高南沙，李沛霖，周文林，侯 宏

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué) 聲學(xué)信息感知工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072）

彈性波在聲子晶體中傳播時(shí)，受其內(nèi)部周期結(jié)構(gòu)作用，形成特殊色散關(guān)系（能帶結(jié)構(gòu)），色散關(guān)系曲線之間的頻率范圍稱為帶隙。理論上，帶隙頻率范圍的彈性波傳播被抑制，然而其它頻率范圍（稱為通帶）的彈性波將在色散關(guān)系的作用下無能量損耗地傳播。目前比較成熟的聲子晶體帶隙形成機(jī)理有兩種，即Bragg散射機(jī)理和局域共振機(jī)理。一開始被研究的聲子晶體所具有的帶隙都屬于Bragg散射機(jī)理[1-3]。若基體為流體，該聲子晶體最低聲波帶隙的中心頻率可由基體聲速c和晶格常數(shù)a確定，即c/2a。這種波長(zhǎng)與晶格常數(shù)成兩倍的關(guān)系與Bragg所發(fā)現(xiàn)的晶體中X射線衍射行為類似，因此將這類帶隙的形成機(jī)理稱為Bragg散射機(jī)理[4]。該機(jī)理不利于在低頻范圍內(nèi)的展開應(yīng)用[5-6]。局域共振機(jī)理的出現(xiàn)和發(fā)展改變了這種局面[7]。與Bragg散射機(jī)理明顯不同，局域共振機(jī)理強(qiáng)調(diào)單個(gè)原胞的運(yùn)動(dòng)模式。通過適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)，一般是在基體和散射體中間再加入柔軟的包覆層，使原胞所構(gòu)成的振子在遠(yuǎn)低于晶格尺度波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的頻率范圍內(nèi)發(fā)生共振，并阻斷正常的波傳播過程[8]。至今為止，在對(duì)聲子晶體和聲學(xué)超材料的理論研究上已經(jīng)有了很大的突破，但是針對(duì)于實(shí)際的工程問題仍然存在著一些急需而難以解決的問題，對(duì)于中高頻振動(dòng)和噪聲問題，雖然Bragg散射型聲子晶體能夠表現(xiàn)出優(yōu)于傳統(tǒng)減振降噪方法的帶隙特性，但是傳統(tǒng)的減振降噪方法足以處理這些頻段的問題，而且在制造成本嚴(yán)格控制或空間有限的場(chǎng)合，Bragg散射型聲子晶體存在著體積過大等一系列缺點(diǎn)，所以在低頻范圍內(nèi)，從實(shí)用性的角度看，Bragg散射型聲子晶體具有很大的局限性。2016年，張佳龍[9-10]提出正八邊形孔狀和雙包覆層局域共振聲子晶體模型，該結(jié)構(gòu)在500 Hz以上的中高頻范圍內(nèi)存在帶隙，依然沒有很好地解決中低頻的減振降噪問題，最近，Lai Y[11]和Mei J[12]等基于局域共振機(jī)理設(shè)計(jì)了相關(guān)的聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)，解決了低頻降噪減振問題，但是同時(shí)都存在著工藝復(fù)雜，帶隙頻率范圍窄以及調(diào)節(jié)不靈活等問題。

通過分割中心諧振子從而增大自由表面來降低帶隙，基于低頻多重振動(dòng)耦合機(jī)理提出了一種新型二維三組元四方折疊梁聲子晶體結(jié)構(gòu)，通過改變基體和諧振子之間的幾何結(jié)構(gòu)，在不增加單元結(jié)構(gòu)和質(zhì)量的情況下打開低頻帶隙，具有良好的降噪效果。通過調(diào)節(jié)單元結(jié)構(gòu)特性參數(shù)，得出影響該結(jié)構(gòu)帶隙位置、寬度的主要因素，從而總結(jié)出控制該結(jié)構(gòu)低頻減振降噪效果的影響規(guī)律。

