李勇， 劉澤， 趙鵬飛， 霍繼偉， 林陽(yáng)

(北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院, 北京 100044)

鎖相解調(diào)器是一種抗噪能力強(qiáng)、高穩(wěn)定性的微弱信號(hào)檢測(cè)技術(shù)[1-9]，常應(yīng)用于多種檢測(cè)系統(tǒng)[2-4]。一般情況下，微弱信號(hào)往往隱沒(méi)在強(qiáng)噪聲背景當(dāng)中，而且其頻率還會(huì)與諧波交疊在一起。如果不能有效快速地從強(qiáng)噪聲中提取微弱信號(hào)，檢測(cè)系統(tǒng)的性能將會(huì)受到影響。另外，在一些特殊的應(yīng)用場(chǎng)景下，往往還需要考慮其跟蹤信號(hào)變化的特性。比如，在電磁鋼軌探傷的應(yīng)用中，缺陷會(huì)引起感應(yīng)信號(hào)的快速突變，假如不能及時(shí)響應(yīng)跟蹤信號(hào)的突變，則檢測(cè)系統(tǒng)無(wú)法有效地識(shí)別出鋼軌的缺陷[5-6]。而在實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)當(dāng)中，電磁鋼軌探傷往往會(huì)耦合外界復(fù)雜電磁環(huán)境的干擾以及器械運(yùn)動(dòng)引起的干擾，則此時(shí)選擇響應(yīng)速度快的濾波器無(wú)法對(duì)信號(hào)進(jìn)行有效地解調(diào)。由此，兼具實(shí)時(shí)性和強(qiáng)抗噪的數(shù)字鎖相解調(diào)器對(duì)鋼軌探傷工程顯得尤為重要。

根據(jù)數(shù)字鎖相解調(diào)器的原理可知，解調(diào)器的抗噪能力強(qiáng)，響應(yīng)特性主要受限于低通濾波器(LPF)環(huán)節(jié)，而鎖相環(huán)節(jié)僅對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行鎖定移頻，對(duì)其沒(méi)有影響。低通濾波器的系統(tǒng)響應(yīng)是受到其階數(shù)及截止頻率的制約[1,10]。因此，需要選擇合適的階數(shù)及截止頻率優(yōu)化數(shù)字鎖相解調(diào)器的解調(diào)性能。

針對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的優(yōu)化，數(shù)字鎖相解調(diào)器將均值濾波器(AF)作為其低通濾波器[2,11]。根據(jù)文獻(xiàn)[12]中提出的均值濾波器，它是一種最簡(jiǎn)單的有限脈沖響應(yīng)(FIR)低通濾波器，時(shí)域上每一點(diǎn)的系數(shù)相同且等于采樣點(diǎn)的倒數(shù)。信號(hào)在與該均值濾波器進(jìn)行卷積運(yùn)算時(shí)，由于其零點(diǎn)頻率恰好為鎖相移頻后的兩倍頻，所以此時(shí)卷積運(yùn)算結(jié)果為零。對(duì)于均值濾波器的卷積來(lái)說(shuō)，實(shí)際上是一個(gè)累加的過(guò)程，因此相應(yīng)所需的計(jì)算時(shí)間較少，具有很好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。但是，當(dāng)加入強(qiáng)白噪聲時(shí)，解調(diào)器卻無(wú)法準(zhǔn)確地在強(qiáng)噪聲中提取感應(yīng)信號(hào)，其抗噪能力卻變得比較差。

而針對(duì)解調(diào)抗噪能力的優(yōu)化，數(shù)字鎖相解調(diào)利用級(jí)聯(lián)阻容(RC)濾波器作為其低通濾波器[5]。RC濾波器是一種無(wú)限脈沖響應(yīng)(IIR)低通濾波器，其優(yōu)點(diǎn)是可以使用較小的階數(shù)獲得較好的抗噪能力且實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。此外，多個(gè)級(jí)聯(lián)的RC濾波器要比單個(gè)RC濾波器具有更高的抗噪能力。但是在系統(tǒng)的響應(yīng)階段，多個(gè)級(jí)聯(lián)的RC濾波器需要消耗過(guò)多的響應(yīng)時(shí)間，導(dǎo)致動(dòng)態(tài)跟蹤特性很差，從而難以跟蹤突變的信號(hào)變化。

