張西金,方宗德,郭芳,楊濤

(西北工業(yè)大學機電學院,710072,西安)

斜齒輪具有重合度大、承載能力強等特點,因而在工業(yè)領域得到了廣泛的應用。齒輪修形可以改善齒輪的傳動性能[1-2],其不僅應提高齒輪的承載能力、減小傳動誤差及振動,而且應具有較小的齒面摩擦力,以便齒輪達到最好的綜合性能。因此,研究修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗具有重要意義。

近年來,斜齒輪修形研究取得了一定進展。Litvin等提出了一種新的拓撲修形齒面,采用齒輪接觸分析(TCA)技術進行了接觸路徑和傳動誤差分析,并應用有限元接觸分析方法研究了輪齒彎曲應力和接觸應力[3]。Velex等研究了高重合度錐齒輪的齒廓修形公式,可基于傳動誤差波動量設計最優(yōu)的修形量[4]。Eritenel等研究了包含齒廓和齒向修形的齒輪非線性振動特性[5]。方宗德推導了修形斜齒輪的齒面接觸與邊緣接觸的全部計算,探討了齒面修形對改善齒輪傳動性能的作用,并在TCA的基礎上提出了一種結合有限元方法和非線性數(shù)學規(guī)劃方法的齒輪承載接觸分析(LTCA)技術,應用該技術對修形斜齒輪進行了計算,探討了刀具修形及數(shù)字控制機床修形2種方法[2,6]。蔣進科等通過理論齒面疊加修形齒面,基于TCA和LTCA技術,建立動力學模型,通過三維修形完成了寬斜齒輪多目標齒面優(yōu)化[7]。Baglioni等采用Niemann公式及完全彈流潤滑公式分析了錐齒輪的齒頂修形效率[8]。Diez-Ibarbia等采用Niemann和混合彈流潤滑2種摩擦系數(shù)公式研究了修緣錐齒輪的效率[9]。

綜上所述,目前國內(nèi)外的齒輪修形技術研究主要集中在傳動性能、承載能力等方面,由于修形齒輪的潤滑問題較復雜,對修形齒輪的效率研究較少,尤其是混合彈流潤滑情況下各種修形齒輪的效率研究。本文在混合彈流潤滑情況下,研究了修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗計算方法、修形參數(shù)對功率耗損的影響,可為斜齒輪修形設計提供一定的參考。

1 斜齒輪修形

斜齒輪修形包括齒廓修形、齒向修形和拓撲修形3種形式。齒廓修形通過改變齒輪刀具切削刃的形狀實現(xiàn)。通常情況下,齒輪刀具常規(guī)的直線形切削刃改變?yōu)閳A弧形、拋物線形等形式。本文研究的圓弧形齒廓修形,即為齒輪刀具切削刃在法平面內(nèi)為圓弧形,而且只針對小輪修形。建立如圖1所示的動坐標系,可以看出:2個坐標系建立在固定于小輪的加工刀具齒條上;xc10-oc10-yc10為齒條齒寬中心處的法平面,采用圓弧形切削刃;R為圓弧半徑,R越小則修形量越大;圓弧與原來的直線形切削刃相切,切點和節(jié)線與直線形切削刃的交點的距離為c;a為節(jié)線上的法向半齒厚;θ1為圓弧切削刃上的點半徑方向與yc10軸的夾角。節(jié)線上下工作齒面的修形量應不同,一般要求齒根部位齒面的修形量小于齒頂部位齒面的修形量,以確保修形不會明顯減小齒根彎曲疲勞強度。

圖1 修形刀具齒形

齒向采用鼓形修形,中間段采用直線,兩側采用曲線,本文采用四階修形曲線。齒向修形如圖2所示,其中:δ為齒向各點修形量;δmax齒向最大修形量;L為齒向各點修形長度;Lmax為齒向最大修形長度;b為齒寬。

圖2 齒向鼓形修形

在圓弧形齒廓刀具展成加工齒輪的基礎上,齒向采用鼓形修形,形成拓撲修形。3種修形的示意圖見圖3。

(a)齒廓修形

(b)齒向修形

(c)拓撲修形圖3 斜齒輪修形示意圖

在xc10-oc10-yc10平面中,刀具齒面的四元位矢rc10表示為

(1)

式中:u1為xc10坐標值;v1為zc10坐標值。

采用對稱的齒向修形方式,即齒向兩側的最大修形量和最大修形長度分別相同。齒向修形公式為

(2)

