王爽 孫江 于雁云

三維有限元法作為生物力學(xué)的一種重要研究手段，于1973 年被Thresher等[1]首次應(yīng)用于口腔醫(yī)學(xué)。隨后幾十年中有限元法在口腔生物力學(xué)研究中的應(yīng)用越來越廣泛。在正畸領(lǐng)域中，有限元法被廣泛用于模擬正畸力作用下的牙齒移動[2]，分析移動過程中牙周膜的力學(xué)響應(yīng)[3-4]，預(yù)測矯治器作用下的牙周膜應(yīng)力[5-6]等問題中。在口腔修復(fù)領(lǐng)域，有限元法用于評估牙齒在動態(tài)咬合力作用下的力學(xué)響應(yīng)[7]，分析不同種植方案或者種植體對應(yīng)的牙齒及牙槽骨的應(yīng)力，以便于確定生物力學(xué)特性最佳的修復(fù)材料[8]或者確定最佳的修復(fù)方案[9]等。

建立合理的有限元模型是進(jìn)行有限元分析的重要基礎(chǔ)。目前，有限元建模主要包括以下3 種途徑，即基于CT圖像[3-4,9-10]、基于Micro CT圖像[7]與基于CBCT的建模方法[2,5-6]。CT采用扇形束掃描，空間分辨率相對較低，尤其對細(xì)微結(jié)構(gòu)顯示欠佳，容易產(chǎn)生輻射狀偽影， 所以基于CT建立的有限元模型精度相對較低。Micro CT掃描范圍有限且輻射劑量大，其掃描對象通常僅為離體標(biāo)本或者小動物。CBCT采用錐形束X射線掃描，只需旋轉(zhuǎn)360°即可獲取重建所需的全部原始數(shù)據(jù)，具有輻射量低、各向同性高空間分辨率等優(yōu)勢，在臨床中廣泛應(yīng)用。因此，CBCT相比于CT與Micro CT更適用于口腔臨床的有限元建模?，F(xiàn)有的文獻(xiàn)中，缺少基于CBCT影像的牙齒、牙周膜與牙槽骨有限元建模方法的系統(tǒng)研究。本文提出一種實用的頜骨及牙列三維有限元建模方法，可廣泛用于各種口腔生物力學(xué)有限元分析問題。

1 材料與方法

1.1 材料

選擇1 名牙周健康，牙齒排列整齊，牙列完整的健康男性青年志愿者，采用CBCT(KaVo 3D eXam,美國)進(jìn)行掃描，采集下頜骨及牙齒三維信息獲得DICOM格式數(shù)據(jù)。

1.2 頜骨及牙列三維重建

將DICOM格式數(shù)據(jù)導(dǎo)入Mimics17(Materialise，比利時)軟件中，通過設(shè)置合理的灰度閾值并三維重建，得到由三角面片組成的頜骨及牙列三維模型。圖 1A為灰度閾值取700～4 000三維重建得到的頜骨及牙列整體模型，該模型中包含了牙齒、牙槽骨和牙周膜，但是三者連為一體，無法得到牙齒與牙周膜的邊界、牙周膜與牙槽骨的邊界。由于牙齒、牙槽骨和牙周膜具有不同的物理屬性，有限元分析中需要將三者分離并賦予對應(yīng)的物理屬性。所以，上述方法建立得到的頜骨及牙列整體模型，可以用于臨床中牙齒及牙槽骨的形態(tài)觀察、參數(shù)測量等，但不能直接用于建立有限元模型。不同牙位的牙骨質(zhì)羥基磷灰石含量有一定差異，為了識別出所有牙齒，需要取較大的灰度閾值范圍。同樣牙槽骨的羥基磷灰石含量分布也不均勻，需要設(shè)置較大的灰度閾值范圍才能識別出所有牙槽骨。同時，牙骨質(zhì)和牙槽骨皮質(zhì)羥基磷灰石含量接近，CBCT圖像上反差相對小，因此二者的灰度閾值范圍存在較大重疊，無法單純通過設(shè)置灰度閾值范圍將二者分離。如圖 1B所示為灰度閾值取1 300～4 000的三維重建結(jié)果，模型中磨牙的牙根由于灰度閾值下限較高而缺損，但是模型中仍然包含大量的牙槽骨。

