梁立孚， 郭慶勇

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

隨著航天事業(yè)的發(fā)展，特別是大型空間站的建立、空間實(shí)驗(yàn)室的出現(xiàn)以及探討人類長期在宇宙空間居住或者旅行的研究工作的開展，較全面地研究剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)的任務(wù)已經(jīng)提上了日程[1-2]。

作為一個(gè)航天大國，中國學(xué)者在航天充液系統(tǒng)的剛-彈-液耦合機(jī)理研究和大規(guī)模剛-彈-液耦合模型建模計(jì)算的應(yīng)用研究方面，已經(jīng)進(jìn)行了一些有益的探索，并且取得了豐碩的研究成果。杜建鑌和王勖成[3]針對具有旋轉(zhuǎn)周期性的含液容器，將旋轉(zhuǎn)周期方法引入液固耦合動(dòng)力特性分析，開發(fā)出一套有效的液固耦合有限元分析方法。劉習(xí)軍等[4]研究了殼液耦合系統(tǒng)的自激振動(dòng)問題和重力波現(xiàn)象。馬興瑞等[5]將流固耦合問題作為一個(gè)專題進(jìn)行了研究。邢景棠、周盛和崔爾杰[6]全面綜述了流固耦合力學(xué)及其特點(diǎn)、研究分支、一些進(jìn)展及進(jìn)一步發(fā)展，并重點(diǎn)闡述了國外學(xué)者在這一學(xué)科領(lǐng)域的研究成果。王勖成[7]研究了流固耦合的有限單元法，采用一種簡化的方式處理彈-液耦合問題。李磊等[8]研究了運(yùn)動(dòng)圓筒內(nèi)液體流動(dòng)不穩(wěn)定的非線性特征。席如青和曲廣吉[9]研究了充液航天器任意旋轉(zhuǎn)對稱偏置貯箱在低微重力情況下的小幅液體晃動(dòng)問題, 并編制了具有工程實(shí)用性和通用性的計(jì)算機(jī)分析軟件。李英波和馮正進(jìn)[10]建立了三軸定向充液衛(wèi)星在二維平動(dòng)和二維擺動(dòng)擾動(dòng)作用下的空間擺等效力學(xué)模型。王佳棟等[11]研究了帶有環(huán)形剛性隔板的部分充液剛性圓柱罐中液體的微幅晃動(dòng)特性。黃華等[12]建立了三維質(zhì)心面等效模型, 將貯箱內(nèi)液體等效為位于液體質(zhì)心處的質(zhì)點(diǎn)。賀元軍等[13]建立了在微重力環(huán)境、橫向激勵(lì)下圓柱貯箱液固耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，并得到了耦合系統(tǒng)的幅頻特性曲線。包光偉和王政偉[14]通過建立液體晃動(dòng)特征問題的泛函極值原理, 計(jì)算了平放圓柱腔內(nèi)三維液體晃動(dòng)的特征頻率, 并與解析解、實(shí)驗(yàn)結(jié)果和二維有限元數(shù)值解進(jìn)行了比較。陳建平等[15]提出了剛-彈-液耦合系統(tǒng)的液體-多體耦合力學(xué)模型。高索文等[16]分析了俯仰激勵(lì)下矩形貯箱類液固耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性。茍興宇等[17]研究了彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)與圓柱貯箱類液體有限幅晃動(dòng)系統(tǒng)間的非線性耦合動(dòng)力學(xué)問題, 在建立了六自由度非線性耦合動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上, 導(dǎo)出了液體有限幅晃動(dòng)力和力矩解析表達(dá)式, 說明在終了構(gòu)形上積分及壓力表達(dá)式中的非線性項(xiàng)是有限幅晃動(dòng)作用力、作用力矩非線性的根源。李青等[18]分別綜述了國內(nèi)外學(xué)者在充液航天器液體晃動(dòng)和液固耦合動(dòng)力學(xué)方面的研究進(jìn)展，并重點(diǎn)闡述了國外學(xué)者在這一學(xué)科領(lǐng)域的研究成果。

在剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)中，存在剛-彈耦合、剛-液耦合、彈-液耦合，它們是互相聯(lián)系和相互影響的。筆者分別研究了非線性剛-彈耦合動(dòng)力學(xué)[19]和剛-液耦合動(dòng)力學(xué)[20]，為研究剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)中存在的剛-彈耦合、剛-液耦合提供了重要的參考。在此基礎(chǔ)上，還研究了剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)[21]， 但是沒有專門研究彈-液耦合問題。所以，本文重點(diǎn)研究剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)中的彈-液耦合問題，這是一個(gè)關(guān)系到航天充液系統(tǒng)液固耦合機(jī)理研究和大規(guī)模液固耦合模型建模計(jì)算研究方面的重要問題。

1 剛-彈-液耦合中的剛-彈耦合、剛-液耦合和彈-液耦合特點(diǎn)

