郭瑜超，王立凱，聶小華，吳存利

（中國飛機(jī)強(qiáng)度研究所，西安，710065）

0 引 言

蜂窩夾層結(jié)構(gòu)具有較高的比剛度和比強(qiáng)度，同時(shí)具有良好的隔熱、隔振特性，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于航空、航天等領(lǐng)域，國內(nèi)外學(xué)者對此開展了廣泛研究[1～3]。但隨著變體飛機(jī)等新型飛行器的出現(xiàn)，其要求機(jī)翼蒙皮具有良好的面內(nèi)變形能力和較高的面外剛度，傳統(tǒng)的正六邊形蜂窩夾層結(jié)構(gòu)無法滿足此要求，因此對具有大柔性、大變形等特殊性能的結(jié)構(gòu)材料，如各類具有零泊松比、負(fù)泊松比效應(yīng)的蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行廣泛的研究。

20世紀(jì)80年代，Gibson等[4]和Ashby便提出了負(fù)泊松比蜂窩構(gòu)型——內(nèi)凹六邊形蜂窩，并對其力學(xué)性能進(jìn)行預(yù)測；Theocaris等[5]針對一種星型的負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，詳細(xì)討論了其等效彈性模量的計(jì)算方法及彈性模量與蜂窩幾何參數(shù)的關(guān)系；Prall等[6]針對一種手性負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)，研究了其面內(nèi)等效彈性模量及泊松比；董文俊等[7]研究了具有零泊松比效應(yīng)的手風(fēng)琴式蜂窩材料的等效模量和等效泊松比的計(jì)算方法進(jìn)行了研究，采用經(jīng)典歐拉梁理論，得到面內(nèi)兩個正交等效模量以及泊松比解析表達(dá)式，并對其進(jìn)行了詳細(xì)討論；高珂等[8]針對此手風(fēng)琴式蜂窩結(jié)構(gòu)對其等效彎曲和扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行了研究，得到等效彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度的理論表達(dá)式，并利用數(shù)值方法驗(yàn)證了其正確性。

Bezazi等[9，10]提出一種特殊的內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)，并基于Timoshenko梁理論，對其面內(nèi)等效彈性參數(shù)和進(jìn)行了初步研究，同時(shí)初步討論了該蜂窩結(jié)構(gòu)的等效傳熱特性。文獻(xiàn)[11]進(jìn)一步利用虛功原理和能量法對該內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)等效泊松比進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)其等效泊松比會隨著其胞壁長度及角度的變化產(chǎn)生較大的改變，具有較好的應(yīng)用前景；文獻(xiàn)[12]將此內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)其簡化為正交異性薄板，利用能量等效原理得到蜂窩結(jié)構(gòu)等效彎曲剛度的解析表達(dá)式。綜上所述，針對此內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)等效彈性模量、泊松比、等效彎曲剛度已進(jìn)行了廣泛研究，但對其扭轉(zhuǎn)剛度66D還沒有明確給出理論表達(dá)式，本文將重點(diǎn)針對此型蜂窩結(jié)構(gòu)的等效扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行研究。

本文針對內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)，將其等效成正交異性薄板，利用薄板的變形能等效原理，推導(dǎo)出此型蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度的理論表達(dá)式，并詳細(xì)討論了等效扭轉(zhuǎn)剛度與胞元幾何尺寸的關(guān)系，最后利用有限元數(shù)值方法對理論公式的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 蜂窩等效扭轉(zhuǎn)剛度理論推導(dǎo)

1.1 薄板變形能

內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 蜂窩結(jié)構(gòu)及胞元示意Fig.1 Honeycomb And Typical Cell

在計(jì)算該蜂窩結(jié)構(gòu)（圖1a所示）的等效扭轉(zhuǎn)剛度時(shí)，為了簡化計(jì)算過程，需要首先選取適當(dāng)?shù)姆涓C胞元，本文選取的典型胞元如圖1b所示，胞元各個胞壁的尺寸及胞壁的編號在圖1b中有明確標(biāo)示。將胞元結(jié)構(gòu)等效成為正交各項(xiàng)異性薄板，然后利用薄板的變形能公式可以得到其變形能。正交各項(xiàng)異性平板的變形能為[8]

式中11D ，12D ，22D 為等效薄板的彎曲剛度系數(shù)；66D為等效薄板的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；a'，b'為等效薄板的邊長。

