張大鵬，周 翔

（上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240）

折疊結(jié)構(gòu)普遍存在于自然界中，如樹(shù)葉，昆蟲(chóng)翅膀等。而隨著折疊結(jié)構(gòu)研究的發(fā)展，目前折疊結(jié)構(gòu)已被廣泛的應(yīng)用于工程中，包括：空間可展結(jié)構(gòu)、變形建筑、沖擊罐、夾芯結(jié)構(gòu)、隔聲及隔熱材料、機(jī)械二極管、人工肌肉等。折疊超材料是基于折疊結(jié)構(gòu)發(fā)展而來(lái)，具有超常的物理性能。

目前，對(duì)于折疊超材料的研究大多集中于Miura折疊超材料以及由它衍生出來(lái)的各種變化形式，主要研究其靜態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)性能[1-3]。而國(guó)內(nèi)外對(duì)于折疊超材料的動(dòng)力學(xué)分析很少。Fang H.等人研究了一種具有自穩(wěn)定特性的Miura折疊超材料結(jié)構(gòu)，試驗(yàn)分析表明，該結(jié)構(gòu)具有豐富的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，可以通過(guò)調(diào)整折痕剛度來(lái)設(shè)計(jì)[4-5]。Sadeghi S.等人通過(guò)在折疊結(jié)構(gòu)中密封壓縮空氣，設(shè)計(jì)了一種具有準(zhǔn)零剛度特性的Miura折疊超材料結(jié)構(gòu)，建立彈簧-質(zhì)量等效模型進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)可以提供有效的低頻隔振[6]。Yasuda H.等人將Tachi-Miura polyhedron(TMP)管狀折疊超材料簡(jiǎn)化成多連桿結(jié)構(gòu)和彈簧-質(zhì)量模型的等效分析模型，研究了該超材料的沖擊響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)作用于一端的沖擊載荷在內(nèi)部以小振幅稀疏波的形式傳播，展現(xiàn)出該超材料良好的抗沖擊特性[7-8]。

國(guó)內(nèi)外對(duì)折疊超材料的動(dòng)力學(xué)分析中，大多數(shù)將模型簡(jiǎn)化為彈簧、多連桿等等效模型，缺少實(shí)際模型的系統(tǒng)特征。本文在ADAMS中建立了Miura的真實(shí)模型，分析了典型的三種結(jié)構(gòu)模型，在力和位移兩種簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，不同折痕剛度對(duì)Miura折疊超材料振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 模型的建立

1.1 建模

由于實(shí)際結(jié)構(gòu)中，面元?jiǎng)偠冗h(yuǎn)遠(yuǎn)大于折痕剛度，變形主要通過(guò)折痕的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)進(jìn)行，本文將平行四邊形的面元設(shè)置為具有質(zhì)量和剛度的平行四邊形剛性殼體，折痕為轉(zhuǎn)動(dòng)鉸和無(wú)預(yù)載的扭轉(zhuǎn)彈簧來(lái)討論。ADAMS是全球運(yùn)用最為廣泛的機(jī)械系統(tǒng)仿真軟件，擁有強(qiáng)大的剛體動(dòng)力學(xué)分析功能。本文使用CATIA建立模型，導(dǎo)入ADAMS進(jìn)行無(wú)重力模擬仿真。假設(shè)每個(gè)Miura單元內(nèi)部折痕具有相同的扭轉(zhuǎn)彈簧剛度ka。圖1為由單個(gè)Miura單元構(gòu)成的單層Miura模型。

圖1 單層Miura模型

將扭轉(zhuǎn)彈簧剛度分別為ka和kb，連接處折痕的扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為kc的兩個(gè)Miura單元組合得到雙層Miura模型，如圖2。

圖2 雙層Miura模型

標(biāo)準(zhǔn)的Miura折疊結(jié)構(gòu)是僅有單一自由度的結(jié)構(gòu)，在分析單自由度Miura結(jié)構(gòu)的同時(shí)，本文設(shè)計(jì)了一種由Miura單元和分隔面組合構(gòu)成的多層堆疊Miura模型：多個(gè)Miura單元格縱向堆疊，它們之間由無(wú)質(zhì)量、無(wú)厚度的剛性面分隔開(kāi)來(lái)，這些分隔面允許Miura單元在表面滑動(dòng)，有且僅有縱向位移一個(gè)自由度，如圖3。我們定義由上至下的奇數(shù)單元和偶數(shù)單元的扭簧剛度相同，分別為ka和kb。

1.2 激勵(lì)類(lèi)型

本文中對(duì)結(jié)構(gòu)施加兩種類(lèi)型的激勵(lì)：簡(jiǎn)諧力和簡(jiǎn)諧位移，在ADAMS中分別定義Force和Motion。相對(duì)應(yīng)的邊界條件分別為上表面加載簡(jiǎn)諧力，底邊固支；上表面加載簡(jiǎn)諧位移，下表面自由運(yùn)動(dòng)。為了得到不同頻率下的振動(dòng)響應(yīng)，頻率的取值范圍定為0.01 Hz到100 Hz，并將頻率值取對(duì)數(shù)，等分成41組數(shù)據(jù)；每種頻率下分析步驟為1 000步，分析時(shí)間定為當(dāng)前簡(jiǎn)諧激勵(lì)的20個(gè)完整周期。

簡(jiǎn)諧力定義為

圖3 多層堆疊Miura模型

其中：F0表示力的幅值，ω表示頻率,t表示時(shí)間。

簡(jiǎn)諧位移定義為

其中：X0表示位移的幅值，ω表示頻率,t表示時(shí)間。

本文討論的范圍如下。

1.3 結(jié)果處理方法

考慮到Miura折疊機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)可能存在高度的非線(xiàn)性，對(duì)ADAMS導(dǎo)出的分析結(jié)果采用兩種方式進(jìn)行處理。對(duì)于簡(jiǎn)諧力激勵(lì)，定義響應(yīng)力的幅值

