王玉利, 熊清泉

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 成都 四川 610066)

模糊關(guān)系在模糊系統(tǒng)的討論中有著重要的地位,模糊關(guān)系方程則是模糊關(guān)系研究的主要內(nèi)容之一.模糊關(guān)系方程的求解問題在實(shí)際中的應(yīng)用非常廣泛,所以有不少學(xué)者對(duì)模糊關(guān)系方程求解問題進(jìn)行了深入研究,也得到了豐富的結(jié)論.基于對(duì)模糊關(guān)系方程的研究成果,部分學(xué)者也對(duì)雙線性方程的求解及性質(zhì)做了研究[1-7].從有限到無限、從單位區(qū)間[0,1]到完備格都給出了一些結(jié)論.1987年,湯服成[1]首先對(duì)max-min合成模糊雙線性方程作了詳細(xì)論述,并且獲得了方程在[0,1]上的最大解及解的一些性質(zhì).之后研究者開始研究max-min以及max-·合成模糊雙線性關(guān)系方程.基于湯服成[1]提出的最大解的求法,Li[2]和余布雷等[3]也相繼提出了最大解和最大結(jié)果的簡(jiǎn)單算法.1991年,李文議[4]討論了一類格上的雙線性方程,分別討論當(dāng)背景格為有限時(shí),求出了方程的全部解;當(dāng)背景格為無限時(shí),確定了模糊雙線性方程的最大解.2005年,余布雷等[5]在[0,1]上討論了無限雙線性方程的性質(zhì)及其解集.之后，何春花等[6]和張琳[8]對(duì)解的一些性質(zhì)作了拓展.在實(shí)際中,模糊關(guān)系方程可應(yīng)用到多個(gè)領(lǐng)域.因此確定模糊關(guān)系方程的解集不僅在理論上,而且在實(shí)際應(yīng)用中同樣重要[9].但一般的max-T合成模糊雙線性方程現(xiàn)有文獻(xiàn)未作研究.本文圍繞[0,1]上max-T合成模糊雙線性方程進(jìn)行討論,其中T是偽t-模.討論在有限情況下雙線性方程的最大解、極小解的通用形式以及極小解個(gè)數(shù)和方程的最大解與最大結(jié)果的求法.

1 預(yù)備知識(shí)

為了討論方便,下面給出一些定義和基本結(jié)論.假設(shè)L=[0,1],I={1,2,,m},J={1,2,,n}.

定義1.1[10]如果L×L→L上的映射T滿足:?a,b,c∈L,

1) 交換律:T(a,b)=T(b,a);

2) 結(jié)合律:T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c);

3) 單調(diào)性:b≤c?T(a,b)≤T(a,c);

4) 有界性:T(a,1)=a，

則稱T為L(zhǎng)上的t-模.

定義1.2[11](i) 如果L上的一個(gè)二元算子T滿足?a,b,c∈L和

(T1) T(1,a)=a,T(0,a)=0;

(T2)b≤c?T(a,b)≤T(a,c)，

則稱T為L(zhǎng)上的偽t-模.

另外,如果T還滿足下述條件,則稱T分別為無限∨-分配偽t-模和無限∧-分配偽t-模:

(ii) 如果L上的一個(gè)二元算子I滿足?a,b,c∈L和

(I1) I(1,b)=b,I(0,b)=1;

(I2)b≤c→I(a,b)≤I(a,c)，

則稱I為L(zhǎng)上的一個(gè)蘊(yùn)涵.

另外,如果I還滿足下述條件,則稱I分別為無限∨-分配蘊(yùn)涵算子和無限∧-分配蘊(yùn)涵算子:

記T(L)(I(L))為L(zhǎng)上所有無限分配的偽t-模T(蘊(yùn)涵I)構(gòu)成的集合.如果偽t-模T(蘊(yùn)涵I)既是無限∨-分配的又是無限∧-分配的,則稱偽t-模T(蘊(yùn)涵I)是無限分配的.

