陳名乾

中國商飛上海飛機設計研究院，上海 201210

民用飛機的商載航程性能是客戶在考察評估機型、規(guī)劃機隊以及運營機型時最為關注的性能之一[1]。商載航程性能與目標市場客戶使用需求的符合程度直接關系到機型的市場表現[2]。傳統(tǒng)的飛機設計指標往往只對標準商載下的航程能力有所要求，但在飛機運營中，實際航線的商載和航程可能是商載航程圖內的任意點。在設計指標制定時，需要對飛機整體的商載航程能力在目標市場范圍內進行評估，才能確保指標制定的合理性[3]。但是在方案初期，對商載航程性能進行仿真計算求解較為困難，目前多采用工程估算方法[4-5]，求解準確度有限，因此在工程中商載航程圖也僅作為方案后期性能評估時的項目給出，在指標制定中的參與程度有限，這也制約了指標制定時對目標市場需求的性能匹配程度檢查的全面性。因此需要一種能將設計指標和飛機商載航程能力迅速建立對應關系的有效方法，形成方案初期的商載航程能力設計。

由于飛機飛行性能的計算方法較為成熟，對于往往作為性能計算結果的商載航程圖的相關研究較少。蒙文鞏等[6]從經濟學的角度對客機系列化的商載航程性能進行了優(yōu)化匹配，Shannon[7]對總體參數對商載航程圖的影響進行了分析，表明飛機的起飛重量、使用空機重量(OEW)、最大燃油重量(MFW)等重量參數變化時，商載航程圖都會做出具有特征性的變化，但是目前對商載航程圖邊界線與飛機總體參數之間的具體關系還缺少更為深入的研究。

1 商載航程圖的邊界線與求解

1.1 商載航程圖邊界線的定義

典型民用飛機的商載航程圖如圖1所示，商載航程圖的邊界線主要由最大零油重量(MZFW)限制線、最大起飛重量(MTOW)限制線和最大燃油重量限制線組成。在MZFW限制線上從左往右，飛機在最大商載下起飛重量逐漸增大至最大起飛重量，航程達到最大商載下的最大航程；在MTOW限制線上從左往右，飛機保持最大起飛重量不變，商載逐漸降低替換為燃油的增加，航程逐漸增大直至燃油量達到飛機的MFW；在MFW限制線上從左往右，飛機保持滿油狀態(tài)，商載和起飛重量逐漸降低，直至商載為零，此時對應的航程為飛機可能達到的最大航程。部分飛機的商載航程圖還有受最大著陸重量(MLW)限制的邊界線[8]，但該情況主要由設計的最大著陸重量不足造成，并非常規(guī)飛機的設計狀態(tài)，本文不做考慮。

圖1 典型民用飛機商載航程圖Fig.1 Typical payload-range diagram of a commercial aircraft

另外，由于飛機運行時的商載在設計商載附近的比例較高，若設計商載對應點位于MFW限制線，則較多數情況飛機無法使用MTOW起飛，造成設計冗余，因此民用飛機的標準商載和設計航程對應點往往位于MTOW限制線上。

1.2 商載航程圖的求解

工程上一般采用計算幾條限制線交點處的商載對應的航程后再使用線段連接繪制商載航程圖。對航程的計算，在方案初期，往往采用Breguet航程公式衍生的方法估算[9]；在方案后期，具備詳細的發(fā)動機和氣動力數據后采用高精度迭代的方法對整個飛行剖面進行求解獲得航程[10]。前者屬于工程估算方法，對航程的計算準確度有限并且需要不同工況飛行的升阻比和單位耗油率(SFC)作為輸入，對二者預估的準確程度較為依賴。后者屬于仿真計算方法，要求的輸入數據量大，在方案初期不易使用。因此在方案初期很難對飛機整體的商載航程能力有準確的預估，飛機的商載航程指標也往往僅限定在單一標準商載點的航程，無法將整個商載航程圖作為設計指標提出。本文提出一種新的商載航程圖求解方法，通過建立飛機總體參數與商載航程圖邊界線的關系，當方案階段確定飛機的標準商載和設計航程后，即可根據飛機的特征重量將整個商載航程圖擴充，并且具備較好的準確度。

2 商載航程圖邊界線的解析表達

飛機的巡航性能可由燃油里程反映[11]，燃油里程FM可表示為

(1)

式中：TAS為真空速，km/h；FF為燃油流量，kg/h。燃油流量FF可表示為推力與SFC的乘積，認為巡航時推力等于阻力，則有

(2)

式中：m為飛機重量。

將式(2)代入式(1)有

(3)

考慮給定的任務剖面，巡航高度和巡航速度已知，則式(3)中TAS為定值，巡航段的距離DCRZ可表示為燃油里程FM關于飛機重量的積分：

(4)