已知狀態(tài)模型和高斯噪聲的前提下，卡爾曼濾波器是統(tǒng)計(jì)意義上最優(yōu)的低通濾波器[13-17]。為了實(shí)時(shí)處理信號(hào)和提高精度，文獻(xiàn)[18-22]將卡爾曼濾波器引入數(shù)字鎖相放大器。文獻(xiàn)[18-20]利用卡爾曼濾波器模型建立了等效的數(shù)字鎖相放大器，以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理信號(hào)準(zhǔn)周期性的信號(hào)，并且在文獻(xiàn)[18]中指出卡爾曼濾波器要比標(biāo)準(zhǔn)低通濾波器更具有優(yōu)勢(shì)；文獻(xiàn)[21]利用傳統(tǒng)鎖相放大器對(duì)信號(hào)解調(diào)后引入卡爾曼濾波器，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的二次濾波，解決了光學(xué)膜厚監(jiān)控系統(tǒng)中經(jīng)鎖相放大輸出的監(jiān)控信號(hào)精度較低、極值點(diǎn)附近變化不靈敏等問(wèn)題；文獻(xiàn)[22]也是將卡爾曼濾波器引入在數(shù)字鎖相放大器之后，對(duì)信號(hào)進(jìn)行二次濾波，并且利用Allan方差進(jìn)行了分析，引入卡爾曼濾波器之后提升了原子磁力儀的靈敏度。

結(jié)合上述均值濾波器響應(yīng)速度快的特點(diǎn)和RC濾波器抗噪能力強(qiáng)的特點(diǎn)，在保證解調(diào)器良好的動(dòng)態(tài)跟蹤情況下進(jìn)一步提高抗噪能力，以實(shí)現(xiàn)快速在線(xiàn)電磁無(wú)損檢測(cè)鋼軌缺陷，本文對(duì)數(shù)字鎖相解調(diào)器的濾波器進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。此外，本文還對(duì)結(jié)合零點(diǎn)頻率特點(diǎn)的卡爾曼濾波器被引入到數(shù)字鎖相放大器中進(jìn)行分析研究，并且給出調(diào)整動(dòng)態(tài)跟蹤特性和抗噪能力的方法。

1 數(shù)字鎖相解調(diào)器原理

如圖1所示，本文引入卡爾曼濾波器的數(shù)字鎖相解調(diào)器與傳統(tǒng)鎖相解調(diào)器一致，主要分為相敏檢測(cè)和卡爾曼濾波器兩部分，S(k)、Srs(k)和Src(k)分別為源信號(hào)、正弦參考信號(hào)和余弦參考信號(hào)，k為當(dāng)前時(shí)刻，H1(z)和H2(z)分別為2個(gè)通道的低通濾波器，z為離散域，R′和I′分別為實(shí)部和虛部的直流項(xiàng)。

圖1 引入卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相解調(diào)器結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of digital phase-locked demodulator with Kalman filter

1.1 相敏檢測(cè)優(yōu)化及分析

根據(jù)文獻(xiàn)[6]中設(shè)計(jì)的電磁傳感器，對(duì)輸入信號(hào)采樣可得離散序列如下：

(1)

式中：N為采樣頻率對(duì)源信號(hào)采樣一個(gè)整周期需要的點(diǎn)數(shù)；A0和θ0分別為源信號(hào)的幅值和相位。由于參考信號(hào)是同頻采樣輸入信號(hào)的相互正交序列，所以參考序列Srs(k)和Src(k)計(jì)算如下：

(2)

根據(jù)正余弦的周期性可知，參考序列滿(mǎn)足：

(3)

(4)

式(3)表明只需要預(yù)先存儲(chǔ)一個(gè)周期的參考序列就可推算任意周期的參考序列。一般情況下，為了獲得精確的結(jié)果，N往往取值很大，即周期參考序列越長(zhǎng)，則相對(duì)于實(shí)時(shí)計(jì)算正余弦參考序列，儲(chǔ)存長(zhǎng)參考序列會(huì)消耗更多的內(nèi)存。但由于CPU直接讀取儲(chǔ)存在內(nèi)存的參考值所需的時(shí)間要小于實(shí)時(shí)計(jì)算參考值所需的時(shí)間，所以在內(nèi)存允許的條件下預(yù)先儲(chǔ)存參考序列會(huì)節(jié)省CPU計(jì)算的時(shí)間。此外，由式(4)可知，Srs(k)和Src(k)可以相互推算出對(duì)方。為了適應(yīng)內(nèi)存相對(duì)不夠的情況下，存儲(chǔ)的參考序列可以只是一個(gè)整周期的Srs(k)或Src(k)，以此優(yōu)化相敏檢測(cè)環(huán)節(jié)。