1.3 牙列三維建模

牙齒三維建模的核心問題在于從牙槽骨中識別出牙根，識別牙根的關(guān)鍵在于灰度閾值的設(shè)置。令某顆牙齒牙骨質(zhì)灰度閾值范圍為[LT,UT]，對應(yīng)牙位牙槽窩處牙槽骨灰度閾值范圍為[LA,UA]，通常情況下，LT>UA。識別牙齒時灰度閾值下限應(yīng)取LT與UA中間的值，以識別出牙齒的外表面。LT與UA沒有固定標(biāo)準(zhǔn)，其取值因人而異，且同一人不同牙位處的值也存在較大差異。因此建模中需要根據(jù)經(jīng)驗，通過數(shù)次嘗試確定各類牙齒LT與UA中間的值，以確定識別牙齒時的灰度閾值下限。必要時需要針對不同牙位的牙齒設(shè)置不同的灰度閾值進(jìn)行三維建模。

A: 灰度取值700～4 000； B: 灰度取值1 300～4 000圖 1 灰度閾值范圍取700～4 000與1 300～4 000對應(yīng)的三維模型A: Gray threshold value of 700-4 000; B: Gray threshold value of 1 300-4 000Fig 1 Three dimensional models for gray threshold value of 700-4 000 and 1 300-4 000 respectively

將三維重建得到的三維模型保存為.stl格式文件。應(yīng)用Geomagic Warp 2015軟件(Raindrop，美國)打開并編輯.stl文件。牙齒三角面片與牙槽骨三角面片存在大量的連接關(guān)系，不能簡單通過區(qū)域擴(kuò)張等方式將二者分離。牙齒與牙槽骨交線處，二者三角面片的法向存在明顯的差異，因此可以通過設(shè)置相鄰單元法向角差值閾值，識別出牙齒三角面片，并刪除其余三角面片。然后修補(bǔ)缺損的牙齒面片，刪除尖角、凹陷等表面特征，得到牙齒整體模型。

經(jīng)過上述方式建立的牙齒整體模型中相鄰牙齒在牙冠處相連。雖然可認(rèn)為各牙齒的物理屬性相同，但是有限元模型中必須將其分離才能在有限元分析中得到正確的力學(xué)響應(yīng)。單顆牙齒中相鄰單元的法向量差異較小，而相鄰牙齒在交線處法向量有明顯差異。通過設(shè)置相鄰單元法向角差值閾值，將相鄰牙齒分離，然后借助于填充孔等方法修復(fù)分離牙齒導(dǎo)致的孔，得到完整的單顆牙齒模型。將所有牙齒分離并修復(fù)后得到牙列模型。

1.4 牙槽骨與牙周膜三維建模

牙槽骨內(nèi)部骨松質(zhì)存在大量的骨小梁，骨表面解剖結(jié)構(gòu)復(fù)雜，凹凸不平致使骨密度不均，在三維重建過程中，難免出現(xiàn)大量不規(guī)則的尖角形狀。含有不規(guī)則形狀的三維模型在有限元網(wǎng)格劃分時可能產(chǎn)生低質(zhì)量單元，甚至導(dǎo)致網(wǎng)格劃分失敗。因此，用于有限元分析的三維模型應(yīng)當(dāng)在不影響頜骨及牙列力學(xué)特性的前提下進(jìn)行必要的簡化，去掉尖角、凹陷等特征。先通過設(shè)置相鄰單元法向角差值閾值識別牙槽骨外表面，刪除牙槽骨外表面的多余特征，通過填充方式將牙槽窩處的孔填平，建立不體現(xiàn)牙槽窩、骨松質(zhì)的牙槽骨整體模型。

