彭濤，田仲初，梁瀟, 2，成魁

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基于多目標(biāo)優(yōu)化的磁浮軌道梁有限元模型修正

彭濤1，田仲初1，梁瀟1, 2，成魁1

(1. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410114； 2.湖南磁浮交通發(fā)展股份有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410014)

基于精細(xì)有限元建模與多目標(biāo)優(yōu)化算法，建立一種適用于具有復(fù)雜附屬結(jié)構(gòu)的磁浮軌道梁有限元模型修正方法。以一座典型的磁浮連續(xù)軌道梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，建立其精細(xì)初始有限元模型；在靈敏度分析的基礎(chǔ)上選擇待修正參數(shù)，利用模態(tài)頻率和振型等結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)動(dòng)力響應(yīng)構(gòu)造修正目標(biāo)函數(shù)；采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，得到其Pareto最優(yōu)解集。研究結(jié)果表明：模型修正后結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和振型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值吻合良好，修正后的有限元模型能夠精確全面地模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)，且能確保設(shè)計(jì)參數(shù)合理且具有明確物理意義。

中低速磁?。卉壍懒?；有限元模型修正；多目標(biāo)優(yōu)化

對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)、損傷識(shí)別、狀態(tài)評(píng)估、剩余壽命預(yù)測(cè)，以及進(jìn)行車(chē)橋耦合振動(dòng)、抗風(fēng)、抗震等復(fù)雜動(dòng)力分析，都需要一個(gè)可以精確、全面反應(yīng)結(jié)構(gòu)真實(shí)狀態(tài)的基準(zhǔn)有限元模型作為基 礎(chǔ)[1?4]。但由于橋梁各種材料物理參數(shù)的離散性與隨機(jī)性，施工偏差造成的幾何參數(shù)誤差，有限元模型固有的階次誤差和不適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，模型邊界條件的失真模擬以及結(jié)構(gòu)退化或損傷等原因，按照設(shè)計(jì)圖紙和規(guī)范建立的初始有限元模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)不可避免地存在偏差，不能直接作為結(jié)構(gòu)的基準(zhǔn)有限元模型，需要依靠有限元建模技術(shù)和模型修正等實(shí)現(xiàn)基準(zhǔn)模型的構(gòu)建[4]。近年來(lái)，有限元模型修正得到了業(yè)界更多的關(guān)注，已成為橋梁工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。REN等[5]提出了一種基于響應(yīng)面的模型修正方法，并應(yīng)用于洪塘大橋的模型修正。方志 等[4]基于靈敏度分析結(jié)合優(yōu)化算法對(duì)一座斜拉橋模型進(jìn)行模型修正，并對(duì)不同模式模型的計(jì)算精度和修正效果進(jìn)行討論。鐘儒勉等[6]采用基于兩階段響應(yīng)面法對(duì)灌河大橋的多尺度有限元模型進(jìn)行修正。周林仁等[7]采用子結(jié)構(gòu)方法對(duì)某斜拉橋模型進(jìn)行模型修正。胡俊亮等[8]采用基于Kriging模型的方法對(duì)一連續(xù)梁拱橋進(jìn)行模型修正。郁勝等[9]針對(duì)懸索橋的模型修正，提出一種基于徑向基函數(shù)響應(yīng)面方法。駱勇鵬等[10]采用基于逐步回歸響應(yīng)面法對(duì)一座鐵路鋼桁橋模型進(jìn)行修正。SHAN等[2]提出一種結(jié)合子結(jié)構(gòu)與響應(yīng)面的有限元模型修正方法?；炷亮簶蜃鳛橐环N在鐵路、公路、城市立交、磁浮和軌道交通等工程中應(yīng)用最為廣泛的橋型，因受到跨越能力的制約，其規(guī)模通常小于大跨度拱橋、斜拉橋、懸索橋等橋型，在同樣的測(cè)點(diǎn)密度下，通過(guò)靜動(dòng)力試驗(yàn)獲得的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)樣本相對(duì)較少。因此，在對(duì)其進(jìn)行模型修正時(shí)，為了獲得更好的修正效果，研究者在早期的單目標(biāo)模型修正方法的基礎(chǔ)上提出了考慮多個(gè)目標(biāo)的模型修正方法，其通常做法是對(duì)多個(gè)單目標(biāo)進(jìn)行加權(quán)求和組合成一個(gè)新目標(biāo)函數(shù)，從而將其轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題求解。起初，研究者對(duì)單目標(biāo)進(jìn)行組合時(shí)，采用的是不變的權(quán)系數(shù)；隨后，何濤等[11?12]指出不變權(quán)系數(shù)的處理方法忽略了不同目標(biāo)函數(shù)在修正優(yōu)化迭代過(guò)程中精度和數(shù)量級(jí)的差異，為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，提出了動(dòng)態(tài)權(quán)重系數(shù)方法，并分別運(yùn)用在混凝土梁橋、曲線連續(xù)梁橋的模型修正中。動(dòng)態(tài)權(quán)重系數(shù)法雖然考慮了不同目標(biāo)以及其子目標(biāo)的重要性，但不同類(lèi)目標(biāo)的量綱不一致，不易作比較，且權(quán)重系數(shù)的取值方法目前還缺少相應(yīng)的研究和理論支撐，其有效性和適用性有待進(jìn)一步驗(yàn)證，具體實(shí)施時(shí)每個(gè)目標(biāo)及其分量都需計(jì)算權(quán)重，其過(guò)程較繁瑣。在上述研究成果基礎(chǔ)上，本文采用基于種群操作的多目標(biāo)優(yōu)化算法來(lái)求解考慮多個(gè)目標(biāo)的模型修正問(wèn)題，以長(zhǎng)沙中低速磁浮交通中一座典型連續(xù)軌道梁橋?yàn)楸尘?，形成一種適用于具有復(fù)雜附屬結(jié)構(gòu)的磁浮軌道梁的有限元模型修正方法。