將輸入的源信號(hào)采樣值與相應(yīng)參考序列相乘得

R(k)=S(k)Srs(k)

(5)

(6)

I(k)=S(k)Src(k)

(7)

(8)

式中：R(k)和I(k)分別為含有交流項(xiàng)和直流項(xiàng)的實(shí)部和虛部。

從式(5)～式(7)中可以看出，相敏檢測(cè)的實(shí)質(zhì)是乘法器，通過(guò)將源信號(hào)與參考信號(hào)相乘使得源信號(hào)的頻譜遷移。相頻譜遷移的結(jié)果向±2π/N方向移動(dòng)。其中，式(6)和式(8)當(dāng)中均含有相互正交的直流項(xiàng)，且該直流項(xiàng)包含了目標(biāo)信號(hào)的幅值和相位等信息。在低通濾波器的作用下，由式(6)和式(8)可得

(9)

則幅值和相位可得

(10)

1.2 低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

時(shí)域上，卡爾曼濾波是一種模型化的參數(shù)迭代估計(jì)方法。結(jié)合鎖相環(huán)節(jié)的分析，低通濾波器的目的是濾除交流部分而獲得直流項(xiàng)。因此，將2個(gè)通道的直流項(xiàng)作為卡爾曼濾波器的狀態(tài)變量,則設(shè)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)變量為

(11)

式中：R′[k]和I′[k]分別為當(dāng)前時(shí)刻雙通道直流項(xiàng)的最優(yōu)估計(jì)值。根據(jù)一階自回歸(AR)模型，則狀態(tài)預(yù)測(cè)方程和其協(xié)方差預(yù)測(cè)方程可以分布表示為

X[k|k-1]=FX[k-1]+W[k-1]

(12)

P[k|k-1]=FP[k-1]FT+Q[k-1]

(13)

式中：F為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，由于在一定時(shí)間內(nèi)狀態(tài)估計(jì)值(即直流部分)保持不變，所以令F等于單位矩陣E；W[k-1]為均值為0，方差為σ2的預(yù)測(cè)白噪聲，也令σ2= 0；Q[k-1]為系統(tǒng)預(yù)測(cè)誤差的方差，即Q[k-1]=qE，q為估計(jì)誤差系數(shù)。

根據(jù)上述可知，獲得實(shí)際測(cè)量值的過(guò)程為：先通過(guò)ADC對(duì)感應(yīng)線(xiàn)圈上模擬信號(hào)采樣得到的離散點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)相敏運(yùn)算后得到雙通道的R[k]和I[k]。目標(biāo)獲取的是兩通道的直流部分，而其他均為交流干擾部分，且兩者相互獨(dú)立不影響。因此，可得觀測(cè)方程為

(14)

(15)

式中：m為序號(hào)；SPSD[k]為雙通道卡爾曼濾波器系統(tǒng)的輸入信號(hào)；V[k]為觀測(cè)模型的測(cè)量噪聲。

由于測(cè)量誤差來(lái)自于ADC采樣的量化誤差以及電路的高斯白噪聲，所以測(cè)量誤差是穩(wěn)定地服從高斯分布。通過(guò)觀測(cè)到的Y[k]對(duì)預(yù)測(cè)值X[k|k-1]和P[k|k-1]進(jìn)行校正，可以得到最優(yōu)的估計(jì)結(jié)果

X[k]=X[k|k-1]+K(Y[k]-X[k|k-1])

(16)

P[k]=(E-K)P[k|k-1]

此時(shí)的周小羽正躲在一邊，躲在李老師的一邊。雖然說(shuō)是躲著，但周小羽的眼神里依然沒(méi)有愧疚的意思。這令常愛(ài)蘭很生氣。常愛(ài)蘭有幾次想伸手拉過(guò)周小羽，或想伸手劈個(gè)耳光過(guò)去的，但終究因?yàn)槔罾蠋熢?，她沒(méi)有伸出手去。

(17)

其中：

K=P[k|k-1](P[k|k-1]+R)-1

(18)