薄板在受到均布扭矩而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，薄板內(nèi)任意一點(diǎn)的撓度可以表示為[13]

1.2 蜂窩胞壁變形能

計(jì)算蜂窩胞元各個胞壁的變形能之和，首先需要分別計(jì)算各個胞壁的變形能，在計(jì)算時(shí)需要將蜂窩胞元的胞壁等效為勻質(zhì)平板，如圖2所示。

圖2 蜂窩胞元壁板局部坐標(biāo)系示意Fig.2 Local Coordinate System of Cell Wall c—胞壁高度；l—胞壁長度； t—胞壁厚度

由圖2可知，彎矩M引起的蜂窩胞壁端面繞ζ軸的轉(zhuǎn)角θM以及T引起的壁板端面繞ξ軸的扭轉(zhuǎn)角θT（胞元壁板為非自由扭轉(zhuǎn)）可通過式（4）求得[13]：

式中sE為蜂窩胞元材料的彈性模量；qτ為壁板的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，其值只與壁板的尺寸和材料的泊松比sν有關(guān)，見表1[13]的關(guān)系。

表1 壁板扭轉(zhuǎn)系數(shù)與壁板尺寸及材料關(guān)系Tab.1 Relationship between Torsion Coefficient and Size＆Material Of Wall

單個胞元壁板的變形能可以表示為

整個蜂窩胞元各個胞壁的變形能之和可以表示為

由于蜂窩結(jié)構(gòu)的對稱性，可以取一半胞元結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，如圖3所示。

圖3 胞壁受到的扭矩示意Fig.3 Torque Moment Acting on Each Cell Wall

由圖3受力分析可以得到胞壁受到的彎矩和扭矩：

根據(jù)力矩的平衡關(guān)系，可以得到蜂窩胞元各個胞壁受到的彎矩和扭矩：

將式（7）、式（8）代入式（4）可以得到各個胞壁的彎曲及扭轉(zhuǎn)變形，即：

為簡化推導(dǎo)過程，假設(shè)均布扭矩Myx= 0 ，并將式（8）、式（9）代入式（5）可得蜂窩胞元各個胞壁的變形能為

利用蜂窩胞元的對稱性，將式（10）代入式（6）可得蜂窩胞元各個胞壁的變形能之和，即：

1.3 蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度

通過前面的計(jì)算分別得到等效薄板的變形能計(jì)算公式及蜂窩胞壁的變形能計(jì)算公式，利用變形能相等原理可計(jì)算蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度，變形能等效公式如下：

2 蜂窩等效扭轉(zhuǎn)剛度數(shù)值計(jì)算

為驗(yàn)證理論分析結(jié)果的正確性，使用有限元方法進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，蜂窩結(jié)構(gòu)的有限元建模分析借助航空結(jié)構(gòu)分析軟件HAJIF實(shí)現(xiàn)。

假設(shè)內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)的材料為鋁合金，材料彈性模量sE=71 000 MPa，泊松比s0.3ν=，選擇的胞元結(jié)構(gòu)尺寸為：胞壁的長斜邊長度l=5 mm，胞壁的短斜邊長度a=1.667 mm，胞壁的橫邊長度h=5 mm，胞壁高度c=2.08 mm，胞壁夾角θ、?不斷變化。

蜂窩結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)有限元模型主要使用 QUAD4單元建立，綜合考慮有限元模型的精度和效率，模型共包含 29×17個蜂窩胞元，模型包含有限元節(jié)點(diǎn)23 829個，單元16 320個。蜂窩結(jié)構(gòu)的約束條件為：中心點(diǎn)約束6個方向的自由度。蜂窩結(jié)構(gòu)載荷邊界條件為：四邊施加均布扭矩載荷，其中AB、CD兩邊施加總載為15 N·mm的均布扭矩，AD、BC兩邊施加總載為4.5 N·mm的均布扭矩。最終建立的蜂窩結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)有限元分析模型如圖 4所示，然后進(jìn)行線性靜力分析，得到蜂窩結(jié)構(gòu)的變形。首先確定結(jié)構(gòu)中的一個特征點(diǎn)E（E點(diǎn)在圖4所示坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（50.0，43.3，0.0），通過計(jì)算得到圖4蜂窩結(jié)構(gòu)中E點(diǎn)沿z軸的變形w，然后將撓度代入式（14）可以反推蜂窩結(jié)構(gòu)的等效扭轉(zhuǎn)剛度[13]：

