曹豪榮，彭立敏，杜昆，雷明鋒, 2，劉瑤

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基于排隊(duì)論的中硬圍巖長(zhǎng)大隧道施工機(jī)群優(yōu)化配置方法

曹豪榮1，彭立敏1，杜昆1，雷明鋒1, 2，劉瑤1

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075； 2. 重載鐵路工程結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

針對(duì)隧道施工過(guò)程中各作業(yè)線內(nèi)部產(chǎn)生的機(jī)械排隊(duì)作業(yè)現(xiàn)象，采用隨機(jī)過(guò)程排隊(duì)論方法以Ⅲ級(jí)圍巖為例研究中硬圍巖長(zhǎng)大隧道施工循環(huán)作業(yè)線中機(jī)械配套問(wèn)題，提出顧客為有限源的M/M/1/m/m排隊(duì)系統(tǒng)的求解方法，由此得到基于快速施工的最優(yōu)機(jī)械配套方案。結(jié)合黃巖隧道妹子娘沖斜井段的工程實(shí)例，得到Ⅲ級(jí)圍巖下出碴運(yùn)輸系統(tǒng)以及錨噴支護(hù)系統(tǒng)的最優(yōu)配置，可為工程實(shí)際施工提供一定參考。

隧道施工；排隊(duì)系統(tǒng)；快速施工；機(jī)械配套；最優(yōu)配置

在隧道施工過(guò)程中，各作業(yè)線內(nèi)部都會(huì)產(chǎn)生機(jī)械排隊(duì)問(wèn)題。以出碴運(yùn)輸作業(yè)線和錨噴支護(hù)作業(yè)線為例，在這2條作業(yè)線中，由挖掘機(jī)與裝載機(jī)組成的掌子面出碴機(jī)組、車(chē)載式濕噴機(jī)組作為服務(wù)臺(tái)，自卸汽車(chē)運(yùn)碴、混凝土運(yùn)輸車(chē)作為接受服務(wù)的顧客。若顧客偏少，服務(wù)臺(tái)長(zhǎng)時(shí)間處于閑置狀態(tài)，影響施工效率；若顧客偏多，又會(huì)出現(xiàn)在服務(wù)臺(tái)排隊(duì)的現(xiàn)象，即自卸汽車(chē)、混凝土運(yùn)輸車(chē)運(yùn)力過(guò)剩而裝載機(jī)、車(chē)載式濕噴機(jī)效率不足，這樣又會(huì)導(dǎo)致臺(tái)班費(fèi)的無(wú)故增加。因此，如何確定挖掘機(jī)、裝載機(jī)與自卸汽車(chē)和車(chē)載式濕噴機(jī)與混凝土運(yùn)輸車(chē)的組合方案顯得尤為重要。上述產(chǎn)生的排隊(duì)問(wèn)題，其最有效的解決方案是利用隨機(jī)過(guò)程理論中的排隊(duì)論。排隊(duì)理論，是研究系統(tǒng)的隨機(jī)聚散現(xiàn)象、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過(guò)程的數(shù)學(xué)理論及其方法，又叫做隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論[1]。排隊(duì)理論越來(lái)越得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的重視，LU等[2?3]基于排隊(duì)理論對(duì)公共醫(yī)療資源合理分配進(jìn)行研究與探討；Haghighinejad等[4]應(yīng)用排隊(duì)理論和仿真模型對(duì)急救中心服務(wù)進(jìn)行最優(yōu)化，從而減少了患者的等待時(shí)間；WANG等[5]采用M/M/c模型對(duì)銀行客戶(hù)排隊(duì)服務(wù)進(jìn)行模擬，并得到最優(yōu)解；XIONG等[6]基于排隊(duì)理論對(duì)虹橋交通樞紐旅客信息服務(wù)模式進(jìn)行研究與設(shè)計(jì)；Iyer[7]利用排隊(duì)理論對(duì)運(yùn)輸服務(wù)效率進(jìn)行研究，并進(jìn)一步提高了運(yùn)輸能力；Naima等[8]基于排隊(duì)理論對(duì)交通擁擠現(xiàn)象展開(kāi)分析，并提出相應(yīng)的最優(yōu)解決方案；李波[9]基于排隊(duì)論對(duì)地鐵服務(wù)效率進(jìn)行最優(yōu)化研究；PENG等[10]應(yīng)用排隊(duì)理論對(duì)綜合鐵路客運(yùn)樞紐城市交通疏散系統(tǒng)進(jìn)行疏散效率優(yōu)化研究。排隊(duì)論在生活中的應(yīng)用非常廣泛，針對(duì)隧道施工過(guò)程中排隊(duì)問(wèn)題也最好采用排隊(duì)理論進(jìn)行解決。顯然，在出碴運(yùn)輸作業(yè)線中，最理想的工作狀態(tài)是：當(dāng)一輛自卸汽車(chē)在服務(wù)臺(tái)被裝滿離開(kāi)的同時(shí)，下一輛自卸汽車(chē)剛好到達(dá)服務(wù)臺(tái)開(kāi)始接受服務(wù)。容易得知，服務(wù)臺(tái)的服務(wù)效率與顧客的到達(dá)率是對(duì)該系統(tǒng)至關(guān)重要的2個(gè)因素。通過(guò)排隊(duì)論解決作業(yè)線內(nèi)部各工序間機(jī)群配套作業(yè)方案時(shí)，首先要研究的問(wèn)題是單工序機(jī)械設(shè)備的單機(jī)作業(yè)特性[11?13]。