R=E(V[k]VT[k])=rE

(19)

式中：r為測(cè)量誤差系數(shù)；E()為求期望的運(yùn)算符；R為觀測(cè)方程誤差的協(xié)方差，是確定的高斯噪聲且不隨時(shí)間變化；K為卡爾曼增益，決定了預(yù)測(cè)值和測(cè)量值對(duì)實(shí)際最優(yōu)估計(jì)的影響權(quán)值，其值在每次迭代過(guò)程中通過(guò)預(yù)測(cè)協(xié)方差被更新。

2 數(shù)字鎖相解調(diào)器分析與評(píng)估

第1節(jié)中已經(jīng)介紹了引入卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相解調(diào)器的優(yōu)化設(shè)計(jì)。為了驗(yàn)證引入卡爾曼濾波器的數(shù)字鎖相解調(diào)器既能改善解調(diào)速度又能使抗噪能力有所提高，本節(jié)將會(huì)對(duì)卡爾曼濾波器的系統(tǒng)進(jìn)行分析，從而分析討論數(shù)字鎖相解調(diào)器引入卡爾曼濾波器的適用性及穩(wěn)定性，并且進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)以評(píng)估解調(diào)器的速度以及抗噪能力。

2.1 卡爾曼濾波器的系統(tǒng)分析

假設(shè)卡爾曼增益不隨迭代次數(shù)進(jìn)行更新，根據(jù)式(16)，離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示，圖中z-1表示單位時(shí)間延遲。

(20)

式中：i=1和i=2分別表示數(shù)字鎖相解調(diào)器的通道1或通道2。從式(20)可以看出，此時(shí)卡爾曼濾波器已退化成IIR數(shù)字濾波器，而IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)恰好在于可以用較少的計(jì)算量獲得較好的濾波效果。通道i的卡爾曼增益Ki在每次迭代過(guò)程都會(huì)被更新，由此可見(jiàn)卡爾曼濾波器實(shí)際上也是一個(gè)自適應(yīng)的系統(tǒng)。

圖2 卡爾曼濾波器的系統(tǒng)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)Fig.2 Simplified system structure of Kalman filter

由于IIR濾波器其結(jié)構(gòu)存在反饋，所以卡爾曼增益必然需要滿(mǎn)足一定條件才能使得濾波器收斂?？柭鼮V波器的收斂條件根據(jù)卡爾曼濾波器的穩(wěn)定性求得，由式(20)可得卡爾曼濾波器的閉環(huán)特征方程為

1-(1-Ki)z-1=0

(21)

根據(jù)離散系統(tǒng)穩(wěn)定條件：所有閉環(huán)特征根在單位圓內(nèi)，即

|z|=|1-Ki|<1

(22)

則可得濾波器系統(tǒng)穩(wěn)定的卡爾曼增益條件為：0

2.2 卡爾曼濾波器的頻域分析

令z=ejωT代入式(20)，則將卡爾曼濾波器從z域轉(zhuǎn)化成了ω域，即頻域；其中，T為采樣間隔。頻域形式Hi(ω)表示為

(23)

圖3是H1(ω)(僅考慮通道1)在不同增益情況下(01時(shí)，卡爾曼濾波器則不再對(duì)高頻進(jìn)行抑制反而增強(qiáng)，且隨著卡爾曼增益增加而增大；當(dāng)K1=1時(shí)，卡爾曼濾波器是全通濾波器；當(dāng)K1<1時(shí)，卡爾曼濾波器就是低通濾波器，并且低通濾波器的截止頻率隨著卡爾曼增益減少而減小。此外，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可知，當(dāng)卡爾曼濾波是低通濾波器時(shí)，其截止頻率fL為

(24)

