方成鴻
(景德鎮(zhèn)陶瓷大學(xué)信息工程學(xué)院,江西 景德鎮(zhèn)333403)
平面微分方程定性理論中,研究系統(tǒng)閉軌線尤其是極限環(huán)的存在性與穩(wěn)定性具有重要的理論價(jià)值與實(shí)際意義.平面二次多項(xiàng)式系統(tǒng)的研究結(jié)果較豐富,文獻(xiàn)[1]有論述,對(duì)于三次系統(tǒng),由于參數(shù)的增多,研究難度顯著增加.對(duì)于如下系統(tǒng):
文獻(xiàn)[2]討論了δ=a1=a2=a3=0時(shí)系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu).利用變換將系統(tǒng)化為L(zhǎng)iénard方程或廣義Liénard方程,文獻(xiàn)[3]在a1=a3=a6=0的條件下,文獻(xiàn)[4]在a1=a2=0的條件下,文獻(xiàn)[5]在a6=0、a1=a+b及a4=-ab的條件下分析了系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性.
文獻(xiàn)[6]給出了系統(tǒng)x·=-y(1-ax)+a1x+a2x2+a3x3、=-x(1-ax)存在極限環(huán)的條件;文獻(xiàn)[7]討論了系統(tǒng)=-y+δx+mx3-ny3、=x(1+ax2)當(dāng) a>0、n>4 時(shí)極限環(huán)存在的條件,并給出m與δ為正數(shù)時(shí)的全局結(jié)構(gòu)圖;文獻(xiàn)[8]給出了系統(tǒng)=-y+(a-3b)x2y+y3、=x+x3+(a+3b)xy2的全局結(jié)構(gòu)圖.文獻(xiàn)[9-11]結(jié)合旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)理論分析了相應(yīng)平面系統(tǒng)的極限環(huán)存在唯一的條件.
研究平面系統(tǒng)存在的極限環(huán)個(gè)數(shù)是另一項(xiàng)重要的內(nèi)容,如文獻(xiàn)[12-14]使用Melnikov函數(shù)法分析可積的多項(xiàng)式系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下中心分支出極限環(huán)的個(gè)數(shù)以及同宿環(huán)的分支問題.
文中考慮如下形式的系統(tǒng):
它以曲線1+ax2+by2=0為垂直等傾線,通過對(duì)奇點(diǎn)、無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)、鞍點(diǎn)分界線走向的討論,獲得了系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)相圖.文獻(xiàn)[2]包含d=0時(shí)的結(jié)論,這里不妨取 d=1,否則可作適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到.
方程(1)的右端所定義的平面向量場(chǎng)關(guān)于y軸對(duì)稱,故中心型奇點(diǎn)都是中心.
定理1 ①系統(tǒng)(1)的奇點(diǎn) O(0,0)是中心;②b<0 時(shí),系統(tǒng)(1)有奇點(diǎn)與 B2(0,其中B1是鞍點(diǎn).若b<-1或b=-1且a<0,B2為鞍點(diǎn);若-1<b<0,B2為中心;若 b=-1 且 a>0,B2的局部由一個(gè)雙曲扇形域和一個(gè)橢圓扇形域構(gòu)成;若 b=-1 且 a=0,y=1 是奇直線;③(1+b)a<0 時(shí),系統(tǒng)(1)有奇點(diǎn)與 M2.若 a<0,M1與 M2是鞍點(diǎn);若 a>0,M1是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),M2是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).
除了 b=-1時(shí),M1、M2與 B2重合成為高階奇點(diǎn),上述結(jié)論只需分析對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)的性態(tài)即得.當(dāng) b=-1 時(shí),作變換 ξ=x/2,η=y-1,系統(tǒng)(1)化為-2ξη≡Ψ(ξ,η).對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)有零特征值,設(shè) y+Φ(x,y)=0 確定的隱函數(shù)為 y=φ(x),則 φ(x)=2ax2+o(x2),Ψ(x,φ(x))=-4ax3+o(x3),Φx(x,φ (x))+Ψy(x,φ(x))=(-4a-2)x+o(x),根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的定理7.2可得所給結(jié)論.
