潘麗靜 余保民

(渭南師范學院數(shù)理學院，陜西 渭南 714000)

1 引言與基本概念

半群是由一個非空集合S及定義在S上的一個二元運算組成的代數(shù)系統(tǒng)(S,·)，其中要求二元運算滿足結合律．半群代數(shù)理論在數(shù)學內(nèi)部(組合數(shù)學，圖論，符號動力學等)和外部(理論計算機科學，信息科學，生物技術等)的共同推動下，經(jīng)過七十多年的系統(tǒng)研究，已成為一個研究對象和研究方法都具有自身特色的代數(shù)學分支，其研究在國際上方興未艾[1-4]．

設S是一個半群，用P(S)表示S的非空子集全體所成的集合，在P(S)上定義如下的二元運算：

(?A,B∈P(S))AB={ab∶a∈A,b∈B}．

易證，上面定義的二元運算滿足結合律，因此，P(S)關于上面定義的二元運算構成一個半群，稱為S的冪半群或整體．關于冪半群及其性質(zhì)的研究最早始于1967年，由Tamura和Shafer等[5-7]學者提出．隨后，很多學者都從不同角度對冪半群進行了研究．最近，趙憲鐘教授和甘愛萍等人對幾類半群的整體決定性進行了研究，證明了Clifford半群類滿足強同構性質(zhì)，而具有正則整體的半群類、冪等元半群類、以及正規(guī)純正群類等都是整體決定的．

正則半群是半群代數(shù)理論的主流研究領域，完全正則半群(也稱為群并半群)則是其中最受關注的研究對象之一，Green等價關系是研究半群的結構及其性質(zhì)的最基本和最重要的工具之一．因此，為了研究一個半群S與其冪半群P(S)之間的關系，有必要討論半群S及其冪半群P(S)中的Green關系之間的聯(lián)系．本文的主要目的就是研究對于一個給定的完全正則半群S及S中的元素a，a在S中的L、R、H類與其在P(S)中的等價類之間的關系．我們相信，對這一問題的研究有助于解決完全正則半群的整體決定性問題．

首先回顧Green關系的定義．

定義1[4]設S是一個半群，a,b∈S. 在S上定義如下的Green關系：

(1)aLb?存在x,y∈S1，使得xa=b,yb=a；

(2)aRb?存在u,v∈S1，使得au=b,bv=a；

(3)aHb?aRb且aLb，即存在x,y,u,v∈S1，使得xa=b,yb=a，au=b,bv=a．

命題1[4](1)L是右同余關系；R是左同余關系；

(2)L°R=R°L．

2 冪半群上Green關系的性質(zhì)

如果在半群S中有aRb，則按照定義1，存在u,v∈S1，使得au=b,bv=a，從而可以在S上定義右平移ρu∶S→S和ρv∶S→S如下：

ρus=su,ρvs=sv(s∈S)．

同樣地，若aLb，即存在x,y∈S1，使得xa=b,yb=a，則可以在S上定義左平移λx∶S→S和λv∶S→S如下：

λxs=xs,λys=ys(s∈S)．

延用上面的記號，我們有下面的結果：

引理1[4](1) 右平移ρu|La是La到Lb上的雙射；ρv|Lb是Lb到La上的雙射，且二者互逆；

(2) 左平移λx|Ra是Ra到Rb上的雙射；λy|Rb是Rb到Ra上的雙射，且二者互逆．

完全正則半群是一類非常重要的半群類．回顧一下，對半群S，設a∈S，如果存在c∈S使得a=aca，則稱a是S中的正則元；如果存在c∈S使得a=aca且c=cac，則稱c是a的逆元；如果存在c∈S使得a=aca且ac=ca，則稱a是S中的完全正則元；如果S中的每個元素都是完全正則的，則稱S是一個完全正則半群．熟知，任一完全正則半群S都是完全單半群Sα的半格Y，其中α∈Y，即S=[Y;Sα]．對A?S=[Y;Sα]，引入以下記號

IdA={α∈Y∶A∩Sα≠?}．

以下，我們把單點集{a}和其所包含的元素a不加以區(qū)分．我們分別用LS,RS,HS表示半群S中的GreenL,R,H關系，而用LP(S),RP(S),HP(S)表示冪半群P(S)中的GreenL,R,H關系．對a∈S，我們把a在半群S和冪半群P(S)中的H類分別記作Ha(S)和Ha(P(S))，即

Ha(S)={x∈S∶xHa},
Ha(P(S))={A∈P(S)∶AH{a}}.

類似地可定義La(S)，La(P(S))，Ra(S)和Ra(P(S))等記號．

命題2設S是一個半群，a∈S，A∈P(S)．

(1) 如果aRP(S)A，則A?Ra(S)且對任意的b1,b2∈A，b1≠b2，在S中有(b1,b2)?L；

(2) 如果在P(S)中aLA，則A?La(S)且對任意的b1,b2∈A，b1≠b2，在S中有(b1,b2)?R.

證明假設在P(S)中aRA，即存在X,Y∈P(S)，使得

aX=A,AY=a．

則對任意的b∈A，存在x∈X,y∈Y，使得

ax=b,by=a，

所以在半群S中有aRb，從而有A?Ha(S)．

在Y中任意取定y．對任意的b∈A，有aRb，同時由引理1(1)，右平移ρy是Lb到La雙射．因此，當b1∈A且b1≠b時，b1?Lb，也就是說，(b1,b)?L．

對偶的可證明(2)成立．

命題3對任意的a∈S，都有Ha(S)=Ha(P(S))，即a在S中的H類和{a}在P(S)中的H類相同．

證明設a∈S，b∈Ha(S)，則存在x,y,u,v∈S1，使得

ax=b,by=a,ua=b,vb=a，

從而在P(S)中有

{a}{x}=,{y}={a},

{u}{a}=,{v}={a}，

所以b∈Ha(P(S))．因此Ha(S)?Ha(P(S))．反之，任取A∈Ha(P(S))，則在P(S)有aRA且aLA．由命題2，A?La(S)∩Ra(S)=Ha(S)．同時，由命題2，對任意b1,b2∈A，當b1≠b2時有(b1,b2)?L且(b1,b2)?R，所以|A|=1，進而有Ha(S)=Ha(P(S))．

命題4設S=S[Y;Sα;φα,β]是完全正則半群，P(S)是S的冪半群，A,B∈P(S)．如果ARB，ALB，AHB中有一個成立，則IdA=IdB．

證明任給M,N∈S，由文[10]可知，Id(AB)=(IdA)(IdB)．設ARB，則存在X,Y∈P(S)，使得AX=B,BY=A．從而有

(IdA)(IdX)=IdB, (IdB)(IdY)=IdA．

任取α∈IdA，由(IdB)(IdY)=IdA可知，存在β∈IdB，使得α≤β，又由(IdA)(IdX)=IdB可知，存在γ∈IdX，使得β≤γ．因此α≤γ．進一步，有

α=αγ∈(IdA)(IdX)=IdB．

所以IdA?IdB．對偶的可證明IdB?IdA．因此IdA=IdB．類似的可證明ALB或AHB時，IdA=IdB．