2 齒面摩擦功率損耗模型

2.1 齒面摩擦功率損耗

齒面摩擦功率損耗主要由齒輪嚙合點間存在的相對滑動造成。不考慮其他功率損耗,混合彈流潤滑條件下,1對齒輪嚙合時齒面摩擦功率損耗的計算公式為

Wf=μML,ψ(ψ)Fn,ψ(ψ)vs,ψ(ψ)

(3)

式中:ψ為小輪轉動角度,對應齒面上某個嚙合點;μML,ψ(ψ)是混合彈流潤滑條件下對應嚙合點處的摩擦系數(shù);Fn,ψ(ψ)為對應嚙合點處的法向力;vs,ψ(ψ)為對應嚙合點處的滑動速度。

式(3)僅考慮了1對齒輪的嚙合情況,實際上斜齒輪重合度都大于1,在某一瞬時可能會有幾對輪齒同時參與嚙合,而且各齒輪的摩擦情況不同。若某一瞬時有m對齒輪同時嚙合,則齒輪的瞬時齒面摩擦功率損耗可以定義為

(4)

2.2 摩擦系數(shù)

摩擦系數(shù)是影響功率損耗的一個重要因素,不同潤滑狀態(tài)下的摩擦系數(shù)不同。齒輪工作過程中一般處于混合彈流潤滑狀態(tài),混合彈流潤滑摩擦系數(shù)可以通過邊界潤滑摩擦系數(shù)和彈流潤滑摩擦系數(shù)加權和的形式表示。小輪不同轉角對應不同的齒面嚙合點,在第i個嚙合點混合彈流潤滑摩擦系數(shù)μML(i)[9-10]定義為

μML(i)=μFL(i)fλ(i)+μBDR[1-fλ(i)]

(5)

fλ(i)=1.21λ(i)0.64/[1+0.37λ(i)1.26]

(6)

λ(i)=hc(i)/Ra

(7)

式中:μFL(i)為彈流潤滑摩擦系數(shù);fλ(i)為摩擦系數(shù)分配系數(shù);μBDR為邊界潤滑摩擦系數(shù),取0.227 098[9,11];hc(i)為中心油膜厚度;Ra為齒面等效平均粗糙度。

修形齒輪為點接觸嚙合,接觸印痕為橢圓,因此中心油膜厚度[12]計算公式為

hc(i)=2.69Rx(i)U0.67(i)G0.53Q-0.67(i)·

(1-0.61e-0.73κ)φt(i)

(8)

(9)

vr(i)=|vp(i)+vg(i)|/2

(10)

G≈αE′

(11)

(12)

式中:μ0為環(huán)境黏度;vr(i)為滾動速度;νp(i)和νg(i)分別為嚙合點處小輪和大輪的速度;α為壓力黏度系數(shù);W(i)為法向載荷;κ為橢圓率;φt(i)為考慮溫度影響的修正系數(shù),計算公式見文獻[13];Rx(i)為嚙合點處等效半徑,可由嚙合點處小輪和大輪的曲率半徑ρp(i)和ρg(i)計算得到;E′為等效彈性模量,可由小輪和大輪的彈性模量E1、E2,泊松比ν1、ν2計算得到。Rx(i)和E′的計算公式為

(13)

(14)

彈流潤滑狀態(tài)是兩齒面完全被油膜分開的理想狀態(tài),此時摩擦系數(shù)最小,功率損耗最小。Xu對彈流潤滑狀態(tài)進行了大量研究工作,獲得的彈流潤滑摩擦系數(shù)計算公式[14]為

(15)

f(Rs,r(i),Ph(i),η,Ra)=b1+b4|Rs,r(i)|·

Ph(i)log(η)+b5e-|Rs,r(i)|Ph(i)log(η)+b9eRa

(16)

(17)

vs(i)=|vp(i)-vg(i)|

(18)

式中:Rs,r(i)為齒面速度滑滾比;Ph(i)為齒面嚙合點接觸應力;η為潤滑油的動態(tài)黏度;b1=-8.916 465,b2=1.033 03,b3=1.036 077,b4=-0.354 068,b5=2.812 084,b6=-0.100 601,b7=0.752 755,b8=-0.390958,b9=0.620 305;ve(i)為卷吸速度,ve(i)=|vp,t(i)+vg,t(i)|/2,其中vp,t(i)和vg,t(i)分別為嚙合點小輪速率和大輪速度在切面上的投影分量;vs(i)為齒面相對滑動速度。