1 多目標(biāo)優(yōu)化理論

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

最優(yōu)化問(wèn)題中，當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)時(shí)稱(chēng)之為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題；目標(biāo)函數(shù)有2個(gè)或大于2個(gè)，且需要被同時(shí)處理的優(yōu)化問(wèn)題就被稱(chēng)之為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。在工程應(yīng)用、生產(chǎn)管理以及國(guó)防建設(shè)等實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化問(wèn)題大多數(shù)是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)描述如下[13]：

式中：為維決策向量；為目標(biāo)向量；為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)；()定義了個(gè)由決策向量向目標(biāo)向量的映射函數(shù)；f()是第個(gè)目標(biāo)函數(shù)；g()為不等式約束；h()為等式約束；和為約束的個(gè)數(shù)；x?max和x?min為第維向量搜索的上下限。

圖1 雙目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的Pareto前沿

1.2 NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法

目前，多目標(biāo)優(yōu)化算法分為傳統(tǒng)優(yōu)化算法和智能優(yōu)化算法兩大類(lèi)。以單點(diǎn)搜索為特征的傳統(tǒng)優(yōu)化算法的核心思想是將多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)，采用常規(guī)單目標(biāo)優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的求解，包括加權(quán)法、約束法和線性規(guī)劃法等[13]。隨著各種智能算法和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，科研人員開(kāi)始采用多目標(biāo)粒子群算法、模擬退火算法、進(jìn)化算法和蟻群算法等[13]智能優(yōu)化算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，這些以種群操作為特征的多目標(biāo)演化算法可同時(shí)搜索可能的解，從而在一次運(yùn)行中就可以得到非劣解集，且對(duì)所求問(wèn)題的Pareto陣面的形狀和連續(xù)性并不敏感，因此該類(lèi)算法在求解實(shí)際的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)適用性更廣、功能更強(qiáng)大。其中，屬于進(jìn)化算法范疇的帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(Non-dominated sorting genetic algorithm-II，NSGA-Ⅱ)是一種經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法，該算法是Deb等[15]于2000年在NSGA算法的基礎(chǔ)上提出的，是目前為止最卓越的多目標(biāo)優(yōu)化算法之一，本文采用該算法求解模型修正的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

