張俊,湯騰飛,方漢良

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院,350116,福州)

為減輕整機(jī)重量,機(jī)身、主翼等具有復(fù)雜形面的大型航空結(jié)構(gòu)件一般采用鋁合金材料,因此該類(lèi)結(jié)構(gòu)件的加工與裝配必須滿(mǎn)足嚴(yán)苛的剛度和精度要求。傳統(tǒng)的航空制造裝配系統(tǒng)一般針對(duì)特定工況進(jìn)行專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì),容易導(dǎo)致加工柔性差、設(shè)計(jì)周期長(zhǎng)、安裝結(jié)構(gòu)繁雜等問(wèn)題,難以應(yīng)對(duì)產(chǎn)品多樣化及市場(chǎng)快速變化的需求[1-2]。因此,研發(fā)適用于大型航空結(jié)構(gòu)件的高效、高精度加工的柔性制造系統(tǒng)勢(shì)在必行[3]。

為提高制造系統(tǒng)的柔性,在航空工業(yè)中廣泛應(yīng)用各種工業(yè)機(jī)器人[4-12]。其中,以Sprint Z3[7]、Tricept[8]、Exechon[9]為代表的并聯(lián)機(jī)器人,因高剛度、高精度、大負(fù)載等優(yōu)點(diǎn),逐步應(yīng)用于航空結(jié)構(gòu)件的鉆、銑、鉚等多種加工與裝配場(chǎng)合[10-12]。目前,國(guó)外已有公司推出了混聯(lián)柔性制造系統(tǒng),如:德國(guó)DS Technologies公司的Eco-speed加工中心,采用一個(gè)3自由度并聯(lián)模塊串接一個(gè)2自由度直線(xiàn)移動(dòng)導(dǎo)軌,構(gòu)成5軸混聯(lián)柔性制造系統(tǒng),可用于航空結(jié)構(gòu)件的高速銑削[13];西班牙LOXIN集團(tuán)的Loxin Column Machine,采用Tricept并聯(lián)機(jī)構(gòu)為核心模塊,串接2自由度直線(xiàn)移動(dòng)導(dǎo)軌,構(gòu)成多型串并式多軸混聯(lián)柔性制造系統(tǒng),可用于航空結(jié)構(gòu)件加工與裝配[14]。

然而,由于采用直線(xiàn)式移動(dòng)導(dǎo)軌,上述制造系統(tǒng)在應(yīng)對(duì)大尺寸弧形結(jié)構(gòu)件時(shí)需要多軸運(yùn)動(dòng)來(lái)合成所需的大尺寸弧形加工軌跡,往往面臨工作空間受限、運(yùn)動(dòng)控制復(fù)雜的局面,難以高效應(yīng)對(duì)機(jī)身分段、翼子板等弧形框架式航空結(jié)構(gòu)件的加工與裝配。

為解決弧形結(jié)構(gòu)件的制造與裝配問(wèn)題:Oberoi等開(kāi)發(fā)了一款基于弧形導(dǎo)軌的多軸柔性制造系統(tǒng),并應(yīng)用于波音777系列的機(jī)身鉆孔作業(yè)[15];浙江大學(xué)的Zhu等通過(guò)在弧形導(dǎo)軌上串接鉆孔機(jī)構(gòu),構(gòu)建了一種用于機(jī)身鉆孔加工的多軸柔性制造系統(tǒng)[16]。

受上述工程問(wèn)題及相關(guān)研究的啟發(fā),本文以一類(lèi)3自由度過(guò)約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)為核心功能模塊[17],串接弧形導(dǎo)軌,設(shè)計(jì)了一種5自由度混聯(lián)柔性制造系統(tǒng),希望為具有復(fù)雜曲面的大型航空結(jié)構(gòu)件的柔性制造與裝配提供一種技術(shù)解決方案。本文研究從如下方面開(kāi)展:首先,借助虛擬樣機(jī)技術(shù)進(jìn)行該類(lèi)系統(tǒng)的概念設(shè)計(jì);其次,開(kāi)展逆運(yùn)動(dòng)學(xué)、奇異性建模與分析,以明確該類(lèi)混聯(lián)系統(tǒng)的工作空間;再次,通過(guò)力能分析,揭示荷載作用下系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的彈性變形;最后,對(duì)工作全域內(nèi)系統(tǒng)力學(xué)性能進(jìn)行全面評(píng)估,以揭示位姿參數(shù)對(duì)力學(xué)性能的影響規(guī)律。

