熊偉騰，范金娟，王云英，肖淑華

(1. 南昌航空大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，南昌 330063；2.中國(guó)航發(fā)北京航空材料研究院，北京 100095)

0 引言

斷口是試樣或零件在試驗(yàn)或者使用過(guò)程中發(fā)生斷裂(或形成裂紋后打斷)所形成的斷面。它以形貌特征記錄了材料在載荷和環(huán)境作用下斷裂前的不可逆變形，以及裂紋的萌生和擴(kuò)展直至斷裂的全過(guò)程。斷口學(xué)就是通過(guò)定性和定量分析來(lái)識(shí)別這些特征，并將它與發(fā)生損傷乃至最終失效的過(guò)程聯(lián)系起來(lái)，找出與失效相關(guān)的內(nèi)在或外在原因的科學(xué)技術(shù)。但是，現(xiàn)代的斷裂分析還基本停留在以斷口的定性分析為主的階段[1]。隨著斷口分析的不斷深入，有學(xué)者研究了特定材料斷口特征隨條件改變的變化規(guī)律，得出了材料在特定環(huán)境下的定量分析方法[2-4]，其中含有基于分形理論定量分析的方法。

基于分形理論定量分析材料斷口，即利用分形維數(shù)對(duì)材料斷口進(jìn)行標(biāo)定或是計(jì)量，以達(dá)到對(duì)材料斷口定量描述的目的[5]。眾多基于分形理論研究材料微觀結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，分形維數(shù)是分形理論中最重要的參數(shù)，材料斷裂位置的微觀結(jié)構(gòu)具有分形特征，可以利用分形維數(shù)對(duì)復(fù)雜斷口微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行定量描述[6-7]。材料斷口的微觀結(jié)構(gòu)與分形幾何結(jié)構(gòu)相似，把材料斷口近似為分形結(jié)構(gòu)并轉(zhuǎn)化為分形圖形，計(jì)算出分形圖形的分形維數(shù)，并與材料斷裂的參數(shù)聯(lián)系，便可建立分形維數(shù)與材料斷裂參數(shù)之間的關(guān)系；一旦建立正確關(guān)系，就可直接從材料破壞之后的斷口分形維數(shù)推測(cè)材料的斷裂性質(zhì)，這對(duì)于材料失效分析具有重要意義。

1 分行維數(shù)理論基礎(chǔ)

1.1 分形理論的起源和定義

Mandelbrot于1967年在Science上發(fā)表了題為《英國(guó)海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)？統(tǒng)計(jì)自相似和分形維數(shù)》的著名論文，提出了海岸線(xiàn)在形貌上具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，屬于隨機(jī)分形圖像，并利用碼尺法測(cè)量出了幾個(gè)國(guó)家海岸線(xiàn)的分形維數(shù)[8]，隨后于1982年提出了分形的定義，定義包括2個(gè)部分：

1)滿(mǎn)足式(1)條件的集合A，稱(chēng)為分形集。其中Dim(A)為集合A的分維數(shù)，dim(A)為其拓?fù)渚S數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，Dim(A)是分?jǐn)?shù)。

Dim(A)>Dim(A)

(1)

2)部分與整體以某種形式相似的形，稱(chēng)為分形。

1.2 分形維數(shù)及計(jì)算原理

維數(shù)是空間理論的基本概念，指的是數(shù)學(xué)中獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目；分形維數(shù)則是描述分形形體的維數(shù)。分形維數(shù)也是維數(shù)，但是與經(jīng)典維度認(rèn)知不同，分形維數(shù)并不以整數(shù)形式存在，而是以分?jǐn)?shù)形式存在，甚至是無(wú)理數(shù)的形式存在。分形維數(shù)能夠反應(yīng)復(fù)雜形體占有空間的有效性，度量復(fù)雜形體的不規(guī)則性，所以大部分實(shí)驗(yàn)采用分形維數(shù)作為分形參數(shù)。