識別牙槽骨松質(zhì)與骨皮質(zhì)分界面，采用刪除特征、填充孔等工具，在不對模型精度造成過大影響的前提下，將分界面修復(fù)成一張相對光順的三角面片曲面，得到牙槽骨松質(zhì)模型。利用三角面片模型的布爾減運算，從牙槽骨整體模型中扣除牙槽骨松質(zhì)模型，得到不體現(xiàn)牙槽窩的牙槽骨皮質(zhì)模型。牙槽骨松質(zhì)模型與牙槽骨皮質(zhì)模型構(gòu)成不體現(xiàn)牙槽窩的牙槽骨整體模型。

受限于CBCT的分辨率，當(dāng)前硬件與軟件條件下不能從CBCT的DICOM格式數(shù)據(jù)中直接識別出牙周膜。因此本研究中假定牙周膜厚度均勻(取0.25 mm)。首先，將牙列模型沿各頂點的法向向外側(cè)偏移0.25 mm，得到牙齒向外偏移模型。利用三角面片模型的布爾干涉運算，計算牙槽骨整體模型與牙齒向外偏移模型的交集，得到牙槽窩模型(其中包含牙周膜)。通過布爾減運算從牙槽窩模型中扣除牙列模型，得到牙周膜模型。利用布爾減運算從牙槽骨整體模型中扣除牙齒向外偏移模型，得到牙槽骨模型。

1.5 三維建模流程及其優(yōu)點

前面所述的牙齒、牙周膜與牙槽骨的三維建模流程可由圖 2更清晰表達(dá)。該建模方法可以完成上頜、下頜的牙齒、牙周膜與牙槽骨模型的建立。

圖 2 牙齒、牙周膜與牙槽骨的建模流程圖Fig 2 Modeling procedure chart for tooth, periodontal ligament and alveolar bone

上述流程中涉及到的布爾減運算、布爾干涉運算是指三角面片的布爾運算，其運算結(jié)果仍然為三角面片模型，其中不涉及任何三維實體相關(guān)運算。由于牙周膜、牙槽窩模型均通過布爾運算得到，所以牙齒與牙周膜、牙周膜與牙槽骨在分界面處的三角面片劃分相同，可有效保證有限元模型中牙齒與牙周膜、牙周膜與牙槽骨連接關(guān)系的正確性。采用上述方法，建立圖 1對應(yīng)牙齒與牙周膜的模型如圖 3A所示，牙槽骨模型如圖 3B所示，下頜骨及牙列整體模型如圖 3C所示。

A:牙齒及牙周膜； B：牙槽骨； C：整體圖 3 牙齒與牙周膜、牙槽骨及整體的三維模型A: Periodontal ligament; B: Alveolar bone; C: Entire modelFig 3 Three dimensional models for tooth, periodontal ligament, alveolar bone and the entire model

2 結(jié) 果

應(yīng)用圖 2所示流程建立牙齒、牙周膜與牙槽骨的三角面片模型。有限元分析需要基于牙齒、牙周膜與牙槽骨的體網(wǎng)格完成，因此需要對牙齒、牙周膜及牙槽骨三角面片模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到體網(wǎng)格，建立有限元模型。

2.1 三角面片網(wǎng)格優(yōu)化

以三角面片的最小內(nèi)角為25°作為約束對三角面片模型重新網(wǎng)格劃分，以提高三角面片模型的質(zhì)量。由于牙周膜厚度取為0.25 mm，三角面片模型中網(wǎng)格的最大邊長設(shè)置為0.5 mm，以保證體網(wǎng)格質(zhì)量。重劃網(wǎng)格時，應(yīng)注意使牙槽骨與牙周膜接觸面、牙周膜與牙齒接觸面的網(wǎng)格劃分一致，即通過共節(jié)點的方式建立牙槽骨與牙周膜、牙周膜與牙齒之間的正確連接關(guān)系。

2.2 體網(wǎng)格劃分原則

理論上，六面體網(wǎng)格相比于四面體網(wǎng)格具有更高的計算精度。但是由于三維模型采用三角面片表達(dá)，無法在三角面片的基礎(chǔ)上劃分六面體單元，所以需要將其劃分為四面體單元。選擇10節(jié)點二次四面體網(wǎng)格，可實現(xiàn)通過較少的單元獲取較高的計算精度。