1 多重振動(dòng)耦合機(jī)理

1.1 二維四方折疊梁聲子晶體模型

二維四方折疊梁聲子晶體的結(jié)構(gòu)如圖1所示，利用四方折疊的彈性梁來替代傳統(tǒng)局域共振型聲子晶體中的包覆層，然后將四方折疊梁分別連接在正方形外框和正方形諧振子上。圖1(c)個(gè)給出了所對(duì)應(yīng)Brillouin區(qū)。圖1(d)和圖1(e)分別是二維四方折疊梁局域共振型聲子晶體的兩種結(jié)構(gòu)，即模型1和2?？梢钥闯?，在這兩種模型中，中間層四方折疊梁是一個(gè)互補(bǔ)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而圖1(f)則給出了對(duì)比結(jié)構(gòu)—模型3。

模型1、2和3中的不同顏色區(qū)域A、B和C分別代表不同的材料，四方折疊梁使用金屬鋁，正方形諧振子使用金屬鎢，而正方形外框采用硅橡膠，材料參數(shù)如表1所示。

幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)晶格常數(shù)a=34 mm，中心正方形諧振子的邊長(zhǎng)H是20 mm，四方折疊梁寬度b=1.43 mm，四方折疊梁之間的空隙寬度e=2.14 mm，內(nèi)外層開口寬度C1=C2=2.2 mm。

1.2 帶隙特性分析

圖1 二維四方折疊梁聲子晶體基本結(jié)構(gòu)及其對(duì)應(yīng)的Brillouin區(qū)

本文基于COMSOL Multiphysics軟件，詳述二維固-固型聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算過程。在COMSOL Multiphysics軟件3.5a版本的模型導(dǎo)航窗口中，選擇結(jié)構(gòu)力學(xué)中的模塊-特征頻率分析。在進(jìn)入分析界面后，畫好幾何模型后進(jìn)行常數(shù)設(shè)定，為了便于在以后的分析中進(jìn)行參數(shù)掃描，設(shè)定初始常數(shù)值kx=1，ky=1，在這里kx和ky是倒格子空間的基矢。在求解域的設(shè)定中輸入材料的彈性參數(shù)。在聲子晶體的概念中，單元之間互相聯(lián)通的材料稱為基體，在單元中心質(zhì)量比較大的材料稱為散射體，又可以稱為諧振子，而它們之間的部分稱為包覆層。在本算例中基體采用環(huán)氧樹脂，包覆層采用硅橡膠，而散射體采用鉛。材料參數(shù)詳見附錄。根據(jù)一般的有限元法步驟確定形函數(shù)、建立單元內(nèi)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，獲得單元的廣義本征值方程

表1 材料參數(shù)

式中：Ks——單元?jiǎng)偠染仃?；Ms——質(zhì)量矩陣；u(v)——整體節(jié)點(diǎn)位移陣列。

圖2 模型1、2和3的能帶結(jié)構(gòu)

周期結(jié)構(gòu)的聲子晶體，可以采用Block周期性條件將整體的計(jì)算縮減到一系列的單元中進(jìn)行。所以在軟件中取X和Y方向的兩條邊作為源項(xiàng)，它們的表達(dá)式中分別輸入單元內(nèi)的特征向量u和v，而目的端選擇的兩條邊是和源項(xiàng)兩條邊相互對(duì)應(yīng)的。在目的端表達(dá)式中，輸入u(v)?exp(i?pi?kx(ky))，這樣就完成了周期性邊界條件的設(shè)置。在求解器參數(shù)中設(shè)置所求特征頻率的階數(shù)，然后采用平面應(yīng)變?nèi)切螁卧M(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，完成求解。在軟件中，選擇Eigevalue求解器，即給定一個(gè)k值，即可求得一組結(jié)構(gòu)本征頻率，最后進(jìn)行波矢參數(shù)掃描。本節(jié)研究對(duì)象是聲子晶體具有代表性的正方晶格，所以掃描的邊界應(yīng)該遍歷整個(gè)Brillouin的邊界。當(dāng)波矢沿著M-Γ-X-M的邊界完成參數(shù)掃描后生成txt文檔，導(dǎo)入MATLAB軟件中就可以得出其能帶結(jié)構(gòu)。