分形實(shí)驗(yàn)的研究對(duì)象所處的維度不同，則研究對(duì)象的分形數(shù)值(分形維數(shù))范圍不同。當(dāng)研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處于二維平面時(shí)，研究對(duì)象的空間維度為2，則分形維數(shù)范圍在1～2之間；當(dāng)研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處于三維空間時(shí)，研究對(duì)象的空間維度為3，則分形維數(shù)值范圍在2～3之間(處在同一條線(xiàn)段上的自相似點(diǎn)集，分形維數(shù)值范圍在0～1之間。由于自然分形實(shí)驗(yàn)研究中很少出現(xiàn)此類(lèi)集合，所以較少考慮分形維數(shù)在0～1之間的實(shí)驗(yàn)情況)。

由于研究對(duì)象不同，測(cè)量分形維數(shù)的基本單位也不一樣。有規(guī)分形圖形的分形維數(shù)計(jì)算公式為：

(2)

式中：ε是測(cè)量的基本長(zhǎng)度，研究對(duì)象處于一條直線(xiàn)上時(shí)，基本測(cè)量單位是ε的線(xiàn)段；研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處在二維平面時(shí)，基本測(cè)量單位是ε2的正方形；研究對(duì)象形貌結(jié)構(gòu)處于三維空間時(shí)，基本測(cè)量單位是ε3的正方體。Nε是用基本單位覆蓋被測(cè)形體所得的數(shù)目，最后通過(guò)求極限，得出分形維數(shù)D。對(duì)于隨機(jī)分形圖形，可用不同的近似方法進(jìn)行計(jì)算，也可用一定的適當(dāng)方法進(jìn)行計(jì)算[9]。

1.3 分形特征圖形

分形理論的研究對(duì)象即為分形圖形，分形特征圖形分為有規(guī)分形圖形和隨機(jī)分形圖形[10]。有規(guī)分形圖形嚴(yán)格遵循分形定義，即曲線(xiàn)具有局部與整體相似構(gòu)造，比較典型的有規(guī)分形圖形有康托爾集合(Cantor三分點(diǎn)集)、科赫Koch曲線(xiàn)、Sierpinski三角形等。

Cantor三分點(diǎn)集是由德國(guó)數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾引入的處在同一條線(xiàn)段上點(diǎn)的集合(圖1a)，康托爾集合的分形維數(shù)為0.631 0；Koch曲線(xiàn)是由瑞典數(shù)學(xué)家科赫設(shè)計(jì)的與雪花邊緣類(lèi)似的曲線(xiàn)(圖1b)，Koch曲線(xiàn)的分形維數(shù)為1.261 8；Sierpinski三角形是波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基提出的，是自相似集比較典型的例子(圖1c)，Sierpinski三角形的分形維數(shù)為1.585 0。

隨機(jī)分形圖形是指符合統(tǒng)計(jì)意義的自相似圖形，局部和整體不是嚴(yán)格自相似，并且測(cè)得分形維數(shù)只存在于無(wú)標(biāo)度域。可以理解，利用不同的測(cè)量單位測(cè)量有規(guī)分形圖形，并利用式(1)求出極限，便可求得分形維數(shù)，分形維數(shù)值不會(huì)隨著測(cè)量單位ε的大小變化而變化；而測(cè)量隨機(jī)分形圖形時(shí)，變化測(cè)量單位的大小，分形維數(shù)并不呈現(xiàn)為單一數(shù)值，而是呈現(xiàn)出一定范圍內(nèi)波動(dòng)特征，所以對(duì)測(cè)量單位和測(cè)量結(jié)果進(jìn)行數(shù)值擬合，便可在無(wú)標(biāo)度域內(nèi)得出統(tǒng)計(jì)計(jì)算下的分形維數(shù)[2,9]。在自然分形中，隨機(jī)分形比較常見(jiàn)，例如海岸線(xiàn)、大地震裂紋、人體血管、雪花、樹(shù)葉，都可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)分形圖形。比較典型的隨機(jī)分形圖形及雪花原型見(jiàn)圖2。

有規(guī)分形圖形和隨機(jī)分形圖形都用來(lái)描述分形幾何形體，差別在于：有規(guī)分形圖形所描述的是嚴(yán)格自相似圖形，多運(yùn)用于數(shù)學(xué)分形研究；隨機(jī)分形圖形描述的是統(tǒng)計(jì)意義上的自相似分形形體，多運(yùn)用于自然分形研究。材料斷口上某些特征形貌符合統(tǒng)計(jì)意義上的自相似，所以可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，將其特征形貌轉(zhuǎn)化為隨機(jī)分形圖形，并對(duì)其進(jìn)行研究。