NSGA-Ⅱ算法的基本思想為：首先，隨機(jī)產(chǎn)生規(guī)模為的初始種群，非支配排序后通過(guò)遺傳算法的選擇、交叉和變異3個(gè)基本操作得到第1代子代種群；其次，從第2代開(kāi)始，將父代種群與子代種群合并，然后進(jìn)行快速非支配排序，同時(shí)對(duì)每個(gè)非支配層中的個(gè)體進(jìn)行擁擠度計(jì)算，根據(jù)非支配關(guān)系以及個(gè)體的擁擠度選取合適的個(gè)體組成新的父代種群；最后，通過(guò)遺傳算法的基本操作產(chǎn)生新的子代種群；依此類(lèi)推，直到滿足程序結(jié)束條件[16]。NSGA-Ⅱ算法相對(duì)于NSGA算法具有以下優(yōu)越 性[15]：1) 計(jì)算復(fù)雜度由原來(lái)的(3)降為(2)，其中為目標(biāo)函數(shù)個(gè)數(shù)，為種群規(guī)模；2) 采用擁擠度和擁擠度比較算子，代替NSGA中需要人為指定共享參數(shù)的適應(yīng)度共享策略，使準(zhǔn)Pareto域中的個(gè)體能擴(kuò)展到整個(gè)Pareto域，并均勻分布，保證了種群的多樣性；3) 引入精英策略，擴(kuò)大采樣空間，避免優(yōu)秀個(gè)體流失，改善了算法的魯棒性和收斂速度。

2 工程背景

長(zhǎng)沙中低速磁浮工程是我國(guó)首條擁有完全自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的中低速磁浮線路，其全長(zhǎng)18.55 km，連接長(zhǎng)沙火車(chē)南站和黃花機(jī)場(chǎng)，全程采用高架橋梁敷設(shè)，軌道梁橋型均為混凝土簡(jiǎn)支或連續(xù)梁。在磁浮車(chē)輛通過(guò)橋梁區(qū)段時(shí)，橋梁的動(dòng)力特性對(duì)車(chē)輛的懸浮穩(wěn)定性、動(dòng)力響應(yīng)以及乘車(chē)舒適性有顯著的影響，容易出現(xiàn)車(chē)橋耦合振動(dòng)問(wèn)題，因此需要建立一個(gè)精確、全面反應(yīng)橋梁結(jié)構(gòu)真實(shí)狀態(tài)的基準(zhǔn)有限元模型作為基礎(chǔ)進(jìn)行相關(guān)研究。

本文選取長(zhǎng)沙中低速磁浮工程中一座典型的混凝土連續(xù)軌道梁橋?yàn)檠芯繉?duì)象，其跨徑組合為25+35+25 m，由兩分離式箱梁組成，各箱梁上分置磁浮工程的兩線，兩線間距為4.4 m。單線軌道梁截面類(lèi)型為單箱單室等高預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁，箱梁頂面寬1.3 m，底面寬1.4 m，中心梁高2.42 m。兩分離箱梁通過(guò)端橫梁、中支點(diǎn)橫梁、跨中橫梁連接，兩側(cè)箱梁對(duì)應(yīng)各橫梁位置設(shè)置箱內(nèi)橫隔板。箱梁及橫梁的材料均為C50混凝土，橫梁待箱梁施工完成后再后澆形成。軌道梁橋墩采用花瓶型獨(dú)柱墩，材料為C40混凝土。軌道梁立面如圖2所示，橫斷面如圖3所示，竣工照片如圖4所示。

單位：cm

單位：cm

圖4 軌道梁竣工照片

軌道梁上各類(lèi)設(shè)施構(gòu)造復(fù)雜，其中F軌是使磁浮車(chē)輛實(shí)現(xiàn)懸浮并給其提供導(dǎo)向及牽引力的基礎(chǔ)構(gòu)件，是軌道結(jié)構(gòu)最重要的部件。F軌通過(guò)H型鋼軌枕、承軌臺(tái)和連接件等形成軌道結(jié)構(gòu)，把其承受的荷載傳遞到軌道梁上。除了軌道結(jié)構(gòu)，軌道梁上還作用有檢修通道、電纜及其支架、接觸軌、漏纜、AP天線、安全護(hù)欄等附屬設(shè)施，磁浮軌道結(jié)構(gòu)示意如圖5所示。