式中：fs為采樣頻率。

而根據(jù)式(15)可知，測(cè)量模型SPSD[k]實(shí)際上是對(duì)鎖定后的信號(hào)進(jìn)行平均濾波，因此所設(shè)計(jì)的卡爾曼濾波器具有均值濾波器的性質(zhì)。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，均值濾波器隨著N值的增大，其截止頻率會(huì)趨向于低頻，對(duì)噪聲的抑制能力增強(qiáng)。此外，第1個(gè)零點(diǎn)頻率fm=fs/N，也隨N值增加而減小。由于在零點(diǎn)頻率時(shí)均值濾波器可以將零點(diǎn)頻率抑制為零，所以本文卡爾曼濾波器利用零點(diǎn)頻率的這種性質(zhì)所建立的測(cè)量模型能夠更加有效地濾除交流部分。另外，前面已經(jīng)提到，K1小于1時(shí)，卡爾曼濾波器表現(xiàn)為低通濾波器。從圖4中也可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)頻率是非零點(diǎn)頻率時(shí)，均值濾波器對(duì)噪聲的抑制能力卻不如低通濾波器濾波器(卡爾曼增益K1為0.01時(shí))，尤其是在高頻區(qū)域其抑制的能力明顯弱于卡爾曼濾波器。并且，此時(shí)的低通濾波器其截止頻率要比均值濾波器的截止頻率小很多。因此，以SPSD[k]為測(cè)量模型的卡爾曼濾波器對(duì)噪聲的抗干擾能力更具有優(yōu)勢(shì)。

圖3 不同卡爾曼增益的頻率響應(yīng)Fig.3 Frequency response to different Kalman gains

圖5是卡爾曼濾增益K1在每次迭代過(guò)程中變化的曲線(xiàn)。從圖中可以看出，卡爾曼增益K1隨著迭代次數(shù)Nt下降且最終值與r/q的比值有關(guān)。由于卡爾曼增益隨迭代次數(shù)減小，且卡爾曼增益始終小于1，所以卡爾曼濾波器可以看做是截止頻率隨迭代不斷減小的低通濾波器，即可以通過(guò)不斷實(shí)時(shí)迭代獲得截止頻率更低的低通濾波器。

圖4 IIR低通濾波器和均值濾波器的頻率響應(yīng)Fig.4 Frequency response between IIR low-pass filter and averaging filter

圖5 卡爾曼增益隨迭代次數(shù)的變化Fig.5 Variation of Kalman gain with number of iterations

眾所周知，數(shù)字鎖相解調(diào)器實(shí)質(zhì)上是一帶通濾波器，其中低通濾波器的截止頻率越低則數(shù)字鎖相解調(diào)器的通帶越窄，解調(diào)器的抗噪能力越強(qiáng)。由于迭代次數(shù)持續(xù)增加使得低通濾波器的截止頻率也持續(xù)減小，所以數(shù)字鎖相解調(diào)器的通帶也是隨著迭代次數(shù)不斷變窄的帶通濾波器，其掃頻特性所示如圖6所示。因此，利用卡爾曼濾波器的數(shù)字鎖相解調(diào)器是隨實(shí)時(shí)迭代抗噪能力不斷增強(qiáng)。

圖6 基于卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相解調(diào)器的掃頻特性Fig.6 Frequency sweep characteristics of digital phase-locked demodulator based on Kalman filter

2.3 性能仿真測(cè)試與評(píng)估

引言中已經(jīng)提到了，低通濾波器的響應(yīng)速度和截止頻率是一對(duì)矛盾。均值濾波器的優(yōu)勢(shì)在于快速性，但抗噪能力弱；而RC低通濾波器，其優(yōu)勢(shì)在于抗噪能力強(qiáng)，但響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)、解調(diào)速度慢。在2.2節(jié)已經(jīng)分析指出，卡爾曼濾波器是截止頻率隨著迭代次數(shù)增加而減小的IIR低通濾波器，其具有精度高的優(yōu)勢(shì)，而由于利用均值濾波器零點(diǎn)頻率的性質(zhì)建立了測(cè)量模型，此時(shí)卡爾曼濾波器又具有均值濾波器的特點(diǎn)。因此，本節(jié)將從三者的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和抗噪能力進(jìn)行仿真測(cè)試。

設(shè)仿真時(shí)激勵(lì)信號(hào)的頻率為10 kHz，采樣頻率為320 kHz，即N為32，且其幅值為1 V。另外，表1列出了6種不同情況下的仿真參數(shù)，其中白噪聲是通過(guò)MATLAB的awgn函數(shù)產(chǎn)生并添加在噪聲幅值最大為0.1 V的實(shí)測(cè)正弦信號(hào)。利用均值濾波器、卡爾曼濾波器和級(jí)聯(lián)RC濾波器的數(shù)字鎖相解調(diào)器分別對(duì)不同噪聲的仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行解調(diào)并對(duì)比結(jié)果，如圖7所示。其中，由于卡爾曼濾波器的測(cè)量模型實(shí)際上是對(duì)信號(hào)進(jìn)行平均濾波，即均值濾波器平均點(diǎn)數(shù)和卡爾曼濾波器中式(15)的累加點(diǎn)數(shù)N均設(shè)置為32。

