張繼榮, 湯利娜

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121)

鐘差預(yù)測(cè)[1]是原子鐘運(yùn)行狀態(tài)預(yù)測(cè)以及原子鐘系統(tǒng)駕馭精度提高的關(guān)鍵。根據(jù)原子鐘的歷史鐘差數(shù)據(jù)，可通過鐘差預(yù)測(cè)對(duì)原子鐘下一刻的鐘差進(jìn)行估計(jì)。但是，原子鐘受自身特性和環(huán)境噪聲的影響，會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)變化，進(jìn)而影響其同步性能。目前，銣原子鐘因其相對(duì)便宜的價(jià)格優(yōu)勢(shì)，已廣泛應(yīng)用在實(shí)際工程中。

常用的鐘差預(yù)測(cè)算法包括一次線性回歸算法[2]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[3]、二次項(xiàng)模型[4]和支持向量機(jī)(support vector machine，SVM)[5]。一次線性回歸法雖然簡(jiǎn)潔易實(shí)現(xiàn)，但估計(jì)精度低。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法具有記憶不穩(wěn)定、學(xué)習(xí)速度慢等缺點(diǎn)，使用不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)結(jié)果背離[6]。二次項(xiàng)模型簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)，能得到變化趨勢(shì)，但精度不高[7]。SVM的精度高，但是主要依賴于SVM核函數(shù)和參量的選擇，鐘差序列為非平穩(wěn)的序列，固定的核函數(shù)和參數(shù)無法滿足不同的頻率分量[8-9]。

卡爾曼(Kalman)濾波[10]算法具有較高的魯棒性，基于Hadamard方差的卡爾曼濾波模型對(duì)銣原子鐘進(jìn)行鐘差預(yù)報(bào)時(shí)，測(cè)精度較高[11]。但是環(huán)境的干擾導(dǎo)致卡爾曼濾波算法會(huì)出現(xiàn)濾波發(fā)散的問題[12]。因此，針對(duì)Kalman濾波的發(fā)散問題，本文提出一種改進(jìn)的卡爾曼濾波算法。通過加入SVM的懲罰措施和幅值限制，調(diào)整銣原子鐘的調(diào)整參數(shù)，對(duì)銣原子鐘狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，從而減小因鐘差跳變對(duì)銣原子鐘同步信號(hào)的影響。

1 鐘差特性

采用全球定位系統(tǒng)(global positioning system，GPS)接收機(jī)輸出的秒脈沖信號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)參考源，得到銣原子鐘及其鐘差，根據(jù)鐘差值估計(jì)銣原子