1 混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)概念設(shè)計(jì)

1.1 串聯(lián)模塊設(shè)計(jì)

為適應(yīng)弧形框架式航空結(jié)構(gòu)件的加工與裝配,設(shè)計(jì)如圖1所示的串聯(lián)模塊。

圖1 串聯(lián)模塊虛擬樣機(jī)模型

由圖1可知,串聯(lián)模塊主要由一對(duì)平行布置的弧形導(dǎo)軌和一對(duì)水平安放的直線(xiàn)導(dǎo)軌串聯(lián)構(gòu)成。其中,弧形導(dǎo)軌實(shí)現(xiàn)繞圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)(1R),直線(xiàn)導(dǎo)軌實(shí)現(xiàn)沿導(dǎo)軌方向的移動(dòng)(1T)?？紤]到大尺寸弧形導(dǎo)軌加工困難,可采用多組模塊化圓弧段拼裝成完整的弧形導(dǎo)軌。

1.2 并聯(lián)模塊設(shè)計(jì)

為滿(mǎn)足航空結(jié)構(gòu)件的加工與裝配需求,設(shè)計(jì)如圖2所示的3自由度過(guò)約束并聯(lián)模塊,其主要由動(dòng)平臺(tái)(含電主軸和操作頭)、靜平臺(tái)(含連接結(jié)構(gòu))和3條驅(qū)動(dòng)支鏈(含伺服驅(qū)動(dòng))組成。

圖2 并聯(lián)模塊虛擬樣機(jī)模型

如圖2所示,支鏈1、3具有相同結(jié)構(gòu),分別通過(guò)虎克鉸U(A1、A3)和轉(zhuǎn)動(dòng)副R(B1、B3)與動(dòng)、靜平臺(tái)相連,且二者關(guān)于支鏈2對(duì)稱(chēng)布置;支鏈2分別通過(guò)球鉸S(A2)和轉(zhuǎn)動(dòng)副R(B2)與動(dòng)、靜平臺(tái)相連。以機(jī)構(gòu)學(xué)的觀點(diǎn)分析,該并聯(lián)模塊為2RPU-1RPS過(guò)約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)。通過(guò)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)3條支鏈中的主動(dòng)移動(dòng)副,可實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)繞x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿z軸的移動(dòng),從而實(shí)現(xiàn)兩轉(zhuǎn)一平(2R1T)的運(yùn)動(dòng)輸出[17]。通過(guò)在動(dòng)平臺(tái)上安裝不同的操作機(jī)具(如圖2中的a、b、c),可實(shí)現(xiàn)不同的加工與裝配需求,如鉆銑、打磨、鉚接(配合零件夾持單元)等。

圖3為連接結(jié)構(gòu)弧形滑鞍組件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),其中,主動(dòng)蝸桿W1驅(qū)動(dòng)從動(dòng)蝸輪G1轉(zhuǎn)動(dòng),進(jìn)而與G1同軸的齒輪G2驅(qū)動(dòng)與滑鞍固聯(lián)的從動(dòng)齒條R2移動(dòng)。設(shè)計(jì)蝸桿的導(dǎo)程角小于嚙合副的當(dāng)量摩擦角,以保證并聯(lián)模塊在弧形導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)自鎖。

圖3 弧形滑鞍組件

1.3 混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)設(shè)計(jì)

將圖1、2所示的串、并聯(lián)模塊結(jié)合,可搭建一個(gè)類(lèi)5自由度混聯(lián)柔性制造系統(tǒng),如圖4所示。

圖4 混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)虛擬樣機(jī)模型

圖4中:在雙弧形導(dǎo)軌圓心O處建立系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ,并令Y軸指向直線(xiàn)導(dǎo)軌移動(dòng)方向,Z軸垂直于直線(xiàn)導(dǎo)軌所在平面,X軸由右手定則確定;β表示并聯(lián)模塊在雙弧形導(dǎo)軌上繞Y軸的轉(zhuǎn)角,β∈[0,π]。該混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)主要由一轉(zhuǎn)一平(1R1T)2自由度串聯(lián)模塊和2組兩轉(zhuǎn)一平(2R1T)3自由度并聯(lián)模塊組成,其中機(jī)身由柔性定位工裝夾持,2組并聯(lián)模塊通過(guò)弧形滑鞍組件安裝于串聯(lián)模塊中的雙弧形導(dǎo)軌之間,并由滑鞍之上的伺服電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)其沿弧形導(dǎo)軌轉(zhuǎn)動(dòng),而直線(xiàn)導(dǎo)軌則由獨(dú)立的直線(xiàn)驅(qū)動(dòng)模塊驅(qū)動(dòng)。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與工作空間預(yù)估