表1 不同噪聲擾動(dòng)大小以及r/q的值Table 1 Different noise disturbance and value of r/q

圖7 不同噪聲下的解調(diào)Fig.7 Demodulation under different noises

根據(jù)圖4可知，均值濾波器的頻率響應(yīng)在N=32時(shí)其截止頻率為4 kHz。從圖7可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)RC濾波器的截止頻率設(shè)置為4 kHz時(shí)，三者的響應(yīng)時(shí)間基本一致，但此時(shí)卡爾曼濾波器的抗噪能力要比級(jí)聯(lián)RC濾波器和均值濾波器的抗噪能力強(qiáng)。也就是說(shuō)，在響應(yīng)時(shí)間一致(即動(dòng)態(tài)跟蹤性能一致)時(shí)，卡爾曼濾波器的抗噪能力是三者中最強(qiáng)的。由于截止頻率高會(huì)降低RC濾波器對(duì)低頻信號(hào)抗擾能力，因此響應(yīng)時(shí)間一致時(shí)RC濾波器時(shí)三者中抗噪能力最差的。但是，當(dāng)RC濾波器的截止頻率減為700 Hz時(shí)，三者的抗噪能力達(dá)到一致，甚至當(dāng)噪聲增加時(shí)比其他2種解調(diào)器強(qiáng)。不過(guò)此時(shí)其響應(yīng)時(shí)間卻變長(zhǎng)至0.002 s，而卡爾曼濾波器的響應(yīng)時(shí)間略微長(zhǎng)于均值濾波器但幾乎一致均遠(yuǎn)小于0.002 s。也就是說(shuō)，相同抗噪能力的同時(shí)，卡爾曼濾波器的動(dòng)態(tài)跟蹤能力與均值濾波器的一致，且優(yōu)于級(jí)聯(lián)RC濾波器。

上述表明利用卡爾曼濾波器的數(shù)字鎖相解調(diào)器其動(dòng)態(tài)跟蹤性能優(yōu)于級(jí)聯(lián)RC濾波器的解調(diào)器，并且其抗噪能力強(qiáng)于均值濾波器的解調(diào)器。根據(jù)圖7可知，卡爾曼濾波器的動(dòng)態(tài)跟蹤性能和抗噪能力跟r/q的比值有關(guān)。通過(guò)調(diào)節(jié)卡爾曼濾波器r/q的比值，抗噪能力會(huì)隨著比值增大而得到改善，不過(guò)卻會(huì)使其響應(yīng)時(shí)間增大。因此，可以通過(guò)調(diào)節(jié)r/q的比值以達(dá)到兼具良好動(dòng)態(tài)跟蹤和抗噪能力的目的。

3 實(shí)驗(yàn)及驗(yàn)證

3.1 在線(xiàn)電磁鋼軌缺陷檢測(cè)實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證引入卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相解調(diào)器的性能，本文利用電動(dòng)平移臺(tái)設(shè)計(jì)了一套在線(xiàn)鋼軌缺陷檢測(cè)系統(tǒng)，并且對(duì)比不同濾波器的數(shù)字鎖相解調(diào)器跟蹤缺陷信號(hào)的結(jié)果。鋼軌裂紋缺陷檢測(cè)系統(tǒng)如圖8所示。圖中，鋼軌試板經(jīng)過(guò)加工，在其中間位置處有一寬為0.01 mm、深為1 mm的橫向裂紋。而傳感器則是采用了文獻(xiàn)[6]中設(shè)計(jì)的電磁線(xiàn)圈傳感器，利用中間線(xiàn)圈激勵(lì)產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，采集前后檢測(cè)線(xiàn)圈的電壓差分信號(hào)。采集模塊則是利用了4路16位、4 MS/s的NI PXle-6124多功能DAQ設(shè)備，在信號(hào)連接器BNC-2120擴(kuò)展下對(duì)線(xiàn)圈的電壓差分信號(hào)進(jìn)行采樣收集。