2 斷口分形維數(shù)測(cè)量方法

大部分材料的斷口表面具有分形特征，具有分形特征的斷口表面可以利用分形維數(shù)對(duì)其標(biāo)定。斷口分形維數(shù)測(cè)量主要包括2個(gè)過(guò)程：斷口分形特征形貌的提取過(guò)程和隨機(jī)分形圖形的維數(shù)計(jì)算過(guò)程。提取過(guò)程為提取具有分形特征的斷口形貌，將形貌數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為二維或三維的隨機(jī)分形圖形；計(jì)算過(guò)程為計(jì)算轉(zhuǎn)化后的隨機(jī)分形圖形的分形維數(shù)。以常見(jiàn)的幾種斷口分形維數(shù)測(cè)量方法為例，描述各測(cè)量方法的優(yōu)缺點(diǎn)并綜述其研究進(jìn)展。

2.1 小島法

1984年，Mandelbrot提出利用小島法測(cè)量金屬斷口[11-12]。實(shí)驗(yàn)提出金屬斷口具有統(tǒng)計(jì)自相似性，金屬斷口表面可以發(fā)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展往往是按Z字形狀前進(jìn)的，每一步都是不規(guī)則、大小不等、方向不一，而且在大的Z字形通道上套有小的Z字形通道、整個(gè)裂紋路徑形成多層次結(jié)構(gòu)[8]，并采用小島法測(cè)量金屬斷口的分形維數(shù)。其實(shí)驗(yàn)流程是：利用真空鍍膜技術(shù)在金屬斷口表面鍍一層鎳，然后平行于斷口平面進(jìn)行拋光，斷口凸出部分被拋光發(fā)亮，稱(chēng)作為島；把磨拋后的斷口放置在體視顯微鏡下觀察拍照，由于鍍鎳層顏色為暗色，區(qū)別了光亮的磨拋部分；對(duì)磨拋后的斷口圖片進(jìn)行評(píng)定，測(cè)量出斷口上所有島的面積和周長(zhǎng)；取固定的磨拋深度，重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)。測(cè)量出多組島的面積和周長(zhǎng)符合式(3)。

(3)

式中，Ld為島的周長(zhǎng)，S為島的面積，D為分行維數(shù)，K為常數(shù)。式中兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到：

logLd=K+1/2DlogA

(4)

制作logA-logLP曲線(xiàn)，通過(guò)線(xiàn)性回歸分析，求出擬合直線(xiàn)的斜率，得出分形維數(shù)D。

隨著小島法的提出，眾多學(xué)者便利用小島法對(duì)材料斷口進(jìn)行深入探究。早期的小島法測(cè)量分形維數(shù)流程簡(jiǎn)單，即多次磨拋-多次測(cè)量-計(jì)算分形維數(shù)。但是也有諸多不足之處：磨拋試樣的力度和角度不好掌握，磨拋過(guò)程繁瑣；實(shí)驗(yàn)需要多次磨拋和測(cè)量，實(shí)驗(yàn)流程的重復(fù)性高，容易出錯(cuò)；需要對(duì)斷口進(jìn)行磨拋，破壞了金屬斷口，無(wú)法重復(fù)實(shí)驗(yàn)；由式(4)可以看出，磨拋尺度越小，logA-logLP曲線(xiàn)的數(shù)據(jù)點(diǎn)越多，線(xiàn)性回歸計(jì)算值越精確，即為了求得精確的分形維數(shù)，對(duì)磨拋精度要求十分高；在一般的計(jì)算條件下，島的周長(zhǎng)隨島的面積增加而增加，但是測(cè)量時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)截面為環(huán)形島面的情況，即島面中部凹陷[13]。如果測(cè)量中出現(xiàn)環(huán)形小島，測(cè)量中島的面積是減少的，島的周長(zhǎng)是增加的，不符合式(3)中的比例關(guān)系，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)誤差。