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解建模與分析

運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是評(píng)估該類(lèi)混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)工作空間與靜力學(xué)性能的前提,為此,可建立如圖5所示的混聯(lián)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

圖5 混聯(lián)系統(tǒng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖5中:Ci表示支鏈i上絲杠后端支承軸承中心;A0表示動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心;Ai0表示支鏈i上的質(zhì)心;ai和bi分別表示Ai和Bi在Bo-xyz中的位置矢量;ai0表示Ai在Ao-uvw中的位置矢量;a0和li0分別表示A0和Ai0在各自坐標(biāo)系下的位置矢量;a和li分別表示質(zhì)心A0和Ai0在Bo-xyz中的位置矢量;r表示動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)中心Ao點(diǎn)的位置矢量;qi和di分別表示支鍵i的腿長(zhǎng)和單位方向矢量;i表示支鍵編號(hào),i=1,2,3。等腰直角三角形△A1A2A3和△B1B2B3分別表示動(dòng)、靜平臺(tái),∠A2=∠B2=90°,外接圓半徑分別為rp和rb。

在混聯(lián)系統(tǒng)的串、并聯(lián)模塊上分別建立以下坐標(biāo)系:在并聯(lián)模塊動(dòng)、靜平臺(tái)中心Ao和Bo處分別建立連體坐標(biāo)系A(chǔ)o-uvw和Bo-xyz,其中u和x軸分別指向A2、B2,v和y軸分別指向A3、B3,w和z軸由右手定則確定;在支鏈i的Ai(i=1,2,3)處建立連體坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi,其中xi平行于x軸,zi沿支鏈軸線(xiàn)方向,yi由右手定則確定。為清晰計(jì),圖5中僅示出支鏈1的質(zhì)心A10和支鏈連體坐標(biāo)系A(chǔ)1-x1y1z1。

為便于混聯(lián)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,可首先分析結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的并聯(lián)模塊,并將其運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換至坐標(biāo)系Bo-xyz下進(jìn)行度量,混聯(lián)系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ相對(duì)于并聯(lián)模塊坐標(biāo)系Bo-xyz的旋轉(zhuǎn)變換矩陣BTO可表示為

(1)

坐標(biāo)系A(chǔ)o-uvw和Ai-xiyizi相對(duì)于坐標(biāo)系Bo-xyz的旋轉(zhuǎn)變換矩陣BTA和BTAi可分別表示為

BTA=rot(u,ψ)rot(v,θ)rot(w,φ)

(2)

BTAi=rot(xi,ψi)rot(yi,θi)rot(zi,φi)

(3)

式中:ψ(ψi)、θ(θi)和φ(φi)分別為各自坐標(biāo)系下的進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角和自旋角。

在Bo-xyz中,r=(xp,yp,zp)T,其中xp、yp和zp為Ao坐標(biāo)系分量,且有

r=ai-BTAai0=bi+qidi-BTAai0

i=1,2,3

(4)

類(lèi)似地,a和li可分別表示為

a=r+BTAa0;li=ai+BTAili0

i=1,2,3

(5)

計(jì)入各運(yùn)動(dòng)副約束,可得并聯(lián)模塊的連帶運(yùn)動(dòng)

yp=-rpsinφcosθ;φ=arctan(tanψ/sinθ)

(6)

在并聯(lián)模塊坐標(biāo)系Bo-xyz下的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解為

(7)

將式(7)所示的并聯(lián)模塊運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解按照BTO進(jìn)行相應(yīng)坐標(biāo)變換,即得系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ下的混聯(lián)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解表達(dá)。

2.2 奇異性分析

并聯(lián)模塊作為該混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)的核心執(zhí)行機(jī)構(gòu),其奇異性是重要的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能參考。

為便于分析,在動(dòng)平臺(tái)中心Ao點(diǎn)建立瞬時(shí)參考坐標(biāo)系A(chǔ)o-u′v′w′,坐標(biāo)軸u′、v′和w′分別平行于靜平臺(tái)連體坐標(biāo)系Bo-xyz的坐標(biāo)軸x、y和z,并根據(jù)螺旋理論[18]定義并聯(lián)模塊在瞬時(shí)參考坐標(biāo)系A(chǔ)o-u′v′w′下的運(yùn)動(dòng)螺旋系,如圖6所示。