實(shí)驗(yàn)中，令鋼軌試件固定在平移臺(tái)上，而線(xiàn)圈傳感器則懸浮固定在試件上方不動(dòng)，則試件將隨平移臺(tái)以0.3 m/s速度移動(dòng)與線(xiàn)圈傳感器進(jìn)行相對(duì)運(yùn)動(dòng)。缺陷的位置也設(shè)置在運(yùn)動(dòng)軌跡的中點(diǎn)，并且與試件運(yùn)動(dòng)的方向垂直，即垂直于線(xiàn)圈隊(duì)列。另外，設(shè)置正弦激勵(lì)信號(hào)的頻率為10 kHz，經(jīng)過(guò)模擬放大電路放大后通入中間的激勵(lì)線(xiàn)圈。對(duì)前后兩線(xiàn)圈的感應(yīng)信號(hào)進(jìn)行差分放大，用頻率為320 kHz采樣差分信號(hào)，如圖9所示。

從圖9中可以看出，在未遇到缺陷時(shí)線(xiàn)圈上感應(yīng)的電壓幅值平穩(wěn)，當(dāng)傳感器幾何中心靠近缺陷時(shí)差分感應(yīng)電壓幅值變化為：增大—變小，而當(dāng)傳感器幾何中心離開(kāi)缺陷時(shí)變化為：減小—增大—減小。由于前后線(xiàn)圈的參數(shù)不一致，那么阻抗不平衡且對(duì)缺陷的敏感性也不一致。根據(jù)差分的原理，阻抗不平衡會(huì)導(dǎo)致在沒(méi)有缺陷和缺陷在傳感器中心位置時(shí)差分感應(yīng)電壓不為零。另外，線(xiàn)圈敏感性的差異導(dǎo)致對(duì)缺陷的感應(yīng)幅值也不同。因此，在遇到缺陷時(shí)感應(yīng)電壓的變化不是按照缺陷位置空間對(duì)稱(chēng)。雖然線(xiàn)圈阻抗的不平衡導(dǎo)致沒(méi)有缺陷時(shí)也存在電壓差，但是不影響線(xiàn)圈遇到缺陷時(shí)的變化特征。

圖8 鋼軌缺陷檢測(cè)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)圖Fig.8 Experimental picture of rail defect detection system

圖9 鋼軌裂紋的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.9 Measured data of rail crack

3.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)解調(diào)比較

圖10顯示的是分別引入3種數(shù)字鎖相的解調(diào)器實(shí)時(shí)解調(diào)信號(hào)幅值的結(jié)果，其中3種濾波器的參數(shù)均與表1中編號(hào)2的設(shè)計(jì)參數(shù)相同。從圖10中可以看出，3種解調(diào)器均吻合地跟蹤了信號(hào)的幅值變化。對(duì)比3種解調(diào)器解調(diào)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在初始解調(diào)階段引入卡爾曼濾波器和均值濾波器響應(yīng)時(shí)間小于引入級(jí)聯(lián)RC濾波器的響應(yīng)時(shí)間，這就表明了實(shí)際解調(diào)中卡爾曼濾波器和均值濾波器的動(dòng)態(tài)跟蹤優(yōu)于級(jí)聯(lián)RC濾波器。

另外，從圖10中也可以看出，利用卡爾曼濾波器解調(diào)的幅值是三者中波動(dòng)最小。分別繪制實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和3種解調(diào)結(jié)果的幅頻圖，如圖11所示。從圖11中可知，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的幅頻圖中包含頻率為10 kHz的信號(hào)、直流偏置以及大量高頻干擾噪聲。實(shí)際上，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)幅頻圖中頻率為10 kHz的信號(hào)為電磁線(xiàn)圈檢測(cè)到的的差分感應(yīng)信號(hào)，而其他頻段的均為噪聲干擾。而從經(jīng)過(guò)3種解調(diào)器解調(diào)后的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，3種解調(diào)器解調(diào)后的主要成分均為直流部分，且依然含有的低頻成分。這是因?yàn)榻庹{(diào)器在對(duì)激勵(lì)頻率鎖定濾波后為直流，但是由于缺陷引起了幅值波動(dòng)，因此3種解調(diào)后的幅頻圖中主要分量為直流且低頻段也有部分分量。此外，對(duì)比3種幅頻圖發(fā)現(xiàn)，利用均值濾波器的解調(diào)結(jié)果中低頻段存在大量的毛刺且高頻依然存在一定強(qiáng)度的分量。利用級(jí)聯(lián)RC濾波器的解調(diào)結(jié)果，雖然在其高頻部分光滑無(wú)分量，但是在其低頻部分也依然存在一定強(qiáng)度，尤其在激勵(lì)頻點(diǎn)附近存在較強(qiáng)的分量。而利用卡爾曼濾波的解調(diào)結(jié)果幾乎不存在高頻分量，同時(shí)其低頻部分也非常光滑基本無(wú)毛刺。由此，3種解調(diào)器解調(diào)結(jié)果的幅頻分析進(jìn)一步說(shuō)明了卡爾曼濾波器時(shí)3種濾波器抗噪能力最優(yōu)的。