式中：K為升阻比；WCS和WCE分別為巡航段起始與結束時的重量。

對于民用飛機，在相同高度速度下，燃油里程隨飛行重量的變化呈近似線性關系。例如對某型客機，在標準大氣，Ma=0.85下，不同重量、不同飛行高度層(FL)對應的燃油里程如圖2所示,FL 350即為35 000 ft，1 ft=0.304 8 m。

圖2 某型客機的燃油里程隨重量的變化Fig.2 Variation of fuel mileage change with aircraft weight for a jetliner

(5)

(6)

忽略下降段和進場著陸段的耗油，則WCE等于使用空機重量WOEW、商載WPLD、備用油重量WRES之和，即

WCE=WOEW+WPLD+WRES

(7)

巡航段起始重量WCS為起飛重量WTOW減去起飛與爬升段的用油WCLB，即

WCS=WTOW-WCLB

(8)

設爬升下降段的距離之和為DC&D，則航程D可表示為

(9)

整理后可得商載航程圖右邊界線的解析方程為

WTOW-WCLB-WOEW-WRES

(10)

EC=

(11)

對于商載航程圖的MFW限制線，燃油重量WF保持不變，WF=WMFW=WTOW-WOEW-WPLD，將其代入式(10)可得MFW限制線的解析方程為

(12)

以上獲得了商載航程圖MTOW限制線和MFW限制線的解析表達式分別為式(10)和式(12)， 建立了效率因子EC和飛機特征重量參數與商載航程圖邊界線的關系。

3 飛機總體參數與商載航程圖的關系

通過式(10)和式(12)可得出當飛機總體參數變化時，商載航程圖相應的變化規(guī)律。

3.1 最大起飛重量的影響

MTOW并不出現在MFW限制線的解析方程式(12)中，而在MTOW限制線上，起飛重量始終等于MTOW，即WTOW=WMTOW，對式(10)求導可得

(13)

在其中忽略DC&D和WCLB，可得

(14)

從式(14)可知，商載航程圖的MTOW限制線并非線性，隨著航程D的增大，限制線的斜率值變小。當MTOW增大，相同航程下的MTOW限制線斜率值增大，同時式(10)的截距WTOW-WCLB-WOEW-WRES也會增大，商載航程圖的MTOW限制線會上移。圖3給出了MTOW變化時的商載航程圖變化情況。可見MTOW的影響主要體現在MTOW限制線的移動上，對其斜率的影響較小，同時由于MTOW并不影響MFW限制線，當飛機的MTOW增大，MTOW限制線的長度縮短。

3.2 使用空機重量的影響

圖3 最大起飛重量對商載航程圖的影響Fig.3 Effect of MTOW on payload-range diagram

圖4 使用空機重量對商載航程圖的影響Fig.4 Effect of OEW on payload-range diagram

3.3 最大燃油重量的影響

MFW并不出現在MTOW限制線的解析方程式(10)中。在MFW限制線上，對式(12)求導，忽略DC&D并且不考慮相對小量WCLB和WRES與航程關系，可得

(15)

可知當MFW增大，MFW限制線的斜率值增大。

圖5 最大燃油重量對商載航程圖的影響Fig.5 Effect of MFW on payload-range diagram

3.4 單位耗油率和升阻比的影響

單位耗油率(SFC)和升阻比對商載航程圖的影響體現對效率因子的影響上，升阻比越大，SFC越小，效率因子越小，巡航效率越高。在MTOW限制線上，斜率為式(14)，在效率因子的數量級范圍內，效率因子越小，則MTOW限制線的斜率值越小。在MFW限制線上，斜率為式(15)，效率因子與斜率值大小成反比。效率因子對商載航程圖的影響效果見圖6。

圖6 效率因子對商載航程圖的影響Fig.6 Effect of cruise efficiency factor on payload-range diagram

4 商載航程圖解析表達式的應用

通過式(10)和式(12)，若已知效率因子EC和特征重量則可以直接求解商載航程圖。但是EC一般很難直接給出，因此更為有效的方法是在方案階段確定飛機標準商載、設計航程和特征重量后，即可根據式(11)反算出EC，再使用式(10)和式(12)獲得整個商載航程圖。

4.1 解析表達式的應用方程

若要直接應用式(10)～式(12)，還需明確若干變量WCLB、WRES和DC&D的數值。這些變量在重量和距離中的占比均較小，并且直接求解較為復雜，因此采用擬合式的方式估算WCLB和WRES，DC&D直接采用固定值。

爬升用油WCLB與起飛重量關系較大，且呈近似線性關系，可假設：

WCLB=k1WTOW+d1

(16)

備用油重量WRES與航程關系較大，也可近似為線性關系，可假設：

WRES=k2D+d2

(17)

將式(16)和式(17)代入式(10)和式(12)中，令D′=D-DC&D，可得MTOW限制線的應用方程為

(1-k1)WTOW-d1-WOEW-k2D-d2

(18)

MFW限制線的應用方程為

(19)