圖6 并聯(lián)模塊運(yùn)動(dòng)螺旋系

并聯(lián)模塊的動(dòng)平臺(tái)由3條支鏈共同支撐,其在瞬時(shí)參考坐標(biāo)系A(chǔ)o-u′v′w′下的運(yùn)動(dòng)螺旋S/p為

(8)

式中:S/i,p(i=1,2,3)表示瞬時(shí)參考系下支鏈i的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋,可分別表示為

(9)

(10)

任意位姿下,支鏈1、3的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(11)

式中:s/i,j表示瞬時(shí)參考坐標(biāo)系A(chǔ)o-u′v′w′下支鏈i(i=1,3)上各運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)中第j(j=1,2,…,5)個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的單位方向向量;rRi和rUi分別表示支鏈i(i=1,3)上轉(zhuǎn)動(dòng)副和虎克鉸轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置向量。

對(duì)上式求反螺旋,可得支鏈1、3的約束螺旋系

(12)

式中:s/i(i=1,3)表示平行于s/i,3×s/i,4的單位方向向量。

任意位姿下,支鏈2的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(13)

式中:s/2,j表示瞬時(shí)參考坐標(biāo)系A(chǔ)o-u′v′w′下支鏈2上各運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)中第j(j=1,2,…,5)個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的單位方向向量;rR2和rS2分別表示支鏈2上轉(zhuǎn)動(dòng)副和球鉸轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置向量。

對(duì)式(13)求反螺旋,得到支鏈2的約束螺旋系

(14)

分別將式(12)和式(9)以及式(14)和式(10)做互易積,并結(jié)合式(8),改寫(xiě)成矩陣形式為

Jc·S/p=0

(15)

式中:Jc為動(dòng)平臺(tái)的約束雅克比矩陣,且有

(16)

(17)

式中:li(i=1,3)表示瞬時(shí)參考坐標(biāo)系A(chǔ)o-u′v′w′下支鏈i(i=1,3)上由虎克鉸中心指向轉(zhuǎn)動(dòng)副中心的單位方向向量。

(18)

式中:l2表示瞬時(shí)參考坐標(biāo)系A(chǔ)o-u′v′w′下支鏈2上由球鉸中心指向轉(zhuǎn)動(dòng)副中心的單位方向向量。

分別將式(17)和式(9)以及式(18)和式(10)做互易積,并結(jié)合式(8),改寫(xiě)成矩陣形式為

(19)

式中:Ja為動(dòng)平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)雅克比矩陣,且有

(20)

合并式(15)和(19),并改寫(xiě)成矩陣形式為

(21)

式中:J為動(dòng)平臺(tái)的全雅克比矩陣,且有

(22)

分析并聯(lián)模塊動(dòng)平臺(tái)的全雅克比矩陣J可知:

(1)當(dāng)單位方向向量l1、l3和l2三者共面時(shí),并聯(lián)模塊處于結(jié)構(gòu)奇異位姿;

(2)由于單位方向向量s/1、s/3,2和s/2,2線(xiàn)性無(wú)關(guān),故此類(lèi)并聯(lián)模塊不存在約束奇異。

2.3 工作空間預(yù)估

工作空間是機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與分析的關(guān)鍵指標(biāo)。為明確該混聯(lián)制造系統(tǒng)的工作空間,在上述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的基礎(chǔ)上,采用“分層切片”思想,提出了系統(tǒng)的工作空間搜索方法,基本流程如圖7所示。

圖7 工作空間搜索流程圖

參考圖7,簡(jiǎn)述該混聯(lián)系統(tǒng)的工作空間搜索步驟如下:

(1)在坐標(biāo)系Bo-xyz下將空間按照z、θ和ψ分別離散成i′、j′和k′份,然后逐個(gè)增加i′、j′和k′;

(2)在確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)下通過(guò)并聯(lián)模塊位置逆解求得相關(guān)變量,再通過(guò)桿長(zhǎng)和轉(zhuǎn)角約束條件來(lái)判斷上述離散點(diǎn)是否為工作空間內(nèi)的可行點(diǎn);

(3)將滿(mǎn)足約束條件的工作空間可行點(diǎn)一一記錄,構(gòu)成工作空間可行點(diǎn)集,記為并聯(lián)模塊的工作空間V;