圖2、圖3給出了模型1、2和3的能帶結(jié)構(gòu)和模型1的透射譜。在圖2中，灰色區(qū)域表示帶隙，可以很清楚地看出，對(duì)比結(jié)構(gòu)模型3在1 200 Hz以下沒有帶隙，模型1和2在400 Hz以下都可以打開帶隙，不同的是模型2打開了四條完全帶隙，而模型1只打開兩條，但是模型1的兩條帶隙的寬度比模型2的大，第一帶隙從100 Hz到106.7 Hz，第二帶隙從193 Hz到297帶隙，其第二帶隙寬度達(dá)到100 Hz。因?yàn)槟Ｐ?和2在XY方向上屬于不對(duì)稱的。所以其所對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)中存在著很多方向帶隙[13]，方向帶隙在特定的單一方向上有很多應(yīng)用，但本論文重點(diǎn)關(guān)注的是在全方向上能夠發(fā)揮減振降噪作用的完全帶隙。在400 Hz以下的頻率范圍，模型1的帶隙范圍大概為26.5%，與具有相同尺寸和材料的模型3相比，不僅可以打開帶隙，而且?guī)斗秶軐挘瑫r(shí)其結(jié)構(gòu)的面密度減小，幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)變多，能夠?qū)哆M(jìn)行調(diào)節(jié)。同樣屬于四方折疊梁局域共振型聲子晶體的模型2，其帶隙數(shù)量雖然多，但是寬度很窄，最寬的帶隙只能達(dá)到5.1 Hz，分布在300 Hz和350 Hz之間。但是在50 Hz以下，甚至在低于10 Hz的范圍內(nèi)，圖2(b)中有很多平直帶，這說明模型2在超低頻處存在更多的共振作用，這為振動(dòng)能量回收提供了可行性。在圖3中，模型1的透射譜其最低的峰值低于-250 dB，在190 Hz到300 Hz之間有比較高的隔聲性能，該區(qū)間和圖2中的帶隙相互對(duì)應(yīng)，驗(yàn)證了本文能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性。

圖3 模型1的透射譜

1.3 物理機(jī)理分析

在研究單元的模態(tài)位移時(shí)取2×2的大原胞作為研究對(duì)象，這樣也可以更加清楚地反映出各個(gè)單元之間的相互影響。圖4(a)－圖4(d)給出了模型1在第一、二帶隙的上下邊界處的位移振型圖。

首先討論模型1第一帶隙的上下邊界關(guān)鍵點(diǎn)A、B的模態(tài)，A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率為100 Hz和106.7 Hz。在A點(diǎn)的模態(tài)中，振動(dòng)幾乎都集中在中心諧振子上面，在X或Y方向上，外邊框呈現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)振動(dòng)，且有一定的變形。在左上和右下小單元中，外框的變形是順時(shí)針的；而在左下和右上小單元中，外框的變形是逆時(shí)針的。B點(diǎn)的模態(tài)完全不同于A點(diǎn)的模態(tài)，這些振動(dòng)的中心都在每一個(gè)小單元的諧振子中心上，且方向是順時(shí)針的，大原胞外框的振動(dòng)是反對(duì)稱的彎曲振動(dòng)。C點(diǎn)是模型1第二帶隙下邊界的點(diǎn)，其模態(tài)類似B點(diǎn)的模態(tài)，振動(dòng)中心依然在諧振子上，外框也有明顯地彎曲變形，但是不同的是其中有兩個(gè)小單元的旋轉(zhuǎn)振動(dòng)方向不同于B點(diǎn)中的旋轉(zhuǎn)方向。D點(diǎn)，是模型1第二帶隙上邊界的點(diǎn)，可以看出諧振子的振動(dòng)位移不大，變形主要發(fā)生在每一個(gè)小單元的右下外邊框處，每一個(gè)小單元的上下四個(gè)外邊框都是反對(duì)稱彎曲振動(dòng)。為了更加清楚地看出振型方向，圖4(e)畫出了這四個(gè)模態(tài)示意圖，在2×2的大原胞中，重點(diǎn)關(guān)注的是節(jié)點(diǎn)處的位移方向（圖4(e)中的黑色虛線框）。

