問1直線m與關(guān)系式x+0·y-4=0之間符合“兩都”關(guān)系嗎？

進(jìn)一步感受“兩都”關(guān)系.

體會它們都是二元一次方程，“y=f(x)”不能包含上述全部情形，自然給出“方程f(x,y)=0”這個表示形式.

追問2“兩個都”同時成立呢？

問題1.3一般地，對于曲線C與方程f(x,y)=0，當(dāng)它們滿足什么條件時，可稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程？曲線C為方程f(x,y)=0的曲線呢？

需同時滿足“兩都”關(guān)系，即(1)曲線C上任一點的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解；(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上.

評注這里用“兩都”這一數(shù)學(xué)語言貫穿前后，從點集相等的角度闡明了“數(shù)”與“形”的等價性，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、簡潔性和通用性.

3 力求和諧統(tǒng)一，展示數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)文化教育離不開數(shù)學(xué)美的熏陶，教學(xué)中如果能讓學(xué)生由衷地感受到數(shù)學(xué)之美妙，對其產(chǎn)生的影響將是無法估量的. 那么，在引言課中該如何展示數(shù)學(xué)之美，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力呢？筆者認(rèn)為，深挖知識內(nèi)涵，打通知識聯(lián)系，如果能把一些內(nèi)在的規(guī)律用和諧統(tǒng)一的形式展示出來，將會給學(xué)生強(qiáng)烈的震撼，美感也就會隨之而來.

在平面解析幾何引言課中，筆者試圖將直線、圓、橢圓三者的方程用統(tǒng)一的形式表示出來，讓學(xué)生感受到方程的美妙.

發(fā)現(xiàn)改寫后方程的分母就是直線在兩個坐標(biāo)軸上的截距(可簡要介紹一下截距這個概念).

利用所給截距得到三條具體直線l1,l2,l3，并推廣到一般情形.

發(fā)現(xiàn)直線的位置關(guān)系與方程之間的聯(lián)系，并體會可用方程來研究曲線的幾何性質(zhì).

剛才實際上做了兩件事：一是將直線轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，得到了直線的方程；二是運用所得到的方程來研究了直線的一些幾何性質(zhì).

追問解析幾何的兩大任務(wù)是什么？

(1)建立曲線的方程；(2)運用方程研究曲線的幾何性質(zhì).

問題2以坐標(biāo)原點為圓心，以r(r>0)為半徑的圓O，其方程是什么樣子的？

先得到關(guān)系式x2+y2=r2.

問題2.1圓O與方程x2+y2=r2之間符合“兩都”關(guān)系嗎？

明確x2+y2=r2就是圓O的方程.

問題2.2如何改寫圓O的方程x2+y2=r2，使得它能較好反映圓O在兩個坐標(biāo)軸上的截距呢？

把剛才的研究結(jié)論匯總到下表內(nèi)：

曲 線方 程xa+yb=1x2r2+y2r2=1

續(xù)表

從該表格中不難體會到，圖形是美觀的，方程是美妙的！

評注這里，當(dāng)把直線、圓、橢圓的方程匯總在一張表格內(nèi)的時候，相信學(xué)生會有“于枯燥之中見新奇”之感，激動與陶醉心情也會油然而生！

4 闡明學(xué)習(xí)意義，凸顯知識價值

數(shù)學(xué)文化的教育還應(yīng)包括介紹所學(xué)知識內(nèi)容的價值，讓學(xué)生消除“學(xué)了有什么用”的疑問. 那么，如何在引言課中凸顯相關(guān)知識的價值呢？筆者認(rèn)為，可依據(jù)知識內(nèi)容的特點從多個維度闡述學(xué)習(xí)意義，特別是其在實踐中的應(yīng)用價值.

在平面解析幾何引言課中，筆者是從“刻畫效果、實踐應(yīng)用、理論貢獻(xiàn)”這三個維度來展示《解析幾何學(xué)》的價值的.

(1)從刻畫效果看——入微

例1直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交圖 形以前的判定方法d>rd=rd

解析幾何的方法對圖形及其位置關(guān)系的刻畫，實現(xiàn)了細(xì)微化和精確化，即入微. 先前一些被認(rèn)為是幾何學(xué)中的難題，運用解析幾何的方法就變得平淡無奇了.

(2)從實踐應(yīng)用看——廣泛

現(xiàn)實世界中，到處有美妙的曲線，對它們的精確研究往往要借助代數(shù)方程. 比如，在建造橋梁時，首先要確定橋拱的方程，然后才能進(jìn)一步設(shè)計和施工；又如，在對太空的奧秘進(jìn)行探索時，要把行星的運行軌道放到笛卡爾直角坐標(biāo)系中，以便精確地把握它們的運行軌跡，這樣才能實現(xiàn)太空遨游和嫦娥登月；等等.

所以，解析幾何學(xué)在實踐中的應(yīng)用非常廣泛.

(3)從理論貢獻(xiàn)看——巨大

對于解析幾何學(xué)的誕生，拉格朗日和恩格斯這兩位偉人都給予了高度評價(內(nèi)容投影，此略).

因此，解析幾何學(xué)的誕生，其理論貢獻(xiàn)巨大.

總之，平面解析幾何的學(xué)習(xí)，對于轉(zhuǎn)變我們的數(shù)學(xué)觀念、拓展我們的數(shù)學(xué)思維、提升我們的數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)我們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都有著十分重要的意義.

評注從多個維度闡明學(xué)習(xí)的理由與意義，可充分展示知識的價值.

5 進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，聚焦核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)文化教育的目的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與熱情，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)信心. 那么，如何在引言課中實現(xiàn)這些目標(biāo)呢？筆者認(rèn)為，可依據(jù)相關(guān)知識個性，立足學(xué)科核心素養(yǎng)的提升來給予學(xué)法指導(dǎo).

在平面解析幾何引言課中，筆者是站在數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算這兩個學(xué)科核心素養(yǎng)的角度進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)的.

(1)建立好兩種數(shù)學(xué)模型

一是方程模型，這是從形到數(shù)的過程. 當(dāng)遇到與圖形有關(guān)的問題時，要有這樣的意識，即可以通過建立直角坐標(biāo)系，把圖形用方程來表示，進(jìn)而利用代數(shù)運算來解決問題.

二是軌跡模型，這是從數(shù)到形的過程. 一方面，當(dāng)看到代數(shù)式的時候，要有這樣的意識，想一下它會不會表示什么圖形？有沒有什么幾何意義？另一方面，當(dāng)看到與動點運動相關(guān)的問題時，要善于把握它的軌跡.

例2設(shè)A,B是兩個定點，當(dāng)動點P滿足下列條件時，它的軌跡是什么圖形？

(1)PA=PB；(2)∠APB=90°；(3)PA=λPB(λ>0,λ≠1)；(4)PA+PB=k(k>AB).

簡析答案(此略).

在建立好兩個數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，逐步培養(yǎng)一種思想，叫“數(shù)形結(jié)合”；最終形成一種觀念，即“形數(shù)合一”.

(2)磨練好數(shù)學(xué)運算能力

運用代數(shù)方法來研究幾何問題，離不開繁瑣的運算，所以一定要在運算能力的培養(yǎng)上下功夫. 努力做到：消除畏繁情緒——敢算，掌握一般方法——會算，把握運算規(guī)律——善算.

評注相信學(xué)生能夠從該教學(xué)片斷中初步感悟到平面解析幾何這門課的特點，并從中獲得一些學(xué)習(xí)啟示，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心.

總之，引言課是實施數(shù)學(xué)文化教育的好時機(jī)，能較好培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).