高姍

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，山西太原030008)

關(guān)于非線(xiàn)性四階差分方程的研究現(xiàn)在已有許多重要結(jié)果。

考慮的非線(xiàn)性四階差分方程為

其中k∈N0={n0,n0+1,…},n0是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。Δ是差分算子。此方程的振動(dòng)性在文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)做過(guò)討論，且給出了一個(gè)相關(guān)定理，對(duì)其結(jié)論進(jìn)行了改進(jìn)。

對(duì)于方程（1），規(guī)定：

1）α是一個(gè)正有理數(shù)；

2）{α(k)},{q(k)},{p(k)},{m(k)}是正序列；

3）{g(k)},{σ(k)},{n(k)}是非增實(shí)常數(shù)序列，對(duì)于任意的k∈n0,g(k)＜k,σ(k)＞k且lki→m∞g(k)=∞；

4）f,h,l:c(R,R)：滿(mǎn)足

xf(x)＞0,f′(x)≥0,xh(x)＞0,h′(x)≥0(x≠0)。

方程（1）的解是指對(duì)于所有充分大的k≥n0∈N0滿(mǎn)足(1)的序列{x(k)}。(1)的解{x(k)}是非振動(dòng)的，若x是最終為正或最終為負(fù)的，否則稱(chēng)x是振動(dòng)的。

定理1若對(duì)于方程（1），滿(mǎn)足下列條件：

對(duì)于任意xy＞0都有：

若以下方程

的所有無(wú)界解

的所有有界解是振動(dòng)的，則（1）是振動(dòng)的。

證明令{x(k)}為（1）的最終正解，如文獻(xiàn)[1]中定理1所證。需討論以下三種情形a,b,c

情形a：假設(shè)Lix(k)＞0,i=1,2,3。k≥n0∈N0。則對(duì)于l≥m+1≥n0，有

上述不等式從m到k-1兩邊相加，有

令y(k)=L2(x)，用σ(k),(k+σ(k))/2代替k,m，有

在（1）中應(yīng)用（4）（9）。可知

則可知（7）有一個(gè)最終正解。

情形b：假設(shè)Lix(k)＞0，i=1,2。

L3x(k)＜0,k≥n0,則對(duì)于k≥m-1≥n0，有

上述不等式兩邊從n0到k-1相加，有

令z(k)=L2x(k)，用g(k)代替k，有

在(1)中應(yīng)用(3),(13)，有

通過(guò)文獻(xiàn)[2]中的一個(gè)結(jié)論，易知有一個(gè)最終正解。

情形c：假設(shè)L1x(k)＜0,L2x(k)＞0,L3x(k)＜0,k≥n0。如b可知（9）,不等式（11）兩邊從m到k-1≥m≥n0相加，有

令w(k)=L2x(k)。用(k+n(k))/2和n(k)代替k,m。由（2）知：

方程（1）中應(yīng)用（3），（15），有

剩余的部分類(lèi)似于b，因此省略，結(jié)論成立。

定理2條件（2）～（4）成立。若以下差分方程

的所有有界解是振動(dòng)的，則（1）是振動(dòng)的。

證明若{x(k)}是（1）的最終正解。須討論三種情形a,b,c：

情形a：若L1x(k)＞0，i=1,2,3。k≥n0∈N0，則文獻(xiàn)[1]中公式(15)成立。

用σ(k),(k+σ(k))/2,代替k,m。有

在方程（1）中應(yīng)用準(zhǔn)備知識(shí)中條件3，以及(19)。有

其中k≥n1≥n0。

易知(13)有一個(gè)最終正解。

情形b：若Lix(k)＞0，i=1,2。L3x(k)＜0,k≥n0∈N0。則由成立。

令j=k,-L3x(j)=z(j)。由（20）有

在(21)中應(yīng)用（3）可知

或

Δz(k)則(16)有一個(gè)最終正解。

情形c：若L1x(k)＜0,L2x(k)＞0,L3x(k)＜0,k≥n0∈N0。令w(k)=-L3x(k),用(k+n(k))/2和n(k)代替k,m。知

在方程（1）中應(yīng)用準(zhǔn)備知識(shí)中條件2與上述不等式，有

剩余步驟類(lèi)似于,

結(jié)論得證。