針對(duì)小島法需要磨拋的缺點(diǎn)，部分學(xué)者通過(guò)改變測(cè)量方式提高測(cè)試精度。文獻(xiàn)[14]提出將混凝土斷口放置在裝滿(mǎn)有色液體的水箱中(圖3a)，液體覆蓋了斷裂表面的最高點(diǎn)，隨著液體水位的降低，一個(gè)被液體包圍的混凝土島嶼出現(xiàn)了，多次下降液體水位并拍照，通過(guò)照片中島嶼面積和周長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算出混凝土的分形維數(shù)。唐明等[15]采用高強(qiáng)石膏在混凝土斷裂試樣表面復(fù)型，可短時(shí)間內(nèi)獲得相應(yīng)的斷裂表面，并高精度分割和無(wú)破損接觸石膏，達(dá)到測(cè)試目的；此改進(jìn)方法實(shí)現(xiàn)了小島法無(wú)損測(cè)量，彌補(bǔ)了小島法的磨拋精度要求高、需多次磨拋、無(wú)法重復(fù)實(shí)驗(yàn)的不足，但是此方法的測(cè)量精度有待提升。Carney等[16]對(duì)4340號(hào)鋼進(jìn)行拉伸試驗(yàn)，對(duì)拉伸斷口磨拋和電鍍，并在掃描電鏡(BSE)下拍攝磨拋后的斷口形貌；與光學(xué)顯微鏡相比，利用掃描電鏡拍攝的磨拋斷口對(duì)景深要求低，圖像清晰并且測(cè)量精度高。楊揚(yáng)等[17]利用掃描電鏡對(duì)PVC/NBR共混型熱塑性彈性體的混合界面進(jìn)行了拍照(圖3b)，利用Image-Pro Plus圖形分析軟件測(cè)量界面上每個(gè)島的周長(zhǎng)和面積，并通過(guò)式(4)計(jì)算出共混彈性體界面的分形維數(shù)；實(shí)驗(yàn)中采用了圖片分析軟件，使得測(cè)量更為精確和系統(tǒng)，降低了實(shí)驗(yàn)中的偶然誤差。張紹群等[18]通過(guò)三維掃描技術(shù)研究木材斷口的分形特征，利用了白光三維掃描儀對(duì)木材試件斷口進(jìn)行掃描，提取了木材斷口的三維片體模型(圖3c)，再利用UG軟件對(duì)木材斷口進(jìn)行裁截，并計(jì)算出斷口的分形維數(shù)，該方法解決了小島法磨拋尺度嚴(yán)格、需要破壞斷口、不可重復(fù)操作同一斷口的缺陷，并且測(cè)量更為精確和系統(tǒng)。

另外，也有學(xué)者通過(guò)改進(jìn)小島法的計(jì)算方式，提高分形計(jì)算的穩(wěn)定性。穆在勤等[19]在計(jì)算金屬斷口分形維數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)測(cè)量尺碼增加，周長(zhǎng)-面積方法測(cè)得分維有下降趨勢(shì)，并提出了利用周長(zhǎng)-最大直徑的計(jì)算方法測(cè)得分形維數(shù)比較穩(wěn)定，不會(huì)隨著測(cè)量尺碼變化而變化。李啟楷等[20]提出變分辨率碼尺的方法測(cè)量斷口分維，對(duì)比并驗(yàn)證了變分辨率碼尺法優(yōu)于傳統(tǒng)的變碼尺法，利用分辨率碼尺方法在納米尺度測(cè)定了Ti3AlTi-24Al-11Nb合金斷口的分形維數(shù)。

由于拍攝技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的局限，早期采用小島法測(cè)量斷口分形維數(shù)的實(shí)驗(yàn)基本使用磨拋的方式測(cè)量材料斷口磨拋后的“小島”周長(zhǎng)和面積，所以實(shí)驗(yàn)對(duì)象也有其局限性，一般選用硬而韌的材料斷口，例如金屬和混凝土。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷提升，小島法的測(cè)量方式逐漸向無(wú)損測(cè)量、非接觸式的方向改進(jìn)，測(cè)量方式的改進(jìn)使得實(shí)驗(yàn)對(duì)象不再受到局限，例如木材和高分子材料斷口也可采用小島法進(jìn)行測(cè)試。同時(shí)，小島法維數(shù)計(jì)算方式的改進(jìn)提高了分形計(jì)算的穩(wěn)定性和精度，使得小島法測(cè)量材料斷口的分形維數(shù)更為精確。