圖4 模型1前兩條帶隙的上下邊界關(guān)鍵點(diǎn)處的模態(tài)振型圖及其關(guān)鍵點(diǎn)的模態(tài)示意圖

圖中表明A、C兩點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處的模態(tài)振動(dòng)位移類似；而B、D兩點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)處的模態(tài)振動(dòng)位移類似。在B、D點(diǎn)的模態(tài)中，在節(jié)點(diǎn)處位移方向是相反的，這樣使得彈性波在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處不能前行；而在A、C點(diǎn)的模態(tài)中，當(dāng)彈性波傳播到節(jié)點(diǎn)時(shí)，會(huì)向垂直于彈性波振動(dòng)的方向進(jìn)行分流，從而使得彈性波無法繼續(xù)向前傳播，產(chǎn)生帶隙。其背后的物理機(jī)理為：中心諧振子的質(zhì)量相對(duì)很大，導(dǎo)致相鄰諧振子之間的相互作用較大，外邊框的材料非常軟，所以外邊框的振動(dòng)模式不同于中心諧振子，諧振子（散射體）在第1階Mie散射峰附近呈現(xiàn)出剛體共振模式，這是因?yàn)橹C振子在振動(dòng)中充當(dāng)了“質(zhì)量”的作用，而外邊框基體材料充當(dāng)了“彈簧”的作用。在本節(jié)的聲子晶體結(jié)構(gòu)中，諧振子的材料是高密度和高剛度的金屬鎢，但是由于四方折疊梁的設(shè)計(jì)，導(dǎo)致填充率不高。因此，在傳播過程中，縱波將轉(zhuǎn)化成橫波向前傳播，諧振子的振動(dòng)模式受到外邊框振動(dòng)作用和相鄰諧振子之間的相互作用，多種振動(dòng)模式在單元之間的節(jié)點(diǎn)處發(fā)生耦合，如圖4(e)所示，所以在這些頻率處，完全帶隙被打開。

從圖2中可以看出，四方折疊梁聲子晶體的帶隙附近的頻散曲線沒有平直帶，因此該結(jié)構(gòu)不屬于典型的局域共振聲子晶體。所以，準(zhǔn)確來說，多種振動(dòng)的耦合，特別是在節(jié)點(diǎn)處的耦合，才是打開低頻帶隙的關(guān)鍵因素。四方折疊梁的引入，很大程度上減小了整體結(jié)構(gòu)的等效剛度，而等效質(zhì)量雖然也在減少，但其帶來的影響遠(yuǎn)低于剛度的減小。這直接會(huì)導(dǎo)致整體結(jié)構(gòu)的共振頻率向下移動(dòng)，從幾何結(jié)構(gòu)上知道，模型1的四方折疊梁的剛度比模型2低，相對(duì)應(yīng)的帶隙頻率也低于模型2的帶隙頻率。