(4)類(lèi)似地,根據(jù)坐標(biāo)系O-XYZ下的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解,可進(jìn)一步獲得該制造系統(tǒng)的工作空間,記為W。

以圖4所示的虛擬樣機(jī)為例,運(yùn)用上述方法來(lái)預(yù)估該類(lèi)系統(tǒng)的工作空間。該虛擬樣機(jī)的主要幾何參數(shù)如表1所示。

表1 混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)虛擬樣機(jī)的幾何參數(shù)

注:s為并聯(lián)模塊行程;qmin和qmax為支鏈的最小和最大腿長(zhǎng);θS、θU和θR分別表示球鉸、虎克鉸和轉(zhuǎn)動(dòng)副的極限轉(zhuǎn)角;D表示弧形導(dǎo)軌的直徑;L表示串聯(lián)模塊沿Y軸方向的直線(xiàn)行程。

經(jīng)計(jì)算,上述并聯(lián)模塊和混聯(lián)制造系統(tǒng)的工作空間V和W分別如圖8a和8b所示。

(a)并聯(lián)模塊工作空間V (b)混聯(lián)制造系統(tǒng)工作空間W圖8 工作空間示意圖

由圖8可知,并聯(lián)模塊動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)角范圍為θ∈[-40°,20°]和ψ∈[-38°,38°],轉(zhuǎn)角工作空間體積為0.300 m·rad2;混聯(lián)系統(tǒng)的可達(dá)工作空間W呈圓筒形,其內(nèi)、外直徑D1和D2分別為8.00 m和9.66 m,工作空間體積為470.62 m3。

3 彈性靜力學(xué)建模

根據(jù)混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),在進(jìn)行彈性靜力學(xué)分析時(shí)做如下設(shè)定:

(1)因弧形導(dǎo)軌、動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)的剛度遠(yuǎn)高于其他構(gòu)件,故忽略該部分的變形而將其視為剛體;

(2)計(jì)入各鉸鏈的柔性,將其簡(jiǎn)化為具有等效剛度且位于鉸鏈幾何中心的集中彈簧;

(3)計(jì)入各支鏈體的柔性,并根據(jù)支鏈結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將其等效為規(guī)則截面的空間梁;

(4)忽略各運(yùn)動(dòng)副處的摩擦、阻尼和間隙等非線(xiàn)性因素以及機(jī)構(gòu)運(yùn)行時(shí)的剛體慣性力。

3.1 受力分析

基于前述建模假設(shè),為便于表述,可在坐標(biāo)系Bo-xyz下分析機(jī)械結(jié)構(gòu)和位置變化更為復(fù)雜的并聯(lián)模塊,并將運(yùn)動(dòng)支鏈簡(jiǎn)化為受2組具有等效剛度的集中彈簧約束的等效空間梁。采用2節(jié)點(diǎn)12自由度的空間梁?jiǎn)卧獙?duì)圖9a所示的支鏈體劃分網(wǎng)格,并保證Ai、Bi和Ci為其上3個(gè)節(jié)點(diǎn)。經(jīng)整理,可得坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi下支鏈i的靜力平衡方程為

kiξi=wi(i=1,2,3)

(23)

式中:ki表示支鏈坐標(biāo)系中支鏈體的剛度矩陣;ξi和wi分別表示支鏈坐標(biāo)系中節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)列陣和外載荷列陣。

在坐標(biāo)系Bo-xyz下對(duì)支鏈體和動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行受力分析,受力狀況分別如圖9a和9b所示。

(a)支鏈體(b)動(dòng)平臺(tái)圖9 支鏈體和動(dòng)平臺(tái)的受力簡(jiǎn)圖

圖9a中,fAi/mAi、fBi/mBi和fCi/mCi(i=1,2,3)分別為支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi下作用于Ai、Bi和Ci點(diǎn)的約束反力/反力矩;GLi為坐標(biāo)系Bo-xyz下的支鏈重力矢量,表達(dá)式為

GLi=mLig(β)

(24)

式中:mLi表示支鏈i的質(zhì)量;g(β)為重力加速度在坐標(biāo)系Bo-xyz下的表達(dá),可由以下坐標(biāo)變換獲得

g(β)=BTOg=rot(Y,β)g

(25)

其中,g為混聯(lián)系統(tǒng)坐標(biāo)系O-XYZ下的標(biāo)準(zhǔn)重力加速度矢量(大小取9.8 m/s2),方向?yàn)檠豘軸負(fù)方向。