作 Poincare 變換 u=y(tǒng)/x,z=1/x 及時(shí)間變換 dτ=dt/z2,系統(tǒng)(1)化為:
系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)(0,0)有 4 個(gè)特征方向,而 z=0與z=u是系統(tǒng)(2)的軌線,故沿這4個(gè)方向均有軌線進(jìn)入或離開原點(diǎn).欲了解原點(diǎn)附近軌線的性態(tài),需分析4個(gè)角域軌線的特征,為此計(jì)算奇點(diǎn)的指數(shù).
引理 1當(dāng) a<0或 a=0且 b<-1時(shí),系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)(0,0)的指數(shù) I=2;當(dāng) a>0 或 a=0 且 b>-1(b≠0)時(shí),指數(shù) I=0.
證 明:記 P2(u,z)=au2-uz+z2,P4(u,z)=bu4+u2z2,Q2(u,z)=auz,Q4(u,z)=bu3z+uz3,當(dāng) a≠0 時(shí),計(jì)算 Cauchy 指標(biāo)[15]N[P2(t,1),Q2(t,1)]即得 a<0 時(shí),I=2;a>0 時(shí),I=0.
下面討論a=0的情形,根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的定理5.2,系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)(0,0)的指數(shù)q(t)],其中 p(t)=t8-2t7+4t6-2t5+(16b-10)t4+2t3+4t2+2t+1,q(t)=2t(t2-1)[t4+(4b-2)t2+1].b>0 時(shí),q(t)僅有 3 個(gè)單重零點(diǎn),±1 與 0;b<0 時(shí),q(t)又增加了 4個(gè)零點(diǎn),±b1與±b2, 其中
由于 b=5/8 時(shí) p(t)恒大于零,得 b>5/8 時(shí) p(t)恒大于零.由于b=0時(shí)p(t)有2正2負(fù)共4個(gè)單重零點(diǎn),且2正零點(diǎn)、2負(fù)零點(diǎn)間各只有1個(gè)駐點(diǎn),故 0<b<5/8 時(shí) p(t)至多有 4 個(gè)零點(diǎn),且負(fù)零點(diǎn)大于-1, 正零點(diǎn)大于 1.于是 b>0時(shí),I=0.
三次函數(shù) p(5)(t)是單增的,有一個(gè)正零點(diǎn).設(shè)b<0,由 p(4)(0)=48(8b-5)知 p(4)(t)有一正零點(diǎn)和一負(fù)零點(diǎn); 又 p?(0)=12,p?(1/3)=128-5456/81,故p?(t)恰有一負(fù)二正 3 個(gè)零點(diǎn);而 p″(-1/2)=48b-12,p″(0)=8,p″(1)=192b-48,故 p″(t)恰有二負(fù)二正 4個(gè)零點(diǎn);再由 p′(0)=2>0,p′(1)=64b-16,p(0)=1,p(1)=16b,可得 p(t)在區(qū)間(0,+∞)上有 2 個(gè)零點(diǎn),且位于 1的兩側(cè).另一方面,b=0時(shí) p′(t) 在(-∞,0)有 1 個(gè)零點(diǎn) c0≈-0.8566,且在(-∞,c0)上單增.當(dāng) b<0 時(shí),p′(t)在(-∞,0)也只有 1 個(gè)零點(diǎn),又 p(-1)=16b,可得 p(t)在(-∞,0)上有 2 個(gè)零點(diǎn),位于-1 的兩側(cè).
綜上,p(t)在-1的兩側(cè)各有一個(gè)負(fù)零點(diǎn),在 1的兩側(cè)各有一個(gè)正零點(diǎn).當(dāng) b<0 時(shí),p(-b2)>0,p(b1)>0;b<-1 時(shí),p(-b1)與 p(b2)恒正;-1<b<0 時(shí),p(-b1)與p(b2)恒負(fù),于是可得 a=0 且 b<-1 時(shí),I=2;a=0 且b>-1(b≠0)時(shí),I=0.
根據(jù)對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)有單重零特征值的分析法,易得:
引理 2當(dāng)ab<0時(shí),系統(tǒng)(2)在 u軸上還有奇
由奇點(diǎn)的指數(shù)、角域個(gè)數(shù)以及分析角域附近軌線的方向,可得:
定理2系統(tǒng)(2)在u軸上的奇點(diǎn)附近的軌線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示.