單位：mm

在橋梁施工及線路設(shè)施安裝完成后，對(duì)大橋進(jìn)行全橋靜載試驗(yàn)和模態(tài)測(cè)試，其中橋梁模態(tài)試驗(yàn)是在環(huán)境激勵(lì)下進(jìn)行，橋梁振動(dòng)加速度信號(hào)由傳感器拾振并通過(guò)放大器放大再由采集儀采集，采樣頻率為100 Hz，采用中國(guó)地震局工程力學(xué)研究所研制的941B型拾振器，拾振器布設(shè)于橋面，其順橋向布置情況如圖2所示，橫橋向布置于兩側(cè)箱梁中心線上，全橋共布置36個(gè)測(cè)點(diǎn)，測(cè)試時(shí)采用膠泥將拾振器黏貼在混凝土表面。振動(dòng)信號(hào)由結(jié)構(gòu)模態(tài)分析軟件MaCras進(jìn)行采集操作和處理，得到橋梁的前10階自振頻率和振型，測(cè)試結(jié)果如表2所示。

3 初始有限元模型的建立

磁浮連續(xù)軌道梁上部結(jié)構(gòu)主體由2道縱梁和18道橫梁組成，屬于典型的梁格受力體系，但其軌道結(jié)構(gòu)及其他附屬結(jié)構(gòu)的構(gòu)造較為復(fù)雜，F(xiàn)軌通過(guò)H型鋼軌枕、承軌臺(tái)和連接件與混凝土軌道梁形成組合受力結(jié)構(gòu)，常規(guī)的基于空間梁?jiǎn)卧牧焊穹y以模擬主體結(jié)構(gòu)與軌道等附屬結(jié)構(gòu)之間的相互作用，針對(duì)磁浮軌道梁的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，為了實(shí)現(xiàn)對(duì)其剛度、質(zhì)量、荷載和邊界條件的精確模擬，盡量減少模型階次誤差和離散誤差，采用大型軟件ANSYS建立其精細(xì)有限元模型，具體單元選取及建模策略 如下。

為了全面和準(zhǔn)確地模擬磁浮軌道梁的真實(shí)行為與工作狀態(tài)，軌道梁縱梁、橫梁采用三維實(shí)體單元Solid65建模；對(duì)于軌道結(jié)構(gòu)，為了準(zhǔn)確的模擬其剛度和質(zhì)量，采用殼單元Shell63模擬F軌，采用三維梁?jiǎn)卧狟eam188模擬H型鋼軌枕，F(xiàn)軌、H型鋼軌枕和承軌臺(tái)之間的連接采用節(jié)點(diǎn)耦合方式模擬；同時(shí)，為了控制計(jì)算規(guī)模和減少計(jì)算時(shí)間，橋墩采用三維梁?jiǎn)卧狟eam188模擬，軌道梁與橋墩之間的連接采用彈簧單元模擬，其彈簧剛度初始值按照支座剛度的換算值取值，橋墩底部采用固結(jié)邊界條件；除軌道結(jié)構(gòu)外的其他附屬設(shè)施剛度較小，不考慮其剛度，采用均布荷載模擬其自重，按設(shè)計(jì)圖紙確定荷載大小和施加位置。橋梁有限元模型的幾何參數(shù)按設(shè)計(jì)圖紙取值，材料參數(shù)按設(shè)計(jì)圖紙和相關(guān)規(guī)范取值，建立軌道梁的初始精細(xì)有限元模型如圖6所示。