圖4 蜂窩結(jié)構(gòu)有限元模型示意Fig.4 Fem Model of Honeycomb Structure

式中 w為E點(diǎn)沿z軸的變形；x，y分別為A點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)。

3 計(jì)算結(jié)果討論

蜂窩材料及胞元尺寸的選擇見第 2節(jié)，在這些假設(shè)的前提下對蜂窩結(jié)構(gòu)的等效扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行討論，討論包括扭轉(zhuǎn)剛度理論分析結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

圖 5描述了當(dāng)胞壁長度 L=5 mm、h=5 mm、a=1.667 mm，胞壁高度c=2.08 mm，胞壁夾角?=30°、θ在 0°～90°之間變化時(shí)，夾角 θ變化對蜂窩等效扭轉(zhuǎn)剛度的影響，同時(shí)討論了蜂窩胞壁厚度t的變化對蜂窩等效扭轉(zhuǎn)剛度的影響。由圖5可知，當(dāng)0°≤θ≤70°時(shí)，隨著胞壁夾角 θ的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度逐漸減小；當(dāng)70°≤θ≤90°時(shí)，蜂窩結(jié)構(gòu)的等效扭轉(zhuǎn)剛度隨著夾角θ的增大而增大；當(dāng)蜂窩胞壁厚度分別為t=0.0625 mm、0.09375 mm和0.125 mm時(shí)的蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度，對比結(jié)果顯示，隨著胞壁厚度t的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度明顯提升。

圖5 蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度與胞壁夾角θ的關(guān)系Fig.5 Relationship of Torsional Stiffness and Angle θ

圖 6描述了當(dāng)胞壁長度 L=5 mm、h=5 mm、a=1.667 mm，胞壁高度c=2.08 mm，胞壁夾角θ=30°，胞壁夾角φ在 0°～90°之間變化時(shí)，夾角φ變化對蜂窩等效扭轉(zhuǎn)剛度的影響，同時(shí)討論了蜂窩胞壁厚度 t的變化對蜂窩等效扭轉(zhuǎn)剛度的影響。由圖6可知，0°≤φ≤90°時(shí)，隨著胞壁夾角φ的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度逐漸增大；當(dāng)蜂窩胞壁厚度為t=0.0625 mm、0.09375 mm和0.125 mm時(shí)的蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度，對比結(jié)果顯示，隨著胞壁厚度t的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度明顯提升。

圖6 蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度與胞壁夾角φ的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship of the Torsional Stiffness and Angle φ

圖5 、圖6中還對蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度的理論分析結(jié)果與有限元反推的結(jié)果進(jìn)行了對比，對比結(jié)果顯示理論結(jié)果與數(shù)值結(jié)果在趨勢上基本一致，數(shù)值誤差在 3%左右，說明在保證胞元壁板高度與長度比值在表1中的扭轉(zhuǎn)系數(shù)的適用范圍內(nèi)的情況下，本文使用的理論分析方法是正確的。

4 結(jié) 論

針對一種特殊的內(nèi)凹形蜂窩結(jié)構(gòu)，將其等效為正交異性薄板，選擇單個胞元結(jié)構(gòu)，分別計(jì)算正交異性薄板的變形能以及胞元各個胞壁變形能之和，利用能量等效原理推導(dǎo)了該蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度的解析表達(dá)式，并展開了詳細(xì)討論，得到如下結(jié)論：

a）當(dāng)胞壁長度、高度不變，胞壁夾角φ=30°、當(dāng)0°≤θ≤70°時(shí)，隨著胞壁夾角θ的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度逐漸減??；當(dāng)70°≤θ≤90°時(shí)，蜂窩結(jié)構(gòu)的等效扭轉(zhuǎn)剛度隨著夾角θ的增大而增大。

b）當(dāng)胞壁長度、高度不變，胞壁夾角θ=30°、當(dāng)0°≤φ≤90°時(shí)，隨著胞壁夾角φ的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度逐漸增大。

c）隨著胞壁厚度t的增大，蜂窩結(jié)構(gòu)等效扭轉(zhuǎn)剛度明顯提升。

文中還對蜂窩結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié)有限元模型進(jìn)行了數(shù)值分析，并利用數(shù)值分析結(jié)果反推蜂窩結(jié)構(gòu)的等效扭轉(zhuǎn)剛度，得到的結(jié)果與理論分析結(jié)果基本一致，證明了本文理論方法的正確性，理論分析方法對該型蜂窩結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。