設(shè)有如圖1所示的剛-彈-液耦合系統(tǒng)。文獻(xiàn)[21]給出了剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)一類變量的Hamilton型的擬變分原理，這里給出一類變量的Hamilton型的擬變分原理改進(jìn)形式為(用實(shí)體張量符號(hào)書寫)

δπreq-δQreq=0

(1)

圖1 參考標(biāo)架Fig.1 Frame of reference

式中：

(2)

(3)

(4)

(5)

先決條件為

(6)

該變分原理的泛函隱含彈-液耦合，這是因?yàn)閺?液耦合是在彈-液交界面處出現(xiàn)的[6]，在彈-液交界面處，按照一般的力學(xué)原理，位移滿足協(xié)調(diào)關(guān)系，應(yīng)力滿足平衡關(guān)系，這便是剛-彈-液耦合中的彈-液耦合的特點(diǎn)。因?yàn)檫@一問題的重要性，將在第2節(jié)結(jié)合研究彈-液耦合的機(jī)理，做進(jìn)一步的說明。

2 剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)中彈-液耦合的機(jī)理

對于剛-彈-液耦合系統(tǒng)而言，彈-液交界面是整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)的。假想將彈-液耦合體劃分為2個(gè)元素，其彈-液交界面Sw是無際邊界(inter-element boundary)[23-24]，無際邊界條件為

ue-uq=0(在Sw上)

(7)

應(yīng)用錢偉長先生倡導(dǎo)的Lagrange乘子法[23，25]來處理無際邊界條件的問題。為此，將式(1)寫成展開形式，引入Lagrange乘子λ，將無際邊界條件式(7)納入泛函中，可得

(8)

其先決條件為式(6)。

進(jìn)行分部積分，可得

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

應(yīng)用Green定理，可得

δuedV

(21)

(22)

(23)

將式(9)～式(23)代入式(8)的變換式中，考慮到位移邊界條件的變分式為δue=0，并且按慣例在時(shí)域邊界t=t0和t=t1處取δXc、δθ、δue、δuq等于零，可得

(24)

由于δXc、δθ、δue、δuq和δλ的任意性，故由式(24)可得擬駐值條件為

(25-1)

(25-2)

(25-3)

ne-Te=0(在Sσ上)

(25-4)

ue-uq=0(在Sw上)

(25-5)

ne+λ=0(在Sw上)

(25-6)

λ=0(在Sw上)

(25-7)

(25-8)

nq-Tq=0(在Sf上)

(25-9)

由式(25-6)和式(25-7)解得

(26)

(27)

分析式(26)和式(27)的物理意義。不難看出，式(26)表示在Sw處彈性體所承受的應(yīng)力，式(27)表示在Sw處液體所承受的應(yīng)力。并且式(26)和式(27)都與經(jīng)典分析力學(xué)中Lagrange乘子是約束力的論述相吻合。將式(26)代入式(27)，或者將式(27)代入式(26)，均可得到

(28)

認(rèn)為彈性體和液體以無際邊界面為接觸面，二者在此處相互作用，式(28)的物理意義可以解釋為：在無際邊界Sw處，彈性體對液體的作用力和液體對彈性體的作用力大小相等，方向相反。

式(28)又可寫為另一種形式：

(29)

認(rèn)為彈性力和液體力共同作用在無際邊界Sw處的無限薄的一層物質(zhì)面上，式(29)表明：由于剛-彈耦合動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致的應(yīng)力和由于剛-液耦合動(dòng)力學(xué)導(dǎo)致的應(yīng)力在無際邊界面Sw處構(gòu)成平衡應(yīng)力系。

在以上分析中，建議注意：在無際邊界面Sw處，ne+nq=0。

剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)的擬變分原理式(8)的豐富的內(nèi)涵反映在其駐值條件中：駐值條件式(25-6)和駐值條件式(25-7)經(jīng)變換得到式(29)，反映彈-液耦合的力的平衡關(guān)系；駐值條件式(25-5)反映彈-液耦合的位移協(xié)調(diào)關(guān)系；這是本文的主要研究內(nèi)容。駐值條件式(25-3)和駐值條件式(25-4)反映剛-彈耦合特性；駐值條件式(25-8)和駐值條件式(25-9)反映剛-液耦合特性；駐值條件式(25-1)和駐值條件式(25-2)反映連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)對剛體動(dòng)力學(xué)的影響。由如上論述可以看出，剛-彈-液耦合中彈-液耦合的平衡方程式(29)中的變量，不僅受到彈-液耦合的影響，還受到剛-液耦合(式(25-8)、式(25-9))和剛-彈耦合(式(25-3)、式(25-4))的影響。反之，剛-液耦合(式(25-8)、式(25-9))和剛-彈耦合(式(25-3)、式(25-4))的變量，也要受到彈-液耦合式(29)的影響。