圖6 軌道梁精細(xì)有限元模型

4 磁浮軌道梁橋有限元模型修正

4.1 修正參數(shù)的選取

為了提高模型修正時(shí)的計(jì)算效率，修正后的有限元模型能精準(zhǔn)地模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)，修正參數(shù)的選取是模型修正的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)。磁浮軌道梁的主要設(shè)計(jì)參數(shù)包括：混凝土縱梁、混凝土橫梁、橋墩、F軌、H型鋼軌枕和承軌臺(tái)等構(gòu)件的彈性模量與質(zhì)量密度以及邊界條件參數(shù)。依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)先從這些參數(shù)中選出初始待修正參數(shù)，然后再對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析，選出最終的待修正參數(shù)。

對(duì)于混凝土縱梁、橋墩，由于混凝土材料的離散性較大以及模型中未考慮普通鋼筋的原因，將混凝土縱梁、橋墩的彈性模量與質(zhì)量密度都作為初始的待修正參數(shù)?；炷翙M梁雖然與縱梁一樣采用C50混凝土，但考慮到混凝土橫梁施工是后澆的，其性狀可能與縱梁不完全一致，故將其彈性模量與質(zhì)量密度也作為區(qū)別于縱梁的初始待修正參數(shù)。對(duì)于F軌、H型鋼軌枕和承軌臺(tái)，前二者屬于鋼結(jié)構(gòu)，其材料彈性模量和密度較為穩(wěn)定、離散性很小，且其剛度和重量相對(duì)于混凝土軌道梁均較小，承軌臺(tái)雖然是混凝土材料，但其尺寸和剛度都較小，三者的彈模和重度參數(shù)均不作為初始待修正參數(shù)。對(duì)于軌道梁與橋墩之間的支座，因其水平橫向剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)頻率有一定影響，故分別把邊、中墩上支座的水平橫向剛度值作為初始待修正參數(shù)。

利用差分法計(jì)算各指標(biāo)對(duì)各參數(shù)正則化后的相對(duì)靈敏度如下[9]：

式中：Δ可取p/100；p為待修正參數(shù)的初始值；S為各指標(biāo)關(guān)于修正參數(shù)的靈敏度。結(jié)構(gòu)響應(yīng)向量是指模態(tài)頻率、振型等特征量及其組合。

上述初始修正參數(shù)的靈敏度分析結(jié)果如圖7所示，從圖中可以得出，橫梁的容重屬于靈敏度較小參數(shù)，除這個(gè)參數(shù)外其余7個(gè)參數(shù)均作為本次修正的待修正參數(shù)。為了確保修正參數(shù)具有明確的物理意義，修正后能貼近橋梁真實(shí)狀況，根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙、相關(guān)規(guī)范及工程經(jīng)驗(yàn)對(duì)修正參數(shù)的取值進(jìn)行了限定?？紤]到混凝土的彈性模量離散性較大，其變化范圍取為±30%；混凝土的容重變化范圍取為±20%；對(duì)于支座的橫向剛度初始值難以精確計(jì)算，可能存在一定偏差，采用±50%的變化范圍。最終選定的7個(gè)待修正參數(shù)及其初始值和變化范圍如表1所示。

圖7 參數(shù)靈敏度分析

表1 待修正參數(shù)

4.2 目標(biāo)函數(shù)

由于基于多目標(biāo)優(yōu)化的有限元模型修正方法是同時(shí)對(duì)多個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，且這些基于不同殘差的各目標(biāo)函數(shù)之間相互獨(dú)立，因此不需要考慮不同目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重，可根據(jù)橋梁靜動(dòng)力實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造不同的目標(biāo)函數(shù)。針對(duì)本橋模態(tài)測(cè)試和模型計(jì)算數(shù)據(jù)構(gòu)造頻率和振型的目標(biāo)函數(shù)如下：