圖9b中,Fp和Mp分別表示參考系Bo-xyz下作用于動(dòng)平臺(tái)的外力和力矩;FAi和MAi為B-xyz下動(dòng)平臺(tái)與支鏈連接處的關(guān)節(jié)約束反力和反力矩,且

FAi=BTAifAi;MAi=BTAimAi

(26)

Gp為Bo-xyz下動(dòng)平臺(tái)重力矢量,表達(dá)式為

Gp=mpg(β)

(27)

式中:mp表示動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量。

動(dòng)平臺(tái)和支鏈i的重力在坐標(biāo)系Bo-xyz下的等效力矩可表示為

τBp=a×Gp;τBi=li×GLi

(i=1,2,3)

(28)

類(lèi)似地,動(dòng)平臺(tái)和支鏈i的重力在動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)原點(diǎn)Ao處的等效力矩可表示為

τAp=-r×Gp;τAi=-r×GLi

(i=1,2,3)

(29)

由牛頓第二定律可得動(dòng)平臺(tái)靜力平衡方程

(30)

式中:rAi為參考系Bo-xyz下由Ao點(diǎn)指向Ai點(diǎn)的方向矢量。

3.2 彈性變形分析

圖10所示為支鏈與動(dòng)、靜平臺(tái)間的位移關(guān)系。

圖10 支鏈體與動(dòng)、靜平臺(tái)之間的位移關(guān)系

圖10中:kA1i、kA2i分別為Ai點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)鉸鏈的等效線(xiàn)剛度和等效角剛度,AiM和AiL分別表示耦合界面上動(dòng)平臺(tái)和支鏈i上的節(jié)點(diǎn),Ai和δAi分別表示支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi下AiM的線(xiàn)位移和角位移;εAi和ξAi分別表示支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi下AiL的線(xiàn)位移和角位移;kB1i、kB2i分別為Bi點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)鉸鏈的等效線(xiàn)剛度和等效角剛度,BiL和BiB分別表示耦合界面上支鏈和靜平臺(tái)上的節(jié)點(diǎn),δBi和ρBi分別是支鏈坐標(biāo)系A(chǔ)i-xiyizi下BiL的線(xiàn)位移和角位移。

計(jì)入支鏈體與動(dòng)、靜平臺(tái)之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系,可得Ai點(diǎn)處鉸鏈的彈性線(xiàn)位移和角位移為

ΔAi=εAi-

(i=1,2,3)

(31a)

(i=1,2,3)

(31b)

Ti=diag[BTAi,BTAi,…,BTAi,BTAi]

(i=1,2,3)

(32)

同理,可得Bi點(diǎn)處鉸鏈的彈性線(xiàn)位移和角位移

(33)

3.3 彈性靜力學(xué)模型

前述支鏈坐標(biāo)系下的靜力平衡方程式(23)在參考系Bo-xyz下可表示為

KiUi=Wi(i=1,2,3)

(34)

式中:Ki、Ui和Wi分別表示坐標(biāo)系Bo-xyz中支鏈的剛度矩陣、位移列陣(同式(31)中的Ui)和外載列陣,并可表示為

(35)

將式(31)～(33)代入式(30)和(34),整理可得系統(tǒng)的彈性靜力學(xué)方程

KU=W

(36)

式中:K、U和W分別為坐標(biāo)系Bo-xyz下系統(tǒng)的剛度矩陣、位移列陣和外載列陣。其中位移列陣U

(37)

大型航空結(jié)構(gòu)件的高速加工與裝配過(guò)程中,作用于并聯(lián)模塊動(dòng)平臺(tái)上的外載荷一般遠(yuǎn)小于自重,所以可認(rèn)為并聯(lián)模塊自重是造成混聯(lián)系統(tǒng)發(fā)生彈性變形的主要因素[19-20],此時(shí),系統(tǒng)外載列陣W

(38)

當(dāng)僅考慮混聯(lián)系統(tǒng)自重時(shí),執(zhí)行末端動(dòng)平臺(tái)的等效外力和外力矩Fp和Mp分別為

(39)

(40)

此時(shí),系統(tǒng)位移列陣U可進(jìn)一步寫(xiě)成

U=K-1W

(41)