當(dāng) a<0 且 b≤0 或者 a=0 且 b<-1 時(shí),系統(tǒng)(2)在u軸上的唯一奇點(diǎn)(0,0)角域附近的結(jié)構(gòu)如圖1(a)所示;當(dāng) a>0 且 b≥0 或者 a=0 且 b>-1(b≠0)時(shí),系統(tǒng)(2)在u軸上的唯一奇點(diǎn)(0,0)角域附近的結(jié)構(gòu)如圖 1(b)所示.
作變換 v=x/y,z=1/y 以及時(shí)間變換 dτ=dt/z2,系統(tǒng)(1)化為:
僅當(dāng)b=0時(shí),原點(diǎn)才是系統(tǒng)(3)的奇點(diǎn).令b=0,計(jì)算得當(dāng)a≠0時(shí)原點(diǎn)的指數(shù)為0;z=0是系統(tǒng)(3)的軌線,當(dāng)a>0時(shí),原點(diǎn)有兩個(gè)特征方向,a<0時(shí),原點(diǎn)有六個(gè)特征方向,此時(shí)也是系統(tǒng)(3)的軌線,即沿任何特征方向都有軌線進(jìn)入或離開原點(diǎn).于是,a>0時(shí),原點(diǎn)的兩個(gè)角域均為雙曲扇形域;由Bendixon公式[15]以及分析軌線斜率的特征,a<0時(shí),原點(diǎn)的六個(gè)角域由一個(gè)橢圓扇形域、三個(gè)雙曲扇形域及二個(gè)拋物扇形域構(gòu)成.
定理3系統(tǒng)(3)的原點(diǎn)附近的軌線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示.
圖2 v軸上的奇點(diǎn)
引理 3系統(tǒng)(1)從點(diǎn) N1(0,-δ1)出發(fā)的解曲線若到達(dá)正 y 軸,則交點(diǎn)必位于 N1'(0,δ1)的下方,其中 δ1>1.
證 明:設(shè) y=?(x)是系統(tǒng)(1)從點(diǎn) N1到 N2(δ2,0)的解,其中 δ2>0.注意到 0<x<δ2時(shí),?(x)<0,1=ax2+b[?(x)]2>0,可得
引理4當(dāng)a=0時(shí),系統(tǒng)(1)有通解by3+2(b+1)y+(b+1)ln(1-y)2+C;當(dāng) b=0 時(shí),有通解(1-y)ey=C(1+ax2)1/2a,其中 C 是積分常數(shù).
定理 4設(shè) a=0,則系統(tǒng)(1)在 b<-1、b=-1、-1<b<0 及 b>0 時(shí)的全局相圖分別如圖 3(a)~圖 3(d)所示.設(shè) b=0,系統(tǒng)(1)在 a<0、a>0 時(shí)的全局相圖分別如圖 3(e)、圖 3(d)所示.過曲線y=-?(x)上的點(diǎn)的軌線都是從右向左穿過該曲線,故結(jié)論成立.
由此可知,鞍點(diǎn)B1的分界線若到達(dá)正y軸,交點(diǎn)必位于點(diǎn)B2的下方.
圖3 a=0或b=0時(shí)系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)
引理 5當(dāng) a<0 且-1<b<0 時(shí),系統(tǒng)(1)存在連接鞍點(diǎn)M1與M2的異宿閉軌.
證 明:設(shè)x≤0),L1是過 M1且在 M1點(diǎn)切線斜率大于 kM1≡的開口向下的拋物線弧.易知φ1(y)=(1-a)y3+2ay2-(2+a)y+1 在(1,+∞)上恒正,可推出Q/P|L1<(1-a)x/b,于是鞍點(diǎn) M1位于直線 y=1 上方的分界線始終位于L1的下方,必到達(dá)y軸,根據(jù)向量場(chǎng)關(guān)于y軸的對(duì)稱性,分界線最終進(jìn)入M2點(diǎn),而y=1是解曲線,故系統(tǒng)(1)存在連接鞍點(diǎn)M1與M2的異宿閉軌.