2.2 垂直截面法

垂直截面法是通過(guò)對(duì)斷口的截面進(jìn)行測(cè)量。首先將材料斷口沿兩個(gè)不同方向垂直剖開(kāi)，得到2條斷口邊界輪廓線(xiàn)，然后利用體視顯微鏡拍攝，最后利用碼尺法測(cè)出斷口輪廓線(xiàn)的分形維數(shù)。碼尺法是利用單位長(zhǎng)度線(xiàn)段度量輪廓曲線(xiàn)，測(cè)出所用線(xiàn)段總數(shù)N(r)。多次改變單位長(zhǎng)度，N(r)隨之而變化，并有關(guān)系式：

Nr=L/r∝r-D

(5)

式中，L為不同段位長(zhǎng)度測(cè)出的曲線(xiàn)總長(zhǎng)度，作lnL-lnr曲線(xiàn)，存在較長(zhǎng)的直線(xiàn)部分，求出直線(xiàn)斜率為1-D，即可求出斷口2個(gè)不同方向垂直截面分形維數(shù)。垂直截面法測(cè)量時(shí)只需對(duì)斷口進(jìn)行數(shù)次裁截，測(cè)量方法相比于小島法更為簡(jiǎn)便，但是垂直截面法存在與小島法類(lèi)似的問(wèn)題，即需要損傷材料的斷口，無(wú)法反復(fù)實(shí)驗(yàn)。并且垂直截面法所截取的是斷口輪廓，僅為斷口的部分形貌特征，測(cè)量的分形維數(shù)不能代替整個(gè)材料斷口，即測(cè)得斷口分形維數(shù)值具有局限性[14]。

垂直截面法在國(guó)外較先使用。文獻(xiàn)[21]在對(duì)4340號(hào)鋼斷口定量分析實(shí)驗(yàn)中，驗(yàn)證了樣品斷口的連續(xù)截面所計(jì)算的分形維數(shù)與斷口各方位截面計(jì)算的分形維數(shù)結(jié)果相近，極大地減少了實(shí)驗(yàn)中對(duì)斷口截面數(shù)量的要求。

儀建章[22]提出了利用斷口粗糙度參數(shù)測(cè)定斷口面分維的方法，以TC11鈦合金斷口為研究對(duì)象，采用對(duì)稱(chēng)截取3個(gè)垂直剖面的方法，得到面分維相對(duì)誤差小于3%；通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬驗(yàn)證后的對(duì)稱(chēng)剖面法降低了實(shí)驗(yàn)所需剖面次數(shù)，提高了實(shí)驗(yàn)效率。吳成寶等[23]利用垂直截面法測(cè)量無(wú)機(jī)粒子填充高分子復(fù)合材料時(shí)提出沿用特征粗糙度[24]的測(cè)量方法，測(cè)量結(jié)果能夠體現(xiàn)顆粒填充高分子復(fù)合材料斷口表面多尺度測(cè)量的標(biāo)度率特征。蔣林根等[25]針對(duì)垂直截面法勞動(dòng)強(qiáng)度大、效率低、測(cè)量結(jié)果受環(huán)境影響較大的缺點(diǎn)，開(kāi)發(fā)了斷面分形維數(shù)測(cè)算系統(tǒng)，且對(duì)垂直截面法測(cè)算的分形維數(shù)結(jié)果可靠性進(jìn)行了測(cè)算，為材料斷面分形維數(shù)的測(cè)量提供了準(zhǔn)確、快速的計(jì)算方法。豐杰等[26]認(rèn)為斷口實(shí)際分形維數(shù)在2～3之間，所以利用垂直截面法測(cè)量不銹鋼拉伸斷口分形維數(shù)時(shí)采用截面約定法[27]，計(jì)算出斷口的分形維數(shù)，測(cè)算結(jié)果為體分形維數(shù)(維數(shù)值在2～3之間)。

早期實(shí)驗(yàn)中，垂直截面法和小島法類(lèi)似，都需要破壞實(shí)驗(yàn)斷口進(jìn)而達(dá)到實(shí)驗(yàn)的目的，但是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，小島法逐漸采用無(wú)損檢測(cè)的方式測(cè)量斷口分形維數(shù)，而垂直截面法鮮有采用無(wú)損測(cè)量(拍攝斷口垂直截面)的方式測(cè)量。并且垂直截面法的測(cè)量對(duì)象為三維斷口形貌，而大部分分形實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果為面分形維數(shù)(維數(shù)值在1～2之間)，測(cè)量結(jié)果并不能反映研究對(duì)象的真實(shí)維數(shù)，即使部分分形實(shí)驗(yàn)中采用截面約定法測(cè)量的分形維數(shù)值在2～3之間，但截面約定法為歐式幾何中的概念，移植到分形幾何中需要一定的條件[28]，不具有普適性。