1 中硬圍巖全斷面施工流程

以Ⅲ級(jí)圍巖為例，中硬圍巖隧道單循環(huán)進(jìn)尺的關(guān)鍵工序作業(yè)流程如下。

1) 測(cè)量放線。

2) 鑿巖臺(tái)車(chē)根據(jù)鉆爆眼位設(shè)計(jì)圖在掌子面進(jìn)行鉆孔，而后進(jìn)行人工裝藥爆破，降塵及清危后開(kāi)始出碴運(yùn)輸作業(yè)線。

3) 出碴運(yùn)輸作業(yè)線由挖掘機(jī)、裝載機(jī)及自卸汽車(chē)組成。挖掘機(jī)與裝載機(jī)構(gòu)成服務(wù)體系服務(wù)臺(tái)，自卸汽車(chē)在服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)后將石碴運(yùn)至棄碴場(chǎng)，空車(chē)返回工作面，完成一次運(yùn)輸循環(huán)。

4) 錨噴支護(hù)作業(yè)線由車(chē)載式濕噴機(jī)與混凝土運(yùn)輸車(chē)組成。濕噴機(jī)作為服務(wù)體系服務(wù)臺(tái)，混凝土運(yùn)輸車(chē)在服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)(將混凝土裝料到濕噴機(jī)中)返回拌料場(chǎng)，裝料后又運(yùn)輸至工作面，完成一次運(yùn)料循環(huán)。

5) 濕噴機(jī)作業(yè)完成后，結(jié)束錨噴支護(hù)作業(yè)線。從鑿巖臺(tái)車(chē)開(kāi)始工作至初期支護(hù)結(jié)束便完成了一次中硬圍巖(以Ⅲ級(jí)圍巖為例)Ⅲ級(jí)圍巖單循環(huán) 進(jìn)尺。

作業(yè)流程如圖1所示。

圖1 Ⅲ級(jí)圍巖單循環(huán)進(jìn)尺機(jī)群作業(yè)流程圖

2 顧客為有限源的M/M/1/m/m型排隊(duì)系統(tǒng)

排隊(duì)系統(tǒng)的基本要素有：輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)[14?15]。

1) 輸入過(guò)程：輸入過(guò)程是指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的規(guī)律。一般來(lái)說(shuō)，到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的規(guī)律與不同機(jī)械的單機(jī)運(yùn)行規(guī)律和作業(yè)特性相關(guān)，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)的試驗(yàn)研究容易得到在出碴運(yùn)輸作業(yè)線與錨噴支護(hù)作業(yè)線中，顧客間相互獨(dú)立，均以負(fù)指數(shù)分布的時(shí)間間隔到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)。