4.3 模型修正過(guò)程

參數(shù)型有限元模型修正的本質(zhì)是結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的問(wèn)題，本文基于多目標(biāo)優(yōu)化的磁浮軌道梁有限元模型修正的本質(zhì)是以構(gòu)建的包含頻率和MAC的目標(biāo)函數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，采用NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，尋求非劣解。模型修正具體實(shí)施是通過(guò)在數(shù)學(xué)軟件MATLAB和有限元分析軟件ANSYS中自編程序?qū)SGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法和有限元分析結(jié)合起來(lái)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化求解。有限元建模和分析在有限元軟件ANSYS中完成，多目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程在數(shù)學(xué)軟件MATLAB中實(shí)現(xiàn)，ANSYS的批處理啟動(dòng)模式(Batch模式)與MATLAB的強(qiáng)大運(yùn)算和集成功能使得二者可以有機(jī)結(jié)合。在Batch模式下，ANSYS在后臺(tái)啟動(dòng)并運(yùn)行指定的APDL命令文件，并輸出指定結(jié)果；ANSYS分析完成后，MATLAB程序再調(diào)用ANSYS的分析結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，模型中ANSYS的輸入、計(jì)算和輸出全部采用APDL語(yǔ)言編程完成。編制基于NSGA-Ⅱ算法的磁浮軌道梁橋有限元模型修正的程序系統(tǒng)，其流程如圖8所示。多目標(biāo)標(biāo)優(yōu)化參數(shù)設(shè)置：種群規(guī)模為60，最大進(jìn)化代數(shù)50，交叉概率0.9，變異概率0.1，初始種群如圖9所示。

4.4 模型修正結(jié)果

按設(shè)定的參數(shù)進(jìn)行若干代優(yōu)化計(jì)算后，得到磁浮軌道梁橋有限元模型修正非支配個(gè)體分布及其Pareto前沿如圖10所示，從圖中可以看出，Pareto解在前沿上的分布較為均勻、形態(tài)較好，保持了較好的多樣性，Pareto前沿曲線上的最凸點(diǎn)明顯，獲得了一個(gè)較好的協(xié)調(diào)最優(yōu)解，該解對(duì)應(yīng)的修正前后的頻率和MAC值比較見(jiàn)表2，修正參數(shù)與修正前的對(duì)比情況如表3所示。從表2可看出，修正后有限元模型的計(jì)算頻率與實(shí)測(cè)頻率更加吻合，頻率偏差最大對(duì)應(yīng)振型為橫向6階彎曲，相差1.01%，其余各階頻率相差都在1%以內(nèi)；修正后各階振型的MAC值也得到改善，均大于0.90，表明修正后各階計(jì)算振型和理論振型相關(guān)性較好。從頻率和MAC的修正結(jié)果來(lái)看，基于多目標(biāo)優(yōu)化的磁浮軌道梁橋有限元模型修正取得了較好的效果。

圖8 有限元模型修正流程圖

圖9 初始種群

圖10 Pareto最優(yōu)解

從表3中可得，修正后軌道梁和橋墩材料的彈性模量比規(guī)范規(guī)定值均有一定幅度的提高，主要是因?yàn)榛炷敛牧蠌椥阅Ａ勘旧淼碾x散性及混凝土內(nèi)配有大量鋼筋的原因；軌道梁和橋墩材料的容重參數(shù)也比初始值有一定的提高，這主要是因?yàn)榛炷羶?nèi)配有大量鋼筋，折合容重比純混凝土有一定的提高；橫梁雖然與縱梁都采用C55混凝土，但橫梁是后澆施工，其材料彈性模量修正結(jié)果略大于規(guī)范值，但小于縱梁材料彈性模量值；邊墩和中墩支座橫向剛度值修正幅度都較大，分別達(dá)到38.29%和20.46%，可見(jiàn)，在初始有限元模型中，對(duì)模擬支座橫向約束的彈簧剛度初始值確定有一定的難度。綜上所述，修正后的設(shè)計(jì)參數(shù)均處于參數(shù)的可能取值范圍內(nèi)，除支座剛度參數(shù)外沒(méi)有出現(xiàn)修正過(guò)大的參數(shù)，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法的模型修正在取得較好修正效果的同時(shí)，確保了設(shè)計(jì)參數(shù)的物理意義。

表2 模型修正前后動(dòng)力特性

表3 模型修正前后參數(shù)值

5 結(jié)論

1) 針對(duì)具有復(fù)雜附屬結(jié)構(gòu)的磁浮軌道梁結(jié)構(gòu)，采用實(shí)體、殼、梁?jiǎn)卧冉⑵渚?xì)初始有限元模型，該模型能精確模擬軌道梁與軌道結(jié)構(gòu)之間的相互作用，減少了模型的階次和離散誤差，為高效的有限元模型修正奠定了基礎(chǔ)。