定義1.3[12]設(shè)φ:L×L→L,定義Iφ、Lφ如下：

?a,b∈L, Iφ(a,b)=sup{x∈L:φ(a,x)≤b},

Lφ(a,b)=inf{x∈L:φ(a,x)≥b}.

假定空集的最小上界為0,最大下界為1.

定義1.4[12]設(shè)T為有界偏序集(L,≤)上的一個(gè)偽t-模,則稱部分映射T(a,·)為極大滿的當(dāng)且僅當(dāng)?a∈L,{T(a,x):x∈L}=[0,a].

定義1.5[7]設(shè)A=(aij)I×J,B=(bij)I×J,X=(xj)J×1,其中aij,bij,xj∈L,稱

A°X=B°X

(1)

為L(zhǎng)上的模糊雙線性方程,其中“°”是max-T合成,T是偽t-模,即

?i∈I.

注1.11) 記X={X:A°X=B°X},稱X為A°X=B°X的解集.顯然X≠?恒成立.事實(shí)上,X=0就是方程(1)的一個(gè)解.以下討論X≠{0}的情況.

2) 令R={r:A°X=B°X=r,?X∈X}.設(shè)X∈X,記A°X=B°X=r,稱r是與X相關(guān)的結(jié)果.設(shè)r∈R,Xr={X:A°X=B°X=r}.

顯然,設(shè)r∈R,方程(1)等價(jià)于

(2)

下面假定T∈T(L),?a∈L,T(a,·)為極大滿的且T(1,a)=T(a,1)=a,T(0,a)=T(a,0)=0.

引理1.1[13]設(shè)a,b∈L,如果a≤b,則

IT(a,b)=1.

引理1.2[13]設(shè)a,b∈L,則

{x∈L:T(a,x)≤b}=[0,IT(a,b)].

引理1.3[13]如果a,b∈L且a≥b,則

{x∈L:T(a,x)≥b}=[LT(a,b),1].

引理1.4[13]如果a,b∈L且a≥b,則

sup{T(a,x):T(a,x)≤b,x∈L}=

inf{T(a,x):T(a,x)≥b,x∈L}=b.

引理1.5[13]?a,b∈L,

{x∈L:T(a,x)=b}≠?

當(dāng)且僅當(dāng)a≥b.進(jìn)一步,

{x∈L:T(a,x)=b}=?

或{x∈L:T(a,x)=b}=[LT(a,b),IT(a,b)].

定理1.1設(shè)a,b,c∈L,則以下3個(gè)條件等價(jià)：

1)b≤c?T(a,b)≤T(a,c)；

2) T(a,b∨c)=T(a,b)∨T(a,c)；

3) T(a,b∧c)=T(a,b)∧T(a,c).

證明1)?2) 設(shè)a,b,c∈[0,1],因?yàn)?/p>

b≤c?T(a,b)≤T(a,c),

所以T(a,b)∨T(a,c)=T(a,c)=T(a,b∨c).

2)?1) 由于T(a,b)≤T(a,b)∨T(a,c)=T(a,b∨c),又因?yàn)閎≤c,所以T(a,b∨c)=T(a,c),則有T(a,b)≤T(a,c).故1)與2)等價(jià).同理可證1)與3)等價(jià).

以下假設(shè)A=(aj)j∈J,B=(bj)j∈J.給定r∈R,令I(lǐng)T(A,r)=(IT(aj,r))j∈J,

IT(B,r)=(IT(bj,r))j∈J

和

IT(A,r)∧IT(B,r)=[IT(aj,r)∧IT(bj,r)]j∈J.

證明假設(shè)X=(xj)j∈J為(2)式的解,即

證明由于

證明設(shè)Xr=(xj)j∈J∈Xr,那么

推論1.2設(shè)r∈R,則方程

xj∈[LT(aj,r),IT(aj,r)].

xj∈[LT(aj,r)∨LT(bj,r),IT(aj,r)∧IT(bj,r)],

2 雙線性方程A°X=B°X=r的極小解

下面討論雙線性方程極小解的形式以及極小解的個(gè)數(shù).

定義2.1設(shè)S為一偏序集P的非空子集,a∈S.若不存在x∈S使x

注2.1由定義2.1,X*∈X是X的極小元當(dāng)且僅當(dāng)?X∈X,X≤X*蘊(yùn)含X=X*.