2) 排隊(duì)規(guī)則：排隊(duì)規(guī)則指的是排隊(duì)顧客接受服務(wù)的順序，即為先到先服務(wù)制度(FCFS：First Come First Service)。

3) 服務(wù)機(jī)構(gòu)：指的是服務(wù)臺(tái)的數(shù)量、串并聯(lián)關(guān)系以及服務(wù)時(shí)間規(guī)律，且裝載機(jī)與車(chē)載式濕噴機(jī)均以負(fù)指數(shù)分布的時(shí)間間隔進(jìn)行服務(wù)。

為對(duì)不同排隊(duì)系統(tǒng)加以區(qū)分描述，用“Kendall記號(hào)”對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行命名，其固定格式：A/B/C/D/ E/F，其中，A為顧客進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)間間隔概率分布；B為服務(wù)時(shí)間概率分布；C為服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)；D為排隊(duì)系統(tǒng)中顧客容量限額；E為顧客源限額；F為排隊(duì)規(guī)則(省略則默認(rèn)為FCFS型)。

故M/M/1/m/m型排隊(duì)系統(tǒng)即為：顧客源為限額，到達(dá)時(shí)間間隔按負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)服務(wù)時(shí)間間隔按負(fù)指數(shù)分布的排隊(duì)系統(tǒng)，如圖2。

圖2 M/M/1/m/m型排隊(duì)系統(tǒng)

記以下常用符號(hào)：s為平均隊(duì)長(zhǎng)(排隊(duì)顧客與接受服務(wù)顧客數(shù)量之和)；q為平均排隊(duì)長(zhǎng)(排隊(duì)顧客數(shù)量)；s為平均逗留時(shí)間(排隊(duì)時(shí)間與接受服務(wù)時(shí)間之和)；q為平均等待時(shí)間(排隊(duì)時(shí)間)；為顧客平均到達(dá)率；1/為顧客平均到達(dá)時(shí)間間隔；為平均服務(wù)率；1/為平均服務(wù)時(shí)間；P為系統(tǒng)中有個(gè)顧客的概率。

在該排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客平均到達(dá)率為，而顧客源為，那么在系統(tǒng)外的顧客平均數(shù)為?s，所以系統(tǒng)的有效到達(dá)率為：e=(?s)考慮排隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定后，達(dá)到“輸入”=“輸出”狀態(tài)，可得到如下關(guān)于P狀態(tài)的差分方程：