將式(39)和(40)的等效外力和外力矩帶入式(41),通過(guò)位移列陣U即可提取動(dòng)平臺(tái)彈性位移Up,其沿坐標(biāo)軸方向的位移分量即為混聯(lián)系統(tǒng)執(zhí)行末端動(dòng)平臺(tái)在相應(yīng)方向的彈性位移量。

4 彈性靜力學(xué)分析

4.1 系統(tǒng)參數(shù)

基于上述模型,對(duì)混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)進(jìn)行彈性靜力學(xué)分析。表2所示為該系統(tǒng)并聯(lián)模塊的部件質(zhì)量參數(shù)和支鏈坐標(biāo)系下各關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)。

表2 部件質(zhì)量與各關(guān)節(jié)的剛度系數(shù)

表2中:kAij(i=l,s,c;j=x,y,z)為Ai點(diǎn)處鉸鏈的長(zhǎng)軸(l)、短軸(s)和交叉軸(c)沿各相關(guān)方向的等效線(xiàn)剛度系數(shù);kAv和kAw表示Ai點(diǎn)處鉸鏈的等效角剛度系數(shù);kBj(j=x,y,z,v,w)為Bi點(diǎn)處鉸鏈沿各相關(guān)方向的等效線(xiàn)剛度和角剛度系數(shù)。表中,動(dòng)、靜平臺(tái)質(zhì)量由虛擬樣機(jī)模型直接獲取;各剛度參數(shù)值由有限元仿真確定。

4.2 典型位姿下動(dòng)平臺(tái)的彈性位移

取β=45°、90°和135°(z=1 350 mm,θ=0°,ψ=0°)來(lái)分析混聯(lián)柔性系統(tǒng)在3個(gè)典型位姿下的靜力學(xué)特性。由式(41),可求得在系統(tǒng)重力作用下動(dòng)平臺(tái)的彈性位移,結(jié)果如表3所示。表中,εpj和ξpj(j=x,y,z)分別表示動(dòng)平臺(tái)沿x、y和z軸的線(xiàn)位移和繞x、y和z軸的角位移。

表3 動(dòng)平臺(tái)彈性位移

由表3可知,該混聯(lián)系統(tǒng)的靜力學(xué)性能受并聯(lián)模塊位姿角β的影響。當(dāng)僅受自重時(shí),混聯(lián)系統(tǒng)末端的動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生沿x、z軸和繞y軸的彈性位移。其中,沿x軸方向的彈性變形量遠(yuǎn)大于沿z軸方向的彈性變形量,表明該混聯(lián)系統(tǒng)沿x軸方向的剛度較弱,在設(shè)計(jì)階段應(yīng)予以充分重視。另外,自重使得末端的動(dòng)平臺(tái)產(chǎn)生繞y軸方向的扭轉(zhuǎn)變形,表明動(dòng)平臺(tái)末端執(zhí)行繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)應(yīng)予以適當(dāng)運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償,以部分抵消扭轉(zhuǎn)變形帶來(lái)的誤差。

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn),在上述3個(gè)典型位姿下,系統(tǒng)動(dòng)平臺(tái)沿y方向的線(xiàn)位移εpy和繞x、z軸的角位移ξpx、ξpz均為0,表明這3個(gè)方向的彈性變形不受自重影響。這是因?yàn)楫?dāng)系統(tǒng)處于上述3個(gè)典型位姿時(shí),動(dòng)平臺(tái)的擺角為θ=0°,ψ=0°,此時(shí)支鏈1和支鏈3關(guān)于x-z平面對(duì)稱(chēng),導(dǎo)致系統(tǒng)自身重力僅作用于x-z平面,故系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生平面外的彈性變形。

為驗(yàn)證上述彈性靜力學(xué)模型的計(jì)算精度,在ANSYS Workbench(Vision:15.0.0)中應(yīng)用靜力學(xué)結(jié)構(gòu)分析模塊建立3種典型位姿下系統(tǒng)的有限元模型,施加相應(yīng)的重力加速度g(β),經(jīng)分析得到相應(yīng)方向的彈性變形。篇幅所限,僅給出并聯(lián)模塊沿x軸的位移云圖,如圖11所示。