其中：

根據相關機型的統(tǒng)計值，可按表1選取各項參數的數值，對窄體客機和寬體客機有不同的推薦數值。

以上備用油重量WRES的相關參數基于10%航路備份油、200 nm備降和目的地機場上空1 500 ft(457 m)等待30 min的國際航線常用備用油規(guī)則給出[12]。這一備用油規(guī)則也是制定商載航程圖時最常用的。

表1 各項參數的推薦數值Table 1 Recommended values of the remaining factors

4.2 從標準商載點擴充商載航程圖

對式(18)和式(19)計算商載航程圖的準確性進行驗證。選用以下幾個機型，獲取標準商載(SPL)及其對應的航程(DR)、最大起飛重量、最大商載(MPL)、使用空機重量和最大燃油重量后，通過式(11)計算得到效率因子，擴充出飛機的商載航程圖，并與官方手冊中的商載航程圖進行對比，其中數據來源于波音的飛機特性與機場計劃手冊(ACAP)[13-14]和空客的飛機特性手冊(AC)[15-16]。輸入參數列在表2中，計算得到的效率因子列在表3中，商載航程圖對比見圖7。

表2 各機型的基本輸入參數Table 2 Basic input parameters of each aircraft

表3 通過標準商載點計算的巡航效率因子Table 3 Cruise efficiency factors calculated from SPL point

圖7 擴充得到的SPL商載航程圖與飛機ACAP手冊中商載航程圖的對比Fig.7 Comparison between payload-range diagram expanded from SPL point and extracted from ACAP manual

可見，通過標準商載點反算出效率因子后，采用式(18)和式(19)擴充出的商載航程圖對窄體客機和寬體客機都具有較好的準確度，右邊界線各拐點的航程誤差在2%以內。對航程較遠的機型，該方法的準確度會更高。

5 本文方法在飛機方案設計中的應用

經過以上推導、分析和驗證，本文建立了一種通過極少量的輸入參數即可求解出飛機商載航程圖的方法，在方案初期就能對飛機整體的商載航程能力進行快速計算、評估，優(yōu)化航程指標。

在方案設計中，尤其在設計航程指標還未確定時，飛機整體的商載航程能力較為模糊。在飛機的運營使用中，商載和執(zhí)飛航線的航程實際表現為以商載航程圖為包線的離散點，飛機的商載航程圖整體能否比競爭機型更滿足客戶需求或者更適合目標市場并不能單從設計航程指標反映。

在指標制定過程中，當選定某一設計航程時，通過方案設計估算方法確定最大起飛重量和使用空機重量后，只需輸入標準商載、設計航程、最大起飛重量、使用空機重量、最大商載和最大燃油重量，即可使用本文方法快速求解出商載航程圖。將商載航程圖與競爭機型在目標市場的實際運營數據進行對比，通過數據分析手段可以評估飛機的商載航程能力對競爭機型及目標市場區(qū)域的覆蓋情況，如圖8所示，其中運營數據點來自2015年的美國BTS T100數據，每點代表月平均值，僅供示例。根據飛機的設計定位和市場需求，調整商載航程圖邊界線的位置。圖8示意的調整最大商載和最大燃油重量限制線，用以檢驗飛機的最大商載、最大商載航程和最大燃油重量是否滿足客戶需求，根據本文建立的飛機總體參數與商載航程圖的關系，即可通過解析式得出優(yōu)化后的最大商載航程和最大燃油重量。本文方法還可用于最大起飛重量、使用空機重量、SFC和升阻比的敏感性分析。采用本文方法，可實現基于目標市場需求的飛機商載航程能力設計和指標制定，有助于設計方案以市場需求為導向的快速迭代和設計指標的合理優(yōu)化。

圖8 基于市場運營點優(yōu)化商載航程能力設計示例Fig.8 Optimization of payload-range capability using market operation points

6 結 論

1) 推導了商載航程圖邊界線的解析方程，建立了飛機總體參數與商載航程圖的數學關系。

2) MTOW不影響商載航程圖MFW限制線，僅影響MTOW限制線；OEW不影響商載航程圖MTOW限制線和MFW限制線的斜率值，OEW變化只造成2條限制線的平移；MFW不影響MTOW限制線，只改變MFW限制線的位置和斜率。

3) 升阻比和SFC通過巡航效率因子影響商載航程圖，升阻比越大，SFC越小，巡航效率因子越小，相同重量條件下的商載航程圖MTOW限制線斜率值越小。

4) 建立了商載航程圖解析表達式的應用方程，提出一種應用于飛機方案階段初期，通過少量總體參數即可從標準商載點出發(fā)求解飛機商載航程圖的方法，并經驗證求解結果準確度較好。

5) 本文方法可應用于飛機方案階段MTOW、OEW、MFW等特征重量指標和航程指標的評估和制定，并在方案早期實現飛機商載航程能力的設計。