3 齒面摩擦功率損耗模型參數(shù)

齒面摩擦功率損耗模型的主要參數(shù)通過TCA及LTCA獲得。通過TCA可以得到的參數(shù)包括:小輪接觸橢圓短軸方向曲率半徑ρp、大輪接觸橢圓短軸方向曲率半徑ρg、小輪嚙合點速度vp、大輪嚙合點速度vg、橢圓率κ等。通過LTCA可以得到的參數(shù)包括齒面嚙合點的赫茲應力Ph、法向力Fn(θ)等。

小輪轉速取為5 000 r/min,力矩取為450 N·m,等效彈性模量取為219 700 MPa,小輪和大輪齒面粗糙度取為0.35 μm,壓力黏度系數(shù)取為9.68 GPa-1,環(huán)境黏度取為0.135 Pa·s,黏溫系數(shù)取為0.021 7 K-1,潤滑油熱導率取為0.117 6 W/(m·K)。

齒輪基本參數(shù)為:小輪齒數(shù)30,大輪齒數(shù)45,法面模數(shù)6,壓力角20°,螺旋角15°。該對齒輪副理論上有3對齒同時嚙合,假設小輪和大輪的每個齒面上有15個瞬時嚙合位置。圖4表示小輪齒面上的嚙合位置,編號1～15表示嚙合順序,小輪沿嚙合線從齒根到齒頂依次有15個瞬時嚙合位置,大輪齒面上對應的各嚙合位置編號與小輪嚙合位置編號相同。

圖4 小輪各瞬時嚙合位置

假設φT為小輪在一個嚙合周期內(nèi)轉過的角度,將φT等分為5份,若用φ表示小輪轉角,則該對齒輪副理論上各瞬時嚙合情況如表1所示。

4 修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗

4.1 齒廓修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗

設計圓弧半徑R=K1mn,式中K1為齒廓修形

表1 輪齒副理論上各瞬時嚙合情況

參數(shù),mn為法向模數(shù),為了不影響接觸強度,圓弧半徑不應太小。在R為150mn和250mn兩種條件下,對齒廓修形斜齒輪的齒面摩擦情況進行仿真,結果如圖5所示。為使齒根部位修形量小于齒頂部位修形量,c取為0.5 mm。若第i個嚙合位置處接觸橢圓長軸上的離散載荷pi,j(j=1,…,k)由LTCA計算得出,P為法向總載荷,則該嚙合位置處的載荷分配系數(shù)計算公式為

(a)齒廓修形量

(b)載荷分配系數(shù)

(c)摩擦系數(shù)分配系數(shù)

(d)摩擦系數(shù)

(e)摩擦功率損耗圖5 齒廓修形斜齒輪的齒面摩擦情況

(19)

從圖5a可以看出,齒頂修形量比齒根修形量大,這樣的修形對齒根彎曲強度影響小。從圖5b可以看出,嚙合點1、2、3、14和15實際沒有進入嚙合狀態(tài),結合表1可以知道小輪轉角各位置實際只有2對齒嚙合。從圖5c可以看出,兩側未實際嚙合的點完全被潤滑油膜隔開,摩擦系數(shù)分配系數(shù)為1;中間接觸區(qū)域摩擦系數(shù)分配系數(shù)在0.71～0.81之間,處于混合摩擦狀態(tài),且以彈流潤滑占為主。從圖5d可以看出:由于兩側未實際嚙合的點完全被潤滑油膜隔開,所以接觸應力為0,彈流潤滑摩擦系數(shù)為0,摩擦系數(shù)也為0;在實際嚙合點中,最中間位置摩擦系數(shù)稍小,修形量對摩擦系數(shù)影響較小。從圖5e可以看出,在載荷、摩擦系數(shù)、滑動速度和嚙合狀態(tài)共同作用下,小輪轉角在0.4φT和0.6φT時功率耗損較小。綜上所述,修形量變化對功率耗損影響較小,齒廓修形引起的功率損耗波動較小,對傳動有利。

4.2 齒向修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗

齒向修形參數(shù)包括最大修形量和最大修形長度。對于高精度齒輪,ISO推薦的齒向鼓形最大修形量為10～25 μm[15]。在相同的修形長度下,由于修形量很小,對功率損耗的影響也很小,所以本文僅研究修形長度對功率損耗的影響。取最大修形量為25 μm,在最大修形長度為0.1b和0.5b兩種條件下,對齒向修形斜齒輪的齒面摩擦情況進行仿真,結果如圖6所示。