(a)β=45°(b)β=90°(c)β=135°圖11 并聯(lián)模塊沿x軸方向的位移云圖

由圖11可知,并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊動(dòng)、靜平臺(tái)自身的變形近似為0,支鏈體與鉸鏈均產(chǎn)生一定變形,與前文將動(dòng)、靜平臺(tái)視為剛體而將支鏈體和鉸鏈視為柔性體的建模假設(shè)一致。此外,同時(shí)考慮串聯(lián)導(dǎo)軌自重(加載標(biāo)準(zhǔn)重力加速度9.8 m/s2)和其承載的并聯(lián)模塊重力(加載并聯(lián)模塊總質(zhì)量1 664 kg),并加載等效合力于典型位置(例如β=166°處),經(jīng)計(jì)算分析,可得圓弧導(dǎo)軌沿主要彈性變形方向的最大彈性變形量為1.35 mm,僅相當(dāng)于導(dǎo)軌直徑的0.012%,這與前文將圓弧導(dǎo)軌視為剛體結(jié)構(gòu)的建模假設(shè)一致。

進(jìn)一步分析可得并聯(lián)模塊動(dòng)平臺(tái)沿x方向的彈性變形,如表4所示。

將有限元模型的仿真結(jié)果與前述彈性靜力學(xué)分析結(jié)果對(duì)比,發(fā)現(xiàn)2種模型的計(jì)算結(jié)果吻合較好,由二者獲得的動(dòng)平臺(tái)沿x軸方向的彈性位移的計(jì)算誤差不超過(guò)6%,表明前文所建的彈性靜力學(xué)模型具有較高的計(jì)算精度,可用于混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)全局靜力學(xué)性能的預(yù)估。

表4 并聯(lián)模塊動(dòng)平臺(tái)沿x方向的彈性變形

4.3 系統(tǒng)全局靜力學(xué)性能評(píng)估

4.2節(jié)指出,混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)的靜力學(xué)性能與并聯(lián)模塊安裝的位姿角有關(guān)。為評(píng)估系統(tǒng)工作全域內(nèi)的靜力學(xué)性能,選取動(dòng)平臺(tái)彈性位移在其工作空間V內(nèi)的均值為指標(biāo),來(lái)考察系統(tǒng)性能與位姿角β的映射關(guān)系。

(j=x,y,z)

(42)

由上式可知,平均位移指標(biāo)表征的是系統(tǒng)在外載荷作用下于相應(yīng)方向產(chǎn)生的彈性位移,與相應(yīng)方向的真實(shí)位移具有相同的量綱。顯然,平均位移指標(biāo)值愈趨近于0,系統(tǒng)的剛度愈大,有望實(shí)現(xiàn)的加工性能愈好,反之愈差。因此,所述平均位移指標(biāo)可定量地反映系統(tǒng)彈性位移隨并聯(lián)模塊安裝位姿角的變化關(guān)系,指明可能的優(yōu)秀加工運(yùn)行區(qū)間,相應(yīng)計(jì)算結(jié)果如圖12所示。

(a)平均線(xiàn)位移指標(biāo)

(b)平均角位移指標(biāo)圖12 動(dòng)平臺(tái)平均位移指標(biāo)隨β的變化

5 結(jié) 論

(1)設(shè)計(jì)了一種用于大型航空結(jié)構(gòu)件加工與裝配的5自由度混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)。該柔性制造系統(tǒng)兼具弧形導(dǎo)軌工作空間大和并聯(lián)模塊剛度高的優(yōu)點(diǎn),有望為大型航空結(jié)構(gòu)件的柔性制造提供一種技術(shù)解決方案。

(2)運(yùn)用虛擬樣機(jī)技術(shù)完成了5軸混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)的概念設(shè)計(jì),并通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析揭示了該柔性制造系統(tǒng)的工作空間特性,其可達(dá)空間呈圓筒狀分布,工作空間體積達(dá)470.62 m3。

(3)借助子結(jié)構(gòu)綜合法建立了該柔性制造系統(tǒng)的彈性靜力學(xué)模型,揭示了混聯(lián)系統(tǒng)在典型位姿下的靜力學(xué)特性,并對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值仿真驗(yàn)證。分析表明,在進(jìn)行該混聯(lián)柔性制造系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí),需要著重提高其沿x軸方向的抗彎能力和繞y軸方向的抗扭能力。

(4)提出以并聯(lián)模塊工作空間內(nèi)的平均位移作為指標(biāo)來(lái)度量系統(tǒng)工作全域內(nèi)的靜力學(xué)性能。性能指標(biāo)分析表明,當(dāng)并聯(lián)模塊的位姿角位于63°～69°時(shí),系統(tǒng)受機(jī)構(gòu)自重產(chǎn)生的彈性變形最大,應(yīng)予以特別重視。