求解上述差分方程得：

其中：

將式(2)與式(3)聯(lián)立可得：

即：

進(jìn)而求得排隊(duì)系統(tǒng)的主要績(jī)效指標(biāo)：

1) 平均隊(duì)長(zhǎng)期望值s：

2) 平均排隊(duì)長(zhǎng)期望值q：

3) 顧客平均逗留時(shí)間期望值s：

4) 顧客平均等待時(shí)間期望值W：

5) 系統(tǒng)有效到達(dá)率e：

利用Microsoft Excel編制M/M/1/m/m型排隊(duì)系統(tǒng)求解器，見(jiàn)圖3。

ABCDEFGHIJK 1模型參數(shù)輸入 2時(shí)間單位Min 3平均到達(dá)率λ 4平均服務(wù)率μ 5顧客員m 6系統(tǒng)中的顧客數(shù)n(1,m) 7模型輸出參數(shù) 8平均到達(dá)時(shí)間間隔(1/λ)=1/B3 9平均服務(wù)時(shí)間(1/μ)=1/B4 10服務(wù)強(qiáng)度=B3/B4 11 12主要績(jī)效測(cè)度指標(biāo) 13系統(tǒng)中顧客為0的概率ρ0=IF(B5=1,B25,IF(B5=2,C25,IF(B5=3,D25,IF(B5=4,E25,IF(B5=5,F25,IF(B5=6,G25,IF(B5=7,H25,IF(B5=8,I25,IF(B5=9J25,IF(B5=10,K25)))))))))) 14系統(tǒng)中顧客為n的概率ρn=(FACT(B5)/FACT(B5?B6))*(B3/B4)^B6*B13 15有效到達(dá)率λe=B4*(1?B13) 16對(duì)長(zhǎng)期望值Ls=B5?(B4/B3)*(1?B13) 17隊(duì)列長(zhǎng)期望值Lq=B16?(1?B13) 18逗留時(shí)間期望值Ws=B5/(B4*(1?B13))?1/B13 19等待時(shí)間Wq=B18?1/B4 20 21P0計(jì)算 22m12345678910 23=(FACT($B$5)/FACT($B$5?B22))*$B$10^B22 24B23=B23+C23=C24+D23=D24+E23=E24+F23=F24+G23=G24+H23=H24+I23=I24+J23=J24+K23 25=1/B24=1/C24=1/D24=1/E24=1/F24=1/G24=1/H24=1/I24=1/J24=1/K24

圖3 M/M/1/m/m模型算法

Fig. 3 Arithmetic of M/M/1/m/m model

3 案例分析

以黃巖隧道妹子娘沖斜井段為例，對(duì)出碴運(yùn)輸與錨噴支護(hù)作業(yè)線分別進(jìn)行機(jī)群優(yōu)化配置。

3.1 出碴運(yùn)輸作業(yè)線機(jī)群狀態(tài)分析

在出碴運(yùn)輸作業(yè)線中，自卸汽車(chē)在卸碴場(chǎng)卸碴不存在排隊(duì)現(xiàn)象，即自卸汽車(chē)抵達(dá)卸碴場(chǎng)便可以卸碴。其排隊(duì)系統(tǒng)如圖4。

裝載機(jī)裝碴時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，每裝一車(chē)碴平均耗時(shí)4.3 min；自卸汽車(chē)到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，每循環(huán)時(shí)間耗時(shí)30 min，據(jù)此可得到該排隊(duì)系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)：=1/30，=1/4.3，=/=0.143 3。

圖4 出碴運(yùn)輸作業(yè)線循環(huán)系統(tǒng)

在該工作面現(xiàn)場(chǎng)施工中，自卸汽車(chē)數(shù)量為7臺(tái)，服務(wù)臺(tái)空閑等待時(shí)間為105 min。為尋求最佳配置方案，在Excel求解器中輸入模型參數(shù)，令=5，6，7，8，9和10。排隊(duì)系統(tǒng)主要績(jī)效測(cè)度指標(biāo)見(jiàn)表1。分析可見(jiàn)：

1) 當(dāng)自卸汽車(chē)數(shù)量為7臺(tái)時(shí)，0為0.329，即裝載機(jī)有0.329的概率處于閑置狀態(tài)，現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)裝載機(jī)閑置時(shí)間為105 min，對(duì)施工進(jìn)度影響較大。

2) 若配置自卸汽車(chē)數(shù)量由7臺(tái)增至8臺(tái)時(shí)，顧客等待時(shí)間q有所降低，而從8臺(tái)增至9臺(tái)時(shí)，顧客等待時(shí)間q又有所回升。其非一致性變化表明，當(dāng)自卸汽車(chē)數(shù)量少于7臺(tái)時(shí)，數(shù)量偏少，不能滿足運(yùn)力要求，到達(dá)工作面時(shí)間很不均勻，在某段時(shí)間幾輛車(chē)同時(shí)到達(dá)，使得服務(wù)臺(tái)處于滿載狀態(tài)，在其他時(shí)間又沒(méi)有一輛車(chē)到達(dá)，使得服務(wù)臺(tái)閑置；而當(dāng)自卸汽車(chē)數(shù)量增加至8臺(tái)及以上時(shí)，運(yùn)力逐漸滿足要求，自卸汽車(chē)到達(dá)工作面時(shí)間較為均勻。