引理 6當(dāng) a<0且 b>0時(shí),系統(tǒng)(1)存在連接鞍點(diǎn)M1與M2的異宿閉軌.
證 明:由于其中 τM是垂直等傾線11+ax2+by2=0在鞍點(diǎn)M1的切線斜率,故M1位于直線y=1下方的分界線必到達(dá)負(fù)x軸,應(yīng)用引理3的比較方法,可知其穿過垂直等傾線x軸后與雙曲線1+ax2+by2=0的左支的交點(diǎn)必位于M1'的上方,M1'是M1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn).
由定理4知,a=0且b<0時(shí),鞍點(diǎn)B1有同宿環(huán).b不變,讓a<0,比較軌線切線的變化可知,這時(shí)鞍點(diǎn)B1仍有同宿環(huán).于是得到:
定理 5設(shè) a<0,則 b<-1 時(shí)系統(tǒng)(1)全局相圖如圖 3(a)所示,b=-1、-1<b<0 及 b>0 時(shí)的全局相圖分別如圖 4(a)~圖 4(c)所示.
圖4 a<0時(shí)系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)
引理 7當(dāng) a>0 且 b<0 時(shí),系統(tǒng)(1)的鞍點(diǎn) B1有同宿環(huán).
證 明:已知a>0且b=0時(shí),系統(tǒng)(1)的唯一奇點(diǎn)原點(diǎn)是中心,故從負(fù)y軸上出發(fā)的軌線均到達(dá)正x 軸.記區(qū)域且 b<0時(shí),對(duì) D內(nèi)任意點(diǎn)恒有故右半平面離開鞍點(diǎn)B1的分界線必到達(dá)正x軸,再由引理3得證.
引理 8當(dāng) a>0 且 b<-1 時(shí),系統(tǒng)(1)有無數(shù)條軌線離開M1進(jìn)入M2.
證 明:由定理 1知,這時(shí),M1是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),M2是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn).平移原點(diǎn)至 M1,系統(tǒng)(1)所對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)為,由 G(θ)=2bsinθ(sinθ-kM1cosθ)得M1點(diǎn)的特征方向是 θ=0、θ=π、θ=θ0以及 θ=π+θ0,其中 θ0=arctankM1.又 H(0)=(2-4a)(-1-b),G′(θ0)H(θ0)=(2a-1)(-1-b)/a,故當(dāng) a>1/2時(shí),只有一條軌線沿θ=0及θ=π離開奇點(diǎn)M1,其余軌線均沿 θ=θ0及 θ=π+θ0離開 M1;當(dāng) 0<a<1/2時(shí),只有一條軌線沿 θ=θ0及 θ=π+θ0離開奇點(diǎn) M1,其余軌線均沿θ=0及θ=π離開M1.當(dāng)a=1/2時(shí),M1是退化結(jié)點(diǎn),所有軌線沿θ=0及θ=π離開M1.
是垂直等傾線1+ax2+by2=0在點(diǎn)M1的切線斜率,故過D1與D2公共邊界線上點(diǎn)的軌線必以M1為α極限點(diǎn);又系統(tǒng)在區(qū)域D2沒有無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn),該軌線必在有限時(shí)間到達(dá)正y軸,再由對(duì)稱性可知,該軌線必以M2為ω極限點(diǎn),即得結(jié)論成立.
定理 6 設(shè) a>0, 則 b<-1、b=-1、-1<b<0 時(shí)系統(tǒng)(1)的全局相圖分別如圖 5(a)~圖 5(c)所示,b>0 時(shí)的全局相圖如圖3(d)所示.
前面分析了1+ax2+by2=0以曲線為垂直等傾線的一類多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)相圖,進(jìn)一步可以分析原點(diǎn)不是該垂直等傾線的對(duì)稱中心的情形,以及以拋物線為垂直等傾線的平面系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu).此外,使用Melnikov函數(shù)法可以分析系統(tǒng)(1)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下中心以及同宿環(huán)的分支問題.
圖5 a>0且b<0時(shí)系統(tǒng)的全局結(jié)構(gòu)