注2.2顯然r=0時(shí),Xr的極小元為零.下面討論Xr中的非零極小元.

設(shè)r∈R{0},Xr=(xj)j∈J∈Xr,記Nr(Xr)={j∈J|T(aj,xj)=r}和

Mr(Xr)={j∈J|T(bj,xj)=r},

把Nr(Xr)和Mr(Xr)簡(jiǎn)記為Nr(X)和Mr(X),把Nr(Xr*)和Mr(Xr*)簡(jiǎn)記為Nr(X*)和Mr(X*).

定理2.1如果r∈R{0},則Xr都有極小元.

1) 若Nr(X)∩Mr(X)=?,取s∈Nr(X),t∈Mr(X),定義X*(s,t)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

(3)

由引理1.5知T(as,LT(as,r))=r.再由t∈Mr(X)知T(bt,xt)=r,故xt∈[LT(bt,r),IT(bt,r)].又因?yàn)镹r(X)∩Mr(X)=?,則t?Nr(X),所以T(at,xt)

r∨[T(at,LT(bt,r))]=r.

由Nr(X)∩Mr(X)=?且t∈Mr(X),所以T(at,xt*)

r=T(as,xs)=T(as,xs*)=r,

即xs∈{x∈L:T(as,x)≥r}.同理有r=T(bt,xt)=T(bt,xt*)=r,即xt∈{x∈L:T(bt,x)≥r}.由于xs*=LT(as,r)=inf{x∈L:T(as,x)≥r}≤xs且xt*=LT(bt,r)=inf{x∈L:T(bt,x)≥r}≤xt,于是Xr≥X*(s,t).因此Xr=X*(s,t),即X*(s,t)是Xr中的極小元.

2) 若Nr(X)∩Mr(X)≠?,取k∈Nr(X)∩Mr(X),定義X*(k)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

(4)

由引理1.5知T(ak,LT(ak,r))=r,又因?yàn)閗∈Nr(X)∩Mr(X),則T(ak,xk)=T(bk,xk)=r.由引理1.5有xk∈[LT(ak,r),IT(ak,r)]且

xk∈[LT(bk,r),IT(bk,r)],

所以T(bk,LT(ak,r))=r.進(jìn)一步有

T(ak,LT(ak,r))∨0=r，

=T(bk,LT(ak,r))∨0=r，

即X*(k)∈Xr.設(shè)Xr=(xj)j∈J∈Xr且Xr≤X*(k),當(dāng)j≠k有xj=0.因此僅需證明當(dāng)j=k時(shí),xk=xk*=LT(ak,r).事實(shí)上,

因此r=T(ak,xk)=T(ak,xk*)=r,即xk∈{x∈L:T(ak,x)≥r}.由于

xk*=LT(ak,r)=inf{x∈L:T(ak,x)≥r}≤xk,

于是Xr≥X*(k).因此Xr=X*(k),即X*(k)是Xr中的極小元.

定理2.2如果r∈R{0},則Xr中所有的極小元都有(3)或(4)式的形式.

1) 若Nr(X)∩Mr(X)=?,取s∈Nr(X),t∈Mr(X),定義X*(s,t)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(s,t)∈Xr且X*(s,t)≤Xr.因此由Xr的極小性有X*(s,t)=Xr.

2) 若Nr(X)∩Mr(X)≠?,取k∈Nr(X)∩Mr(X),定義X*(k)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(k)∈Xr且X*(k)≤Xr.因此由Xr的極小性有X*(k)=Xr.

定理2.3如果r∈R{0},則對(duì)任意Xr∈Xr,存在極小元X*∈Xr使得X*≤Xr.