2) 采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算 法(NSGA-Ⅱ)對(duì)一座磁浮連續(xù)軌道梁橋有限元模型進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化修正，獲得分布較均勻的Pareto非劣解集，在此基礎(chǔ)上，利用最凸點(diǎn)法得到了Pareto解集中的協(xié)調(diào)最優(yōu)解。

3) 基于多目標(biāo)優(yōu)化的有限元模型修正方法不但能避免現(xiàn)有的模型修正方法中將多個(gè)子目標(biāo)函數(shù)組合轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)時(shí)人為確定權(quán)重系數(shù)給模型修正帶來(lái)的主觀性影響，而且模型修正效果也較為理想，修正后的有限元模型能夠精確全面地模擬實(shí)際結(jié)構(gòu)，且能確保設(shè)計(jì)參數(shù)合理且具有明確物理意義，可作為該橋的基準(zhǔn)有限元模型。

[1] ZONG Z, LIN X, NIU J. Finite element model validation of bridge based on structural health monitoring-Part I: Response surface-based finite element model updating[J]. Journal of Traffic & Transportation Engineering, 2015, 2(4): 258?278.

[2] SHAN Deshan, LI Qiao, Inamullah Khan, et al. A novel finite element model updating method based on substructure and response surface model[J]. Engineering Structures, 2015, 103:147?156.

[3] 宗周紅, 夏樟華. 聯(lián)合模態(tài)柔度和靜力位移的橋梁有限元模型修正方法[J]. 中國(guó)公路學(xué)報(bào), 2008, 21(6): 43?49. ZONG Zhouhong, XIA Zhanghua. Finite element model updating method of bridge combined modal flexibility and static displacement[J]. China Journal of Highway and Transport, 2008, 21(6): 43?49.

[4] 方志, 張國(guó)剛, 唐盛華, 等. 混凝土斜拉橋動(dòng)力有限元建模與模型修正[J]. 中國(guó)公路學(xué)報(bào), 2013, 26(3): 77?85. FANG Zhi, ZHANG Guogang, TANG Shenghua, et al. Finite element modeling and model updating of concrete cable-stayed bridge[J]. China Journal of Highway and Transport, 2013, 26(3): 77?85.

[5] REN W X, CHEN H B. Finite element model updating in structural dynamics by using the response surface method[J]. Engineering Structures, 2010, 32(8): 2455? 2465.

[6] 鐘儒勉, 樊星辰, 黃學(xué)漾, 等. 基于兩階段響應(yīng)面方法的結(jié)合梁斜拉橋多尺度有限元模型修正[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2013, 43(5): 993?999. ZHONG Rumian, FAN Xingchen, HUANG Xueyang, et al. Multi-scale finite element model updating of composite cable-stayed bridge based on two-phase response surface methods[J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2013, 43(5): 993?999.

[7] 周林仁, 歐進(jìn)萍. 斜拉橋結(jié)構(gòu)模型修正的子結(jié)構(gòu)方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(19): 52?58. ZHOU Linren, OU Jinping. A substructure method for structural model upating of long span cable stayed bridges[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(19): 52?58.

[8] 胡俊亮, 顏全勝, 鄭恒斌, 等. 基于Kriging模型的鋼管混凝土連續(xù)梁拱橋有限元模型修正[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014, 33(14): 33?39. HU Junliang, YAN Quansheng, ZHENG Hengbin, et al. CFST arch/continuous beam bridge FEM model updating based on Kriging model[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(14): 33?39.

[9] 郁勝, 周林仁, 歐進(jìn)萍. 基于徑向基函數(shù)響應(yīng)面方法的超大跨懸索橋有限元模型修正[J]. 鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2014, 11(1): 1?9. YU Sheng, ZHOU Linren, OU Jingping. Finite element model updating of large suspension bridge based on radial basis function response surface[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2014, 11(1): 1?9.

