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(鎮(zhèn)海中學(xué),浙江 寧波 315200)

1 教學(xué)現(xiàn)狀及思考

在高三復(fù)習(xí)階段，一線數(shù)學(xué)教師普遍的感受就是心“累”.這個(gè)累主要有兩方面：1)身體累——忙于備課、改作業(yè)，還得做海量練習(xí)，尋找并設(shè)計(jì)專題，而于學(xué)生而言只是過眼云煙，教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成有待商榷；2)心累——“炒冷飯”，正因?yàn)閷W(xué)生沒有形成技能，能力達(dá)不到要求，就需要不斷重復(fù)，復(fù)習(xí)計(jì)劃無法如期落實(shí)，心里很急卻又無可奈何.如何提高高三的復(fù)習(xí)效率，在緊張的教學(xué)實(shí)踐中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的能力，似乎是一線教師亟待解決的問題.

波利亞認(rèn)為：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和大量的題目，還不如選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，在指導(dǎo)學(xué)生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”那么備好一堂課，選題就顯得非常重要了，它是切入課堂的契機(jī)，也是達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的重要載體[1].因此，與其翻閱大量模擬卷找那些看上去“高大上”的題目，不如從教材例題中尋找一些學(xué)生感覺親切、同時(shí)又有意義并值得挖掘的題目.高中教材中的例題是專家、前輩們集體智慧的結(jié)晶，一些看似平淡無奇的例題，卻隱藏著深遠(yuǎn)的背景，也有著意想不到的功能.同時(shí)，高考題源于課本又高于課本，即在課本中能找到高考題的題源.因此，在高三復(fù)習(xí)課中，應(yīng)當(dāng)抓住教材例題的生長(zhǎng)點(diǎn)，深入挖掘，達(dá)到讓學(xué)生觸類旁通的目的.

2 教學(xué)過程

2.1 例題呈現(xiàn)

筆者開設(shè)了一節(jié)解析幾何的綜合復(fù)習(xí)課，選用了以下例題：

圖1

(人教A版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第41頁例3)

由學(xué)生自主解答.

2.2 合作探究

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散式探究，遵循從特殊到一般的方式，推廣得到命題：

教學(xué)離不開數(shù)學(xué)探究，但全靠學(xué)生獨(dú)立探究是不可取的，教師應(yīng)當(dāng)扮演好領(lǐng)路人的角色，在必要的時(shí)候加以點(diǎn)撥，指明方向[2].筆者提示：既然由此可得到橢圓方程，那么橢圓是否有這樣的性質(zhì)呢？學(xué)生進(jìn)一步深入探索，不難得到結(jié)論，即上述命題的逆命題：

筆者追問：點(diǎn)A，B是否只能是橢圓的左、右頂點(diǎn)，能否再作拓展呢？

學(xué)生提出設(shè)想，師生共同完善命題：

證明設(shè)A(x1,y1)，B(-x1,-y1),M(x0,y0),則

而點(diǎn)A，B，M在橢圓上，從而

2.3 類比探究

筆者：同學(xué)們由兩斜率之積為定值的形式聯(lián)想到了什么？

希望以此啟發(fā)學(xué)生將“橢圓的這個(gè)性質(zhì)”與“圓的直徑所對(duì)圓周角為90°產(chǎn)生的k1k2=-1”聯(lián)系起來(如圖2).

圖2

接著筆者提出新的探究方向：圓內(nèi)是否還有類似的性質(zhì)可類比到橢圓？

在這里給學(xué)生足夠的探索時(shí)間，為學(xué)生提供足夠的展示和交流的機(jī)會(huì).由點(diǎn)差法的引領(lǐng)，學(xué)生對(duì)圓的垂徑定理作類比獲得了一個(gè)探究成果，并給出了以下命題的幾何證明：

圖3

證明如圖3，直線OB交橢圓于另一點(diǎn)B′，由中位線的性質(zhì)知

(代數(shù)角度的證明：點(diǎn)差法不再贅述.)

學(xué)生未能在課堂上探究出新的命題，筆者提示學(xué)生由圓的切線與半徑垂直，將直線AB進(jìn)一步平移至與橢圓相切于點(diǎn)M(如圖4)，進(jìn)一步探索kOMk切線得到新命題：

圖4

此命題留待學(xué)生自己證明.

2.4 習(xí)題示范

學(xué)生震驚于探究所得的結(jié)論，此時(shí)的情緒異?？簥^.筆者抓住時(shí)機(jī)，告誡學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分感受知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，不但要知其然，還要知其所以然，更要做到何由以知其所以然，點(diǎn)出解析幾何問題要胸懷“e2-1情結(jié)”，準(zhǔn)確地抓住題目的條件特征，這將對(duì)解題大有裨益.接著筆者給出一道高考題讓學(xué)生體驗(yàn)，例題的示范讓學(xué)生切實(shí)感受“e2-1情結(jié)”的強(qiáng)大，讓學(xué)生在受困于解析幾何客觀題小題大做之時(shí)，有一種柳暗花明的感覺.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題)

(9b2-a2)y2-6mb2y+b2m2=0，

從而

解得

a2=4b2,

故

故

2.5 作業(yè)布置

在布置課后作業(yè)環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生繼續(xù)探究橢圓中與斜率之積相關(guān)的性質(zhì)，收獲令人驚艷！

3 教學(xué)感悟

3.1 充分尊重教材

在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)充分尊重教材，不被模擬題牽著鼻子，帶偏復(fù)習(xí)的方向，應(yīng)以教材為本，以知識(shí)為舟，以思維為槳，乘風(fēng)破浪，挖掘課本教材例題的背景及立意，創(chuàng)造性地使用教材，精耕細(xì)作，使數(shù)學(xué)知識(shí)的展開不再是無本之木，無水之源.讓每個(gè)學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，都能獲得數(shù)學(xué)思維上的提升，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).茫茫題海，尋根悟法方是岸,從課本尋根，從課本探源，盡覽眾山小.

3.2 充分體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性

高三復(fù)習(xí)課同樣應(yīng)該將課堂還給學(xué)生，而不是教師一言堂灌入式教學(xué).學(xué)生應(yīng)當(dāng)成為課堂的主人，但絕非放縱他們“肆意妄為”，教師需要扮演好導(dǎo)演和領(lǐng)路人的角色，將時(shí)間交還學(xué)生，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，通過合作探究參與到知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展中來，厘清知識(shí)脈絡(luò)，建構(gòu)知識(shí)體系[3].在此過程中，與學(xué)生共同探究得出結(jié)論，這樣不但培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，還激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，樹立了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的要求.

3.3 充分給予學(xué)生展示自我的機(jī)會(huì)和勇氣

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一正確方法是讓學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”，就是由學(xué)生本人把學(xué)習(xí)的東西實(shí)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是為學(xué)生的發(fā)展創(chuàng)造條件、引導(dǎo)探索.因此在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜測(cè)，嚴(yán)謹(jǐn)證明，從而在后續(xù)的自主探究中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的升華，并創(chuàng)建平臺(tái)讓學(xué)生勇于展示自己的研究成果，努力做到讓學(xué)生通過一道題目的學(xué)習(xí)，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地.