證明設(shè)Xr=(xj)j∈J∈Xr,則

1) 若Nr(X)∩Mr(X)=?,取s∈Nr(X),t∈Mr(X),定義X*(s,t)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(s,t)∈Xr,由定理2.2知X*(s,t)是Xr中的極小元.下面僅需證明X*(s,t)≤Xr.當(dāng)j≠s,t有xj*=0,因此僅需證明當(dāng)j=s時(shí),

xs≥xs*=LT(as,r);

當(dāng)j=t時(shí),xt≥xt*=LT(bt,r).如果j=s,由T(as,xs)=r,即xs∈{x∈L:T(aj,xj)≥r}.因此xs*=LT(as,r)=inf{x∈L:T(aj,xj)≥r}≤xs.同理如果j=t時(shí),xt*≤xt,即證得X*(s,t)≤Xr.

2) 若Nr(X)∩Mr(X)≠?,取k∈Nr(X)∩Mr(X),定義X*(k)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(k)∈Xr,由定理2.2知X*(k)是Xr中的極小元.下面僅需證明X*(k)≤Xr.當(dāng)j≠k有xj*=0,因此僅需證明當(dāng)j=k時(shí),xk≥xk*=LT(ak,r).如果j=k,由T(ak,xk)=r,即xk∈{x∈L:T(aj,xj)≥r}.因此xk*=LT(ak,r)=inf{x∈L:T(aj,xj)≥r}≤xk,即證得X*(k)≤Xr.

定理2.41) 若Nr(X*)∩Mr(X*)=?,則(2)式的極小解個(gè)數(shù)為|Nr(X*)||Mr(X*)|.

根據(jù)排列組合共有|Nr(X*)||Mr(X*)|種情況,所以極小解的個(gè)數(shù)為|Nr(X*)||Mr(X*)|.

2) 不妨假設(shè)

Nr(X*)∩Mr(X*)={j1,,jk},

即有{j1,,jk}?J使T(aji,xji)=T(bji,xji)=r,那么極小解X*=(xj*)j∈J在xji處取LT(aji,r),ji∈{j1,,jk},因此有k種取法.在J{j1,,jk}中,與1)同理.所以當(dāng)Nr(X*)∩Nr(X*)≠?時(shí),方程A°X=B°X=r的極小解個(gè)數(shù)為

例2.2設(shè)A=(1,0.8,0.5,0.3),B=(0.4,0.8,0.3,0.5),r=0.5,求方程A°X=B°X=r的極小解與解集,其中“°”表示“max-Lukasiewicz”合成,即TL(x,y)=0∨(x+y-1).

例2.3設(shè)A=(0.6,0.2,0.7),B=(0.9,0.7,0.6),r=0.6,求方程A°X=B°X=r的極小解與解集,其中“°”表示“max-min”合成.

所以方程A°X=B°X=r的極小解個(gè)數(shù)為2,全部極小解為v1=(0.6,0,0)T,v2=(0,0,0.6)T.從而由推論1.3知方程的解集Xr={(0.6,[0,0.6],[0,0.6])T,([0,0.6],[0,0.6],0.6)T}.

3 雙線性方程A°X=B°X的最大結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的最大解

由推論1.2知,若方程(2)有解,則一定有最大解.記r*是R中的最大元,X*是Xr中的最大元.

定理3.1A°X*=B°X*=r*.

證明因?yàn)閞*∈R,所以存在X∈X使得A°X=B°X=r*.由定理1.4知X≤X*,則有A°X*≥A°X=r*,B°X*≥B°X=r*,即A°X*=B°X*≥r*.又由r*的最大性可知A°X*=B°X*=r*.

證明必要性

則

則

由推論1.2知X(1)=X(a)∧X(b)是方程的最大解.

(5)

(6)

下面給出方程(1)最大結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的最大解的算法步驟.

例3.1求例2.1中A°X=B°X的最大結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的最大解.

例3.2求例2.2中A°X=B°X的最大結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的最大解.

例3.3設(shè)A=(0.7,0.2,0.1,0.3),B=(0.9,0.6,0.3,0.2).求方程A°X=B°X的最大結(jié)果與其對(duì)應(yīng)的最大解,其中“°”表示“max-product”合成.

X(3)=(IT(0.7,0.3)∧IT(0.9,0.3),

(IT(0.2,0.3)∧IT(0.6,0.3),1,1)T=

(1/3,1/2,1,1)T.