3) 當(dāng)自卸汽車(chē)數(shù)量為10臺(tái)時(shí)，裝載機(jī)僅有0.084的概率處于閑置狀態(tài)，出碴運(yùn)輸循環(huán)銜接緊密，同時(shí)自卸汽車(chē)平均等待時(shí)間為12.633 min，相較于7臺(tái)車(chē)的10.544 min增加幅度不大。

4) 自卸汽車(chē)數(shù)量選用10臺(tái)。相較于現(xiàn)場(chǎng)7臺(tái)自卸汽車(chē)的配置，效率提升24.5%。

表1 不同自卸汽車(chē)數(shù)量配置的排隊(duì)系統(tǒng)績(jī)效測(cè)度表

3.2 錨噴支護(hù)作業(yè)線機(jī)群狀態(tài)分析

在錨噴支護(hù)作業(yè)線中，混凝土運(yùn)輸車(chē)在混凝土攪拌站裝料不存在排隊(duì)現(xiàn)象，即混凝土攪拌站供料能力充足，混凝土運(yùn)輸車(chē)到達(dá)后便可裝料。其排隊(duì)系統(tǒng)如圖5。

圖5 錨噴支護(hù)作業(yè)線循環(huán)系統(tǒng)

車(chē)載式濕噴機(jī)噴射每車(chē)混凝土?xí)r間服從負(fù)指數(shù)分布，每噴一車(chē)平均耗時(shí)33.5 min；混凝土運(yùn)輸車(chē)到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，每循環(huán)時(shí)間耗時(shí)87.5 min，據(jù)此可得到該排隊(duì)系統(tǒng)的輸入?yún)?shù)：=1/87.5，=1/33.5，=0.383。

在該工作面現(xiàn)場(chǎng)施工中，混凝土運(yùn)輸車(chē)數(shù)量為3臺(tái)，單循環(huán)進(jìn)尺工序耗時(shí)中服務(wù)臺(tái)空閑等待時(shí)間為115 min。為尋求最佳配置方案，在Excel求解器中輸入模型參數(shù)，令=3，4，5，6，7和8。排隊(duì)系統(tǒng)主要績(jī)效測(cè)度指標(biāo)見(jiàn)表2。從中可見(jiàn)：

1) 當(dāng)混凝土運(yùn)輸車(chē)數(shù)量由3臺(tái)增至4臺(tái)時(shí)，顧客等待時(shí)間q有所降低，而從4臺(tái)增至5臺(tái)時(shí)，顧客等待時(shí)間q又有所回升。其非一致性變化表明，當(dāng)混凝土運(yùn)輸車(chē)數(shù)量為3臺(tái)時(shí)，數(shù)量偏少，運(yùn)力不足，到達(dá)工作面時(shí)間很不均勻，在某段時(shí)間幾輛車(chē)同時(shí)到達(dá)，使得服務(wù)臺(tái)處于滿載狀態(tài)，在其他時(shí)間又沒(méi)有一輛車(chē)到達(dá)，使得服務(wù)臺(tái)閑置；而當(dāng)自卸汽車(chē)數(shù)量增加至4臺(tái)及以上時(shí)，運(yùn)力逐漸滿足要求，自卸汽車(chē)到達(dá)工作面時(shí)間較為均勻。

2) 當(dāng)混凝土運(yùn)輸車(chē)數(shù)量為4臺(tái)時(shí)，雖然排隊(duì)長(zhǎng)期望值q為1.089，滿足理想工序銜接情況，即一輛車(chē)在接受服務(wù)的同時(shí)只有一輛車(chē)在排隊(duì)等待。但服務(wù)臺(tái)仍有0.194的概率處于閑置狀態(tài)，基于快速施工目標(biāo)考慮，該閑置概率仍然偏高。