對于一個成年人的牙槽骨與牙齒模型，如果采用等邊長網(wǎng)格劃分方案，即使邊長取三角面片邊長0.5 mm，體網(wǎng)格的規(guī)模將達(dá)到數(shù)百萬量級，有限元模型的自由度總數(shù)可超過千萬。上述問題對于普通的臺式計算機(jī)求解十分困難。有限元分析的重點關(guān)注區(qū)域是牙周膜及其相連區(qū)域的牙齒與牙槽骨，加大非重點關(guān)注區(qū)域的網(wǎng)格尺寸對有限元計算結(jié)果不會造成影響。因此，在劃分體網(wǎng)格時，不限制單元的最小邊長，將四面體單元最小內(nèi)角不小于25°作為約束條件，這樣可保證牙周膜、牙周膜附近的牙齒與牙槽骨劃分為細(xì)網(wǎng)格，其他區(qū)域劃分為粗網(wǎng)格，在確保計算精度的同時有效降低模型的規(guī)模。同時，由于牙齒與牙周膜接觸面、牙周膜與牙槽骨接觸面的三角面片頂點網(wǎng)格劃分一致，所以基于三角面片劃分得到的四面體單元在上述兩個接觸面處滿足網(wǎng)格一致性。采用上述原則，建立圖 3所示牙齒、牙周膜有限元模型如圖 4A、 4B所示，整體模型如圖 4C所示。模型的節(jié)點總數(shù)為299286，牙齒單元數(shù)為105805，牙周膜單元數(shù)為122427，牙槽骨單元數(shù)為577529。

A: 牙齒； B： 牙周膜； C： 整體圖 4 牙齒、牙周膜及整體有限元模型A: Periodontal ligament; B: Alveolar bone; C: Entire modelFig 4 Finite element model for tooth, periodontal ligament and mandible with full dentition

3 討 論

本文提出一種基于CBCT影像資料的頜骨、牙周膜及牙列的有限元建模方法，該法可以針對臨床患者建立個性化的高質(zhì)量全口牙齒、牙周膜及牙槽骨有限元模型，以便于針對臨床具體問題進(jìn)行生物力學(xué)分析，為精準(zhǔn)醫(yī)療提供理論基礎(chǔ)。該法適用于口腔生物力學(xué)中的正畸、修復(fù)及牙周治療等臨床問題，也可用于上述問題的學(xué)術(shù)與科學(xué)研究，具有良好的通用性。

本文提出的頜骨及牙列有限元建模方法中，有限元網(wǎng)格劃分前的所有三維操作均基于三角面片模型完成?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中建立牙齒及牙槽骨模型通常基于邊界表達(dá)法(Boundary Representation，BRep)的三維實體模型完成，即在構(gòu)造牙齒、牙槽骨的表面模型之后，將其擬合為NURBS曲面，依據(jù)NURBS曲面構(gòu)造BRep實體模型。對BRep實體模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，得到有限元模型[5-6，10]。傳統(tǒng)方法存在明顯的缺點。首先，將三角面片模型擬合為NURBS曲面模型時，擬合效率受限于曲面算法與曲面邊界的選取，如果曲面較復(fù)雜或者輪廓線選取不當(dāng)，會導(dǎo)致曲面擬合失敗。其次，在對BRep實體進(jìn)行布爾干涉、布爾減操作時，容易產(chǎn)生距離較近的點或者線。這些近距離的點、線對于三維顯示沒有影響，但是會給有限元網(wǎng)格質(zhì)量造成不利影響，甚至導(dǎo)致網(wǎng)格劃分失敗。所以，傳統(tǒng)的方法主要適用于單牙模型的建立[3，8，10]，或者相對簡單、精度要求不高的牙列及牙槽骨建模[4-5，9]。本文提出的方法中三維模型采用三角面片模型，因為避免了NURBS曲面構(gòu)建、NURBS實體縫合和BRep實體網(wǎng)格劃分等問題，因此效率更高、容錯性更強(qiáng)、三維模型更為精確且適用范圍更廣。