綜合以上分析，可以明確剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)中彈-液耦合的機(jī)理。剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)中彈-液耦合發(fā)生在彈、液兩相的無際邊界面上, 在該邊界面上，位移滿足協(xié)調(diào)關(guān)系式(25-5)，應(yīng)力滿足平衡關(guān)系式(29)。

應(yīng)當(dāng)注意到，雖然剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)中彈-液耦合是在彈-液交界面實(shí)現(xiàn)的，但是，彈-液耦合是受到控制方程式(25-1)～式(25-9)的制約的。

3 彈-液耦合機(jī)理與建模計(jì)算相結(jié)合

關(guān)于彈-液耦合的建模計(jì)算研究，首先會(huì)想到有限元建模計(jì)算問題。

結(jié)合第2節(jié)的研究，由擬駐值條件式(25-5)可以看出，通過應(yīng)用Lagrange乘子法，已經(jīng)將無際邊界條件轉(zhuǎn)化為泛函的擬駐值條件；從有限元建模計(jì)算方面考慮問題，這一研究進(jìn)展實(shí)現(xiàn)了從協(xié)調(diào)元(compatible model)到雜交元(hybrid model)的過渡。國外學(xué)者應(yīng)用Lagrange乘子法研究有限元素法基本上到此為止。

按照中國著名應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)專家錢偉長院士的理論，還要在上述研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步識(shí)別Lagrange乘子，即將Lagrange乘子用泛函中原有的變量來表示，然后將已經(jīng)識(shí)別的Lagrange乘子代入泛函中，用來減少有限元素法的計(jì)算自由度。

將Lagrange乘子的表達(dá)式(26)代入泛函式(8)中，可得

(30)

應(yīng)用與第2節(jié)相同的方法，不難求得，其駐值條件為

(31-1)

(31-2)

(31-3)

ne-Te=0(在Sσ上)

(31-4)

ue-uq=0(在Sw上)

(31-5)

(31-6)

(31-7)

比較式(31)和式(25)可以發(fā)現(xiàn)，識(shí)別Lagrange乘子之后，可以減少計(jì)算自由度。具體地說，式(25)和式(8)的Lagrange乘子尚未識(shí)別，它們?nèi)匀蛔鳛橛?jì)算自由度存在于控制方程中；由于這里的Lagrange乘子λ是矢量，需要計(jì)算其3個(gè)分量方可確定，即其占用3個(gè)計(jì)算自由度。式(30)和式(31)的Lagrange乘子已經(jīng)識(shí)別，即Lagrange乘子已經(jīng)應(yīng)用泛函中原有的變量表達(dá)出來，從而減少3個(gè)計(jì)算自由度。注意到，這是將剛-彈-液耦合系統(tǒng)劃分為彈性體和液體2個(gè)元素，來處理其無際邊界條件問題得到的結(jié)果。在有限元建模計(jì)算中，彈-液交界面可以離散為很多個(gè)元素的無際邊界面，因此明確彈-液耦合機(jī)理之后，可以有效地減少計(jì)算自由度。具體地說，假設(shè)彈-液交界面可以離散為100個(gè)元素的無際邊界面，根據(jù)前面的分析，明確彈-液耦合機(jī)理之后，可以減少300個(gè)計(jì)算自由度。

再引申一步，在有限元建模中，除了以彈-液交界面作為元素的無際邊界面之外，還有更多的元素的無際邊界面不是彈-液交界面，它們也存在用識(shí)別Lagrange乘子法減少計(jì)算自由度的問題。這樣一來，減少的計(jì)算自由度就更多了。結(jié)合以上2種因素，可以大大減少計(jì)算自由度。這是中國學(xué)者對應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的一大貢獻(xiàn)。

最后說明，在剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)的建模計(jì)算研究中，存在彈-液交界面處的無際邊界條件。把彈-液交界面處的無際邊界條件處理好了，其余部分的有限元建模計(jì)算與一般的有限元建模計(jì)算便沒有多大差別了，也就比較容易處理了。二者相結(jié)合，便是一個(gè)比較完整的剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)的建模計(jì)算研究。對于如何實(shí)現(xiàn)有限元計(jì)算的問題，可以參閱著名流固耦合專家英籍華人學(xué)者邢景棠先生的近期著述[26]。

4 結(jié) 論

航天剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)是航天器動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域最具有挑戰(zhàn)性的研究方向之一。

1) 通過分析剛-彈-液耦合動(dòng)力學(xué)擬變分原理的泛函，說明了剛-彈耦合、剛-液耦合和彈-液耦合的特點(diǎn)。

2) 通過識(shí)別Lagrange乘子，逐步說明了彈-液耦合的機(jī)理。

3) 通過分析識(shí)別Lagrange乘子前后泛函的駐值條件，明確了識(shí)別Lagrange乘子可以有效地減少計(jì)算自由度。

研究工作處于該研究方向的理論基礎(chǔ)層面，具有較好的理論意義，對這類系統(tǒng)有限元建模、計(jì)算及結(jié)果分析、討論具有重要的參考價(jià)值。