2.3 計(jì)盒維數(shù)法

計(jì)盒維數(shù)法是利用掃描電鏡對(duì)斷口表面進(jìn)行拍攝，然后對(duì)拍攝的圖像先后進(jìn)行裁剪、灰度處理、二值化處理，得到二值化圖片后利用Matlab軟件編程提取分形曲線(xiàn)，再利用Matlab軟件計(jì)算出分形維數(shù)。計(jì)盒維數(shù)法的計(jì)算過(guò)程是利用封閉的正方盒子覆蓋被測(cè)物體表面的二維掃描電鏡圖片，正方盒子邊長(zhǎng)為1/2n，計(jì)算出覆蓋被測(cè)物體的盒子個(gè)數(shù)M，被測(cè)物體的盒維數(shù)Db為：

(6)

由于計(jì)盒維數(shù)法是利用掃描電子顯微鏡拍攝斷口，得到二維的斷口圖像，轉(zhuǎn)化為分形圖形并計(jì)算得出的分形維數(shù)范圍在1～2之間，斷口是三維結(jié)構(gòu)，維數(shù)值應(yīng)該在2～3之間，即傳統(tǒng)的計(jì)盒維數(shù)法采集斷口時(shí)缺少深度信息，所測(cè)得斷口維數(shù)并非斷口真實(shí)維數(shù)。

為了解決計(jì)盒維數(shù)法缺少深度信息的缺陷，眾多學(xué)者提出了解決方案，常見(jiàn)的解決方法是利用三維重建技術(shù)和三維掃描技術(shù)獲取三維的斷口模型。

三維重建技術(shù)是利用空間同一物體點(diǎn)在不同的立體環(huán)境下的兩圖像的視覺(jué)差計(jì)算材料的高度，通過(guò)同一物體點(diǎn)在不同視覺(jué)角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出物體的實(shí)際高度。利用掃描電鏡不同角度的拍攝物體同一部位，利用三維重建技術(shù)求出實(shí)際高度，解決了掃描電鏡拍攝物體缺少深度信息的缺陷。王懷文等[29]在三維重建技術(shù)研究的基礎(chǔ)上，利用掃描電鏡三維重建技術(shù)對(duì)巖石斷口進(jìn)行測(cè)量，實(shí)驗(yàn)中主要通過(guò)轉(zhuǎn)換掃描電鏡載物臺(tái)的垂直角度，拍攝同一斷口位置的圖片，再通過(guò)數(shù)據(jù)處理得到斷口的三維重建模型，并計(jì)算出分形維數(shù)。

三維掃描技術(shù)則是通過(guò)儀器的調(diào)焦深度不一，直接獲得不同深度層次的三維斷口模型。隨著拍攝技術(shù)的發(fā)展，逐漸采用三維測(cè)量?jī)x器對(duì)斷口進(jìn)行測(cè)量，分形斷口實(shí)驗(yàn)所用到的三維測(cè)量?jī)x器有激光共聚焦顯微鏡和白光干涉形貌儀。激光表面測(cè)量技術(shù)利用激光對(duì)斷口表面重要區(qū)域進(jìn)行測(cè)距，并把測(cè)量出的三維斷口形貌數(shù)據(jù)導(dǎo)入電腦中并進(jìn)行處理，該技術(shù)測(cè)量的三維斷口數(shù)據(jù)保真性高。劉安中等[30]利用Keyence vk9710激光共聚焦顯微鏡測(cè)量16MnR高溫?fù)p傷后的疲勞斷裂試樣斷口(圖4a)，利用三維處理軟件獲得網(wǎng)格化的三維圖像，并計(jì)算斷口維數(shù)。三維白光干涉表面形貌儀通過(guò)干涉條紋的亮度明暗度測(cè)出樣品相對(duì)高度，也可提取斷口形貌。齊菲[31]采用三維白光干涉表面形貌儀測(cè)量了多種陶瓷材料的三維形貌(圖4b)，并采用三維數(shù)據(jù)處理軟件，利用計(jì)盒維數(shù)法測(cè)量其斷口分形維數(shù)。