(a)齒向修形量

(b)載荷分配系數(shù)

(c)摩擦系數(shù)分配系數(shù)

(d)摩擦系數(shù)

(e)摩擦功率損耗圖6 齒向修形斜齒輪的齒面摩擦情況

從圖6a可以看出,齒向采用對稱鼓形修形,兩側修形情況相同。從圖6b可以看出,最大修形長度增大后,實際嚙合點減少,中間嚙合點載荷增大,而兩側嚙合點載荷減小。從圖6c可以看出,兩側摩擦系數(shù)分配系數(shù)為1,中間接觸區(qū)域摩擦系數(shù)分配系數(shù)在0.74～0.87之間,以彈流潤滑為主。從圖6d可以看出,齒寬方向中心區(qū)域載荷大,摩擦系數(shù)較大。從圖6e可以看出:當小輪轉角為0、0.2φT、0.6φT和0.8φT時,最大修形長度大則功率損耗大;當小輪轉角為0.4φT時,最大修形長度大則耗損功率小。這是因為當小輪轉角為0.4φT時:在最大修形長度為0.1b情況下,嚙合點3和13載荷較大,功率損耗較大;在最大修形長度為0.5b情況下,只有嚙合點8實際嚙合,雖然該點載荷大,但滑動速度很小,所以該位置功率耗損很小。綜上所述,修形長度變化對功率損耗影響較大,齒向修形長度增大引起功率損耗波動較大,對傳動不利。

4.3 拓撲修形斜齒輪的齒面摩擦功率損耗

取齒廓修形參數(shù)c=0.5 mm、R=250mn,齒向最大修形量25 μm,在最大修形長度為0.1b和0.5b2種條件下,對拓撲修形斜齒輪的齒面摩擦情況進行研究,結果如圖7所示。

(a)拓撲修形量

(b)摩擦系數(shù)分配系數(shù)

(c)摩擦系數(shù)

(d)嚙合點對應的摩擦功率損耗

(e)小輪轉角對應的摩擦功率損耗圖7 拓撲修形斜齒輪的齒面摩擦情況

從圖7a可以看出,齒頂修形量比齒根修形量大,對齒根彎曲強度影響小。從圖7b可以看出,由于兩側未實際嚙合的點摩擦系數(shù)分配系數(shù)為1,中間接觸區(qū)域摩擦系數(shù)分配系數(shù)為在0.75～0.85之間,以彈流潤滑為主。從圖7c可以看出,兩側未實際嚙合的點摩擦系數(shù)為0,齒寬方向中心區(qū)域載荷較大,因而摩擦系數(shù)較大。從圖7d可以看出,由于齒寬中心區(qū)域載荷較大,齒面摩擦功率損耗也較大。當最大修形長度為0.5b時,在嚙合點7出現(xiàn)波谷。這是由該處滑動速度很小造成的。結合圖6e和圖7e可以看出,當最大修形長度為0.5b時,與單純齒向修形相比,拓撲修形引起的功率損耗波動較小,對傳動有利。

5 結 論

(1)研究了斜齒輪的齒廓修形、齒向修形和拓撲修形方法,基于TCA和LTCA提出了修形斜齒輪齒面摩擦功率損耗及混合彈流潤滑條件下修形斜齒輪摩擦系數(shù)計算方法,為修形斜齒輪齒面摩擦功率損耗分析奠定了基礎。

(2)對斜齒輪的齒廓修形、齒向修形和拓撲修形的修形參數(shù)與摩擦損耗功率之間的關系進行了仿真。對于齒廓修形,修形量變化對功率損耗的影響較小,而且齒廓修形損耗功率波動較小,對傳動有利。對于齒向修形,最大修形長度變化對功率損耗影響較大,而且最大齒向修形長度增大后損耗功率波動增大,對傳動不利。與齒向修形相比,修形長度較大時,拓撲修形下功率損耗波動量減小,對傳動有利。

(3)通過修形改變了嚙合點的等效曲率半徑,從而接觸應力、嚙合點速度、接觸橢圓率等發(fā)生了變化,因此彈流潤滑摩擦系數(shù)、摩擦系數(shù)分配系數(shù)、摩擦功率損耗也隨之發(fā)生了變化。下一步將深入研究齒向修形曲線及參數(shù),以便減少摩擦功率損耗波動。