其中：Fmax和Fmin表示響應(yīng)力隨時(shí)間變化的最大值和最小值。

對(duì)于簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)，將響應(yīng)位移的均方根除以激勵(lì)位移的均方根，得到位移傳遞值。

其中：xi和yi(i=1,2,3,…,N)表示響應(yīng)位移在不同時(shí)刻下的位移變化和激振器的位移變化。

2 結(jié)果及分析

2.1 單自由度模型在簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)

單層Miura模型由單個(gè)Miura單元構(gòu)成，設(shè)置不同折痕剛度，分析其頻率響應(yīng)，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

圖4表明，在簡(jiǎn)諧力的作用下，響應(yīng)力的幅值隨頻率變化均呈現(xiàn)三個(gè)階段：第一個(gè)階段在低頻率激勵(lì)下，響應(yīng)力的幅值和激勵(lì)力的幅值基本一致；第二階段，由于系統(tǒng)中折痕不設(shè)置阻尼，當(dāng)系統(tǒng)在發(fā)生共振的時(shí)產(chǎn)生較大的振動(dòng)，響應(yīng)力的幅值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于激勵(lì)力的幅值；而在第3階段，頻率繼續(xù)增加，響應(yīng)力的大小持續(xù)減小。

表1 三種模型的剛度參數(shù)

通過(guò)改變折痕剛度，可以得到不同的共振頻率，而最大響應(yīng)力幅值隨著折痕剛度的增加而增加，直到達(dá)到上限。需要注意的是，當(dāng)折痕剛度減小到一定數(shù)值時(shí)，系統(tǒng)共振時(shí)會(huì)使得結(jié)構(gòu)完全折疊，應(yīng)避免折痕剛度設(shè)置得過(guò)小。

雙層Miura模型由兩個(gè)Miura單元構(gòu)成，設(shè)置第二個(gè)單元的不同折痕剛度，分析不同剛度組合的頻率響應(yīng)。圖5表明，在簡(jiǎn)諧力的作用下，雙層Miura模型的頻率響應(yīng)與單層Miura模型相比，在不同階段響應(yīng)力的變化趨勢(shì)相類(lèi)似。通過(guò)改變第二個(gè)Miura單元的折痕剛度，可以得到不同的共振頻率，但敏感性較低。而通過(guò)不同剛度組合，相較于較大折痕剛度的單元，組合剛度降低，最大響應(yīng)力幅值增大。

2.2 多自由度模型在簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)

圖4 單層Miura模型

多層堆疊Miura模型由相互隔離的Miura單元堆疊形成，具有多個(gè)自由度。堆疊數(shù)量分別取2、3、4，分析不同堆疊數(shù)量的頻率響應(yīng)。在激勵(lì)作用下，模型不同層面的Miura單元的變形是不同步的，存在部分單元伸展而部分單元壓縮的情形。

圖6表明，隨著堆疊數(shù)量的增加，模型固有頻率數(shù)量增加，最大振動(dòng)響應(yīng)幅值增加，而最大響應(yīng)力幅值對(duì)應(yīng)頻率降低。在共振頻率區(qū)間外，幾種模型的激勵(lì)響應(yīng)幅值基本一致。

圖5 雙層Miura模型響應(yīng)力幅值-頻率曲線(xiàn)

圖6 多層堆疊Miura模型響應(yīng)力幅值-頻率曲線(xiàn)

2.3 單自由度模型在簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)

單層Miura模型和雙層Miura模型在簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)的作用下，頻率響應(yīng)(如圖7、圖8)顯示了和簡(jiǎn)諧力激勵(lì)作用下相同的變化趨勢(shì)：位移傳遞值在低頻段為1，達(dá)到共振時(shí)，位移傳遞值最大值對(duì)應(yīng)頻率下，位移響應(yīng)的幅值遠(yuǎn)大于激勵(lì)幅值，繼續(xù)增加激勵(lì)頻率，位移傳遞值小于1。

圖7 單層Miura模型位移傳遞值-頻率曲線(xiàn)

單自由度模型在兩種簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，振動(dòng)響應(yīng)類(lèi)似，通過(guò)適當(dāng)改變折痕剛度，改變其共振頻率，可以達(dá)到很好的低頻隔振效果。

圖8 雙層Miura模型位移傳遞值-頻率曲線(xiàn)

2.4 多自由度模型在簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)

多層堆疊Miura模型取10個(gè)堆疊單元，分析其不同響應(yīng)峰值下的位移-時(shí)間曲線(xiàn)。在簡(jiǎn)諧位移激勵(lì)的作用下，隨著激勵(lì)頻率的不斷增加，激勵(lì)與響應(yīng)之間的時(shí)間間隔逐漸增加，當(dāng)頻率增加至一定數(shù)值時(shí)，底部面元響應(yīng)的時(shí)間超過(guò)激勵(lì)周期的20倍，而使得位移傳遞值為零，見(jiàn)圖9。

3 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用ADAMS分析典型的三種結(jié)構(gòu)模型，在力和位移兩種簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，不同折痕剛度對(duì)Miura折疊超材料振動(dòng)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，單自由度結(jié)構(gòu)的Miura構(gòu)形在兩種激勵(lì)下頻率響應(yīng)類(lèi)似，通過(guò)改變折痕剛度可以改變其共振頻率，達(dá)到很好的低頻隔振效果。多自由度模型可以通過(guò)增加堆疊數(shù)量降低共振頻率。

圖9 多層堆疊Miura模型