隨著測(cè)量的圖形由二維向三維的轉(zhuǎn)變，計(jì)盒維數(shù)法的分維計(jì)算方法也有所改進(jìn)。一般方法是基于二維平面的計(jì)盒維數(shù)計(jì)算方法，劃盒單位由正方形變成立方體，利用基本單位對(duì)三維重建后的斷口覆蓋測(cè)量，最后通過(guò)公式計(jì)算出分形維數(shù)。王懷文等[29]采用的三維計(jì)算方法，首先用邊長(zhǎng)為δ的立方體對(duì)粗糙表面進(jìn)行覆蓋，計(jì)算出邊長(zhǎng)為δ時(shí)覆蓋區(qū)域立方體的個(gè)數(shù)，然后多次改變邊長(zhǎng)δ并測(cè)量，最后采用式(1)計(jì)算出三維斷口數(shù)據(jù)下的分形維數(shù)。

另外，計(jì)盒維數(shù)法的分維計(jì)算方法還有投影覆蓋法。王金安等[32]在不同劃格尺寸下，通過(guò)近似公式計(jì)算出投影網(wǎng)格的總面積，再利用總面積和劃格尺寸的指數(shù)正比關(guān)系可以求出被測(cè)表面的真實(shí)分形維數(shù)。投影網(wǎng)格總面積近似計(jì)算見(jiàn)式(7)，總面積和劃格尺寸的關(guān)系見(jiàn)式(8)。

AT(δ)=(1/2){[δ2+(hak-hdk)2]1/2[δ2+

(hdk-hck)2]1/2+[δ2+(hak-hbk)2]1/2[δ2+

(hbk-hck)2]1/2}

(7)

ATδ∝δ2-Ds

(8)

式中，投影覆蓋法選取的投影區(qū)域?yàn)閍bcd，δ為劃格尺度，AT(δ)為近似計(jì)算粗糙表面的面積，Ds為粗糙表面的分形維數(shù)。

利用計(jì)盒維數(shù)法測(cè)量斷口分形維數(shù)時(shí)不需要接觸材料斷口，相比于小島法和垂直截面法，對(duì)實(shí)驗(yàn)對(duì)象的要求更低，符合測(cè)量條件的材料斷口(斷口表面形貌具有分形特征、斷口表面無(wú)內(nèi)凹面[33]等)都可采用計(jì)盒維數(shù)法對(duì)斷口表面進(jìn)行測(cè)量；并且斷口形貌的提取結(jié)果逐漸由二維向三維轉(zhuǎn)變，激光共聚焦顯微鏡、白光干涉形貌儀拍攝或掃描電鏡三維重構(gòu)技術(shù)提取的結(jié)果都為三維模擬數(shù)據(jù)。另外，斷口形貌的計(jì)算方式也由早期的二維向三維改進(jìn)，計(jì)算結(jié)果更接近斷口的真實(shí)分形維數(shù)，并且分形維數(shù)測(cè)量模式逐漸轉(zhuǎn)向Matlab編程方式，極大地提高了測(cè)量精度和測(cè)量效率，解決了分形計(jì)算復(fù)雜、重復(fù)性高的缺點(diǎn)。

3 分形實(shí)驗(yàn)研究的注意事項(xiàng)

大多數(shù)材料斷口分形實(shí)驗(yàn)把斷口相關(guān)參數(shù)、材料性能等與分形維數(shù)進(jìn)行聯(lián)系和分析，但是由于分形理論定義廣泛、試樣斷口各異、斷口形貌提取方式和維數(shù)計(jì)算方法多樣，許多分形實(shí)驗(yàn)建立的分形維數(shù)與傳統(tǒng)力學(xué)性能參數(shù)關(guān)系并不一致[35-37]，所以，為了保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性和可比性，避免在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)偶然誤差，則需嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)中可能產(chǎn)生的變量。