3) 當(dāng)混凝土運(yùn)輸車(chē)數(shù)量增至5臺(tái)及以上時(shí)，服務(wù)臺(tái)閑置概率已低于0.1，同時(shí)5臺(tái)車(chē)的排隊(duì)長(zhǎng)期望值q為1.695，平均等待時(shí)間q為62.040 min，相較于3臺(tái)車(chē)是0.915的排隊(duì)長(zhǎng)和53.139的平均等待時(shí)間來(lái)講略有提高，但處于可接受水平。

4) 混凝土運(yùn)輸車(chē)數(shù)量選用5臺(tái)，相較于現(xiàn)場(chǎng)3臺(tái)混凝土運(yùn)輸車(chē)的配置，效率提升33.8%。

表2 不同混凝土運(yùn)輸車(chē)數(shù)量配置的排隊(duì)系統(tǒng)績(jī)效測(cè)度表

3.3 工程機(jī)械化配套方案評(píng)價(jià)

經(jīng)過(guò)以上黃巖隧道機(jī)械選型評(píng)定與機(jī)群施工模式分析可以看出：

1) 該工程機(jī)械設(shè)備選型情況合理，屬于在給定影響因素下的最優(yōu)方案選擇?，F(xiàn)場(chǎng)施工機(jī)械化程度極高，相較于傳統(tǒng)隧道施工方案，施工進(jìn)度和施工成本都有了很大的改善。

2) 現(xiàn)場(chǎng)循環(huán)進(jìn)尺機(jī)械配套數(shù)量略有不妥，有待改進(jìn)。應(yīng)加強(qiáng)各工序間的銜接以便實(shí)現(xiàn)快速施工的需求。

3) 隨著工程的不斷進(jìn)展，排隊(duì)系統(tǒng)中的相對(duì)參數(shù)應(yīng)加以相應(yīng)調(diào)整，機(jī)械配套方案也要作出相適應(yīng)的改變。

4 結(jié)論

1) 基于隨機(jī)過(guò)程排隊(duì)論方法，研究提出顧客為有限源排隊(duì)系統(tǒng)的求解方法，得到隧道Ⅲ級(jí)圍巖段快速施工的最優(yōu)機(jī)械配套方案。

2) 依托黃巖隧道妹子娘沖斜井段工程進(jìn)行實(shí)例分析，獲得該隧道Ⅲ級(jí)圍巖段快速施工機(jī)群配套方案：1臺(tái)挖掘機(jī)+1臺(tái)裝載機(jī)+10臺(tái)自卸汽車(chē)；錨噴支護(hù)系統(tǒng)最優(yōu)配置為：1臺(tái)車(chē)載式濕噴機(jī)+5臺(tái)混凝土運(yùn)輸車(chē)。

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Optimal allocation of long tunnel construction machinery groups in middle hard surrounding rock based on queuing theory

CAO Haorong1, PENG Limin1, DU Kun1, LEI Mingfeng1, 2, LIU Yao1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. Key Laboratory of Engineering Structure of Heavy Haul Railway (Central South University), Changsha 410075, China)

Aimed at the mechanical queuing phenomenon produced within the each working line of tunnel during long tunnel construction, and the problem of mechanical matching in the loop operation line was studied based on the queuing theory of the stochastic process theory by taking grade III wall rock as a example. A method for solving the M/M/1/m/m queuing system with limited sources was proposed. Then, the optimal mechanical matching scheme based on rapid construction was obtained. Finally, combined with the engineering example of the Huangyan tunnel, the optimum configuration of the mucking and transporting system and the bolting and shotcrete supporting system under grade III wall rock was obtained, and it can provide some reference for the actual construction of the project.

tunneling; queuing system; rapid construction; mechanical matching; optimal allocation

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.02.033

TU745.3

A

1672 ? 7029(2019)02 ? 0535 ? 07

2018?02?01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51508575, U1734208)；中建股份科研項(xiàng)目(CSCEC-2016-Z-21-1)

雷明鋒(1982?)，男，湖南祁東人，副教授，博士，從事隧道與地下工程方面的教學(xué)與科研工作；E?mail：mingdfenglei@csu.edu.cn

(編輯 陽(yáng)麗霞)