圖10 3種濾波器的檢測(cè)鋼軌裂紋結(jié)果Fig.10 Detection results of rail crack with three filters

圖11 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和3種解調(diào)器解調(diào)后的幅頻圖Fig.11 Measured data and amplitude-frequency diagram after demodulation by three demodulators

3.3 r/q比值的影響

根據(jù)性能仿真的結(jié)論，改變r(jià)/q的比值可以調(diào)節(jié)引入卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相器的抗噪和動(dòng)態(tài)跟蹤性能，以適應(yīng)不同的噪聲環(huán)境。增大比值有利于改善解調(diào)抗噪性能，但是卻不利解調(diào)器的動(dòng)態(tài)跟蹤，即比值越大其響應(yīng)所需的時(shí)間越長(zhǎng)，則動(dòng)態(tài)跟蹤性能越差。為了進(jìn)一步說(shuō)明了數(shù)字鎖相解調(diào)器引入卡爾曼濾波后受r/q比值影響，進(jìn)行了不同比值下的解調(diào)試驗(yàn)。如圖12所示，當(dāng)增大r/q比值，利用卡爾曼濾波的鎖相解調(diào)抗噪能力也隨著增高，但是其缺陷的峰值特征遞減。此時(shí)，峰值特征減小與利用級(jí)聯(lián)RC濾波解調(diào)器一樣，增大比值使得系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間加長(zhǎng)，未能及時(shí)響應(yīng)跟蹤缺陷突變引起的幅值變化，即動(dòng)態(tài)響應(yīng)變差。

因此，為了能夠使引入卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相解調(diào)器提高識(shí)別缺陷的能力，需要實(shí)際噪聲大小調(diào)節(jié)r/q合適的比值，在抗噪能力和動(dòng)態(tài)跟蹤性能之間做一個(gè)折中。另外從圖12可知，如果解調(diào)后的幅值特征存在很大噪聲以致于影響特征的識(shí)別，則此時(shí)需要將r的值增大，也就是r/q的比值變大。而當(dāng)解調(diào)的幅值特征噪聲很小，但是特征的峰值很小表明響應(yīng)的時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，動(dòng)態(tài)跟蹤的能力受到影響，則此時(shí)可適當(dāng)?shù)脑龃髊值，也就是使得r/q的值變小。

圖12 調(diào)節(jié)r/q比例的解調(diào)結(jié)果Fig.12 Demodulated results while adjusting r/q

4 結(jié) 論

1) 本文介紹了數(shù)字鎖相解調(diào)器引入卡爾曼濾波的優(yōu)化設(shè)計(jì)，從時(shí)域和頻域上分析，并發(fā)現(xiàn)引入卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相解調(diào)器是通帶隨著迭代次數(shù)增加而變窄的帶通濾波器。

2) 結(jié)合零點(diǎn)頻率的性質(zhì)，通過(guò)調(diào)節(jié)r/q的比值，數(shù)字鎖相解調(diào)器引入卡爾曼濾波后能夠高效、快速地從噪聲中解調(diào)出弱的信號(hào)。與使用單一均值濾波器和級(jí)聯(lián)RC濾波器的解調(diào)器相比，引入卡爾曼濾波后的數(shù)字鎖相解調(diào)器在能保證解調(diào)的動(dòng)態(tài)跟蹤性能的同時(shí)又能提高抗噪能力。

3) 鋼軌裂紋在線(xiàn)電磁檢測(cè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，通過(guò)調(diào)節(jié)r/q的比值，引入卡爾曼濾波的數(shù)字鎖相器能夠很好地跟蹤缺陷突變引起的幅值變化。