首先，需要確定實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)對(duì)象。分形實(shí)驗(yàn)中的實(shí)驗(yàn)對(duì)象為材料斷口，且已有大量材料證得斷口表面包含分形特征，不同材料的斷口形貌存在差異，斷口分形特征也不相同[37-39]。吉曉華[13]在探究焊條熔敷金屬斷口分維與力學(xué)性能關(guān)系時(shí)，以焊芯熔敷金屬的化學(xué)成分、力學(xué)條件為變量，探究其變量和斷口分維的關(guān)系；Wang等[40]綜述多孔金屬材料各項(xiàng)參數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系中，變量包括多孔試樣的孔隙率、試樣斷口產(chǎn)生的力學(xué)條件。即試樣的種類(lèi)、成分、斷口產(chǎn)生條件等不同都能導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生差異，所以需要從斷口參數(shù)上控制可能產(chǎn)生的變量。

其次，需要確保斷口拍攝技術(shù)一致。利用拍攝技術(shù)對(duì)斷口形貌進(jìn)行拍攝時(shí)，需要對(duì)所拍攝斷口的特征區(qū)域、拍攝的放大倍數(shù)、像素等變量進(jìn)行控制。曹睿等[41]提出材料在斷裂過(guò)程中包含了形變、裂紋萌生、裂紋擴(kuò)展、瞬斷階段，每個(gè)階段對(duì)應(yīng)的斷口形貌存在差異，斷口表面包含多種斷裂特征形貌，所以利用單個(gè)分形維數(shù)表達(dá)整個(gè)斷口的表面粗糙度，或者度量斷口表面復(fù)雜程度是不準(zhǔn)確的，所以測(cè)量斷口形貌時(shí)應(yīng)該劃分?jǐn)嗔烟卣鲄^(qū)域；Wang等[40]綜述中提出改變拍攝分形斷口時(shí)的放大倍數(shù)和圖像分辨率，也會(huì)影響材料斷口的分形維數(shù)。即材料的特征區(qū)域、拍攝放大倍數(shù)、圖像分辨率作為分形斷口形貌提取方式能夠改變斷口分形維數(shù)，所以在拍攝斷口形貌前應(yīng)先制定好拍攝方案。

最后，需要對(duì)斷口拍攝數(shù)據(jù)的處理方式進(jìn)行控制。不同的分形特征提取方式和計(jì)算方法測(cè)量同一試樣斷口，得到的分形維數(shù)值往往不可比較，即使同一種提取和計(jì)算方法測(cè)量同一斷口，得到的分形維數(shù)也會(huì)因測(cè)量碼尺大小和無(wú)標(biāo)度區(qū)大小的選取而產(chǎn)生差異[12]。即測(cè)量尺碼和無(wú)標(biāo)度區(qū)域等計(jì)算方式不一也會(huì)導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生差異，所以控制拍攝數(shù)據(jù)的處理方式至關(guān)重要。

4 結(jié)束語(yǔ)

1)隨著斷口分形測(cè)量研究的不斷深入，3種測(cè)量斷口分形維數(shù)的方法都向著非接觸式、非破壞性、測(cè)量簡(jiǎn)單、計(jì)算精確的方向發(fā)展，尤其是計(jì)盒維數(shù)法和小島法，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了無(wú)損測(cè)量方法和編程計(jì)算分維方法。

2)計(jì)盒維數(shù)拍攝方法的改進(jìn)，讓分形材料斷口的測(cè)量幾乎沒(méi)有局限性，且分維計(jì)算結(jié)果更接近斷口真實(shí)分形維數(shù)。正是由于計(jì)盒維數(shù)法和小島法的特性和改進(jìn)，在現(xiàn)代分形維數(shù)測(cè)量方法中，計(jì)盒維數(shù)法的使用率高于小島法，垂直截面法逐漸成為輔助和對(duì)比性測(cè)量方法，所以在測(cè)量材料斷口分形維數(shù)時(shí)，優(yōu)先考慮采用計(jì)盒維數(shù)法。

3)影響分形維數(shù)變化的實(shí)驗(yàn)變量可大致分為斷口的產(chǎn)生條件、分形斷口提取方式、斷口分維計(jì)算方式3大類(lèi)。所以，在分形實(shí)驗(yàn)前，應(yīng)先控制斷口參數(shù)、拍攝方案、拍攝數(shù)據(jù)處理方式等實(shí)驗(yàn)變量，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行分形實(shí)驗(yàn)，可避免部分偶然誤差的產(chǎn)生。