[10] 駱勇鵬, 黃方林, 廖明皓, 等. 基于逐步回歸分析的既有鐵路鋼桁橋有限元模型修正[J]. 鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2015, 12(5): 1111?1115. LUO Yongpeng, HUANG Fanglin, LIAO Minghao, et al. Existing railway steel truss bridge finite element model updating based on stepwise regression[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2015, 12(5): 1111?1115.

[11] 何濤, 張巍, 吳植安. 基于動(dòng)靜載試驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)應(yīng)力混凝土梁模型修正方法試驗(yàn)研究[J]. 公路交通科技, 2015, 32(12): 75?80. HE Tao, ZHANG Wei, WU Zhian. Experimental research on model updating method of prestressed concrete girder based on dynamic and static loading test data[J]. Journal of Highway and Transportation Research and Development, 2015, 32(12): 75?80.

[12] 鄔曉光, 劉英, 馮宇, 等. 基于動(dòng)態(tài)系數(shù)的靜動(dòng)力有限元模型修正研究[J]. 鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào), 2017, 14(3): 543?551. WU Xiaoguang, LIU Ying, FENG Yu, et al. Research on static and dynamics finite element model updating method based on dynamic coefficient[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2017, 14(3): 543?551.

[13] 肖曉偉, 肖迪, 林錦國(guó), 等. 多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的研究概述[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2011, 28(3): 805?808. XIAO Xiaowei, XIAO Di, LIN Jinguo, et al. Overview on multi-objective optimization problem research[J]. Application Research of Computers, 2011, 28(3): 805? 808.

[14] Kalyanmoy Deb, Shivam Gupta. Understanding knee points in bicriteria problems and their implications as preferred solution principles[J]. Engineering Optimization, 2011, 43(11): 1175?1204.

[15] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, 6(2): 182?197.

[16] 盧小亭. 多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法選擇方法的研究與改進(jìn)[D]. 淮南: 安徽理工大學(xué), 2008. LU Xiaoting. The research and improvement on selection method of multi-objective optimization genetic algorithms[D]. Huainan: Anhui University of Science & Technology, 2008.

Research on finite element model updating of maglev track beam based on multi-objective optimization

PENGTao1, TIAN Zhongchu1, LIANG Xiao1, 2, CHENG Kui1

(1. School of Civil Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China; 2. Hunan Maglev Transportation Development Co., Ltd, Changsha 410014, China)

Based on the fine finite element modeling and multi-objective optimization algorithm, a method for finite element model updating was proposed to get the baseline finite element model of maglev track beams with complex auxiliary structures. Taking a typical maglev continuous track beam bridge as the research object, a fine initial finite element model was established. Based on sensitivity analysis, we choose the parameters to be corrected, and used the measured dynamic responses of modal frequencies and mode shapes to construct the modified objective function. The multi-objective optimization problem was solved by NSGA-II algorithm. Thus, the Pareto optimal set of multi-objective optimization problem with finite element model updating was obtained. The results show that the modal frequency and the calculated value of the model are in good agreement with the measured values. The modified finite element model can accurately and comprehensively simulate the actual structure, and it can ensure that the design parameters are reasonable and have clear physical meaning.

medium and low speed maglev; track beam; FEM updating; multi-objective optimization

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.01.024

U448.21；TU311.4

A

1672 ? 7029(2019)01 ? 0176 ? 09

2018?04?28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51478049)；湖南省科技重大專(zhuān)項(xiàng)資助項(xiàng)目(2015GK1001)；長(zhǎng)沙理工大學(xué)土木工程優(yōu)勢(shì)特色重點(diǎn)學(xué)科資助項(xiàng)目(11ZDXK07)；長(zhǎng)沙理工大學(xué)橋梁工程開(kāi)放基金資助項(xiàng)目(11KA04)

田仲初(1963?)，男，湖南慈利人，教授，博士，從事橋梁結(jié)構(gòu)分析與施工控制、健康監(jiān)測(cè)方面的研究；E?mail：382525361@qq.com

(編輯 陽(yáng)麗霞)