2 二維四方折疊梁聲子晶體帶隙影響因素

2.1 幾何尺寸對(duì)帶隙的影響

本節(jié)討論模型1中四方折疊梁的尺寸對(duì)于帶隙的影響，其中晶格常數(shù)a和中心正方形諧振子的尺寸不變。在圖5(a)中，b e的比值從0.3增加到1.6，第一和第二帶隙寬度不斷減小，當(dāng)b e等于0.9時(shí)，第一帶隙消失，所以減小b的尺寸可以有效地增加低頻帶隙寬度。尺寸b是四方折疊梁的寬度，減小其尺寸可以有效地減小等效剛度，從而使得相關(guān)帶隙向低頻移動(dòng)。從圖5(b)和圖5(c)中，可以看出C1和C2尺寸對(duì)于帶隙的影響具有一致性。隨著C1和C2尺寸的不斷增加，第一帶隙向低頻移動(dòng)，但是第二帶隙的寬度和位置幾乎不變。從圖5(a)中看出，C1、C2尺寸對(duì)于整體結(jié)構(gòu)來說非常小，其改變不會(huì)對(duì)整體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形式有很大的影響，對(duì)于等效質(zhì)量和等效剛度的影響也可以忽略不計(jì)，所以C1、C2對(duì)帶隙的影響非常小。

2.2 排列方式對(duì)帶隙的影響

從結(jié)構(gòu)上可以看出，二維四方折疊梁聲子晶體（模型1或者2）不是完全對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，因此不同排列組合的模型一定會(huì)對(duì)應(yīng)不同的模態(tài)振型，本節(jié)取2×2的大原胞作為研究對(duì)象，不同的排列組合方式如圖5－圖6(a)－圖6(d)所示，這4種排列方式的通帶、帶隙分布范圍如圖5－圖7所示。A排列的大原胞具有兩條帶隙，其能帶結(jié)構(gòu)和圖5－圖3(a)一樣；B排列依然具有兩條帶隙，但是其第一帶隙的位置更低，第二帶隙的下邊界也更低；C排列在300 Hz以下的區(qū)域內(nèi)全是通帶；D排列的結(jié)構(gòu)仍然可以打開兩條帶隙，但是這兩條帶隙的位置都偏高，其寬度也比較小?？梢酝ㄟ^不同的排列組合，來調(diào)整帶隙的位置和寬度，這對(duì)于不對(duì)稱聲子晶體結(jié)構(gòu)來說，是調(diào)控帶隙的有效方法。相對(duì)于以前的研究來說[14-18]，大多數(shù)學(xué)者都集中于單個(gè)單元的幾何結(jié)構(gòu)尺寸和材料組分的研究。對(duì)于很多相類似的結(jié)構(gòu)，通過不同的排列組合打開或者關(guān)閉帶隙是一種較簡(jiǎn)單的調(diào)控帶隙方法。

3 結(jié)語

圖5 幾何參數(shù)變化對(duì)于帶隙的影響

(1)本文提出了一種二維四方折疊梁局域共振型聲子晶體模型，對(duì)能帶結(jié)構(gòu)和帶隙關(guān)鍵點(diǎn)的模態(tài)位移進(jìn)行分析，詳述了帶隙背后的物理機(jī)理。其結(jié)構(gòu)多種振動(dòng)的耦合，特別是在節(jié)點(diǎn)處的耦合作用，是打開低頻帶隙的關(guān)鍵。

圖6 二維四方折疊梁聲子晶體不同的四種排列組合形式

圖7 A、B、C和D四種排列方式所對(duì)應(yīng)的低頻帶隙分布

(2)二維四方折疊梁局域共振型聲子晶體的幾何尺寸b，即四方折疊梁的寬度，其增大可以導(dǎo)致帶隙變窄，甚至消失。折疊梁、基體材料和諧振子連接處的幾何尺寸C1和C2對(duì)于帶隙的影響具有一致性，其尺寸的增加僅僅使第一帶隙向低頻移動(dòng)。不同排列組合的2×2的大原胞對(duì)應(yīng)著不同的帶隙變化規(guī)律。這種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為制備“低頻，寬帶，強(qiáng)衰減”特性的聲子晶體提供了理論依據(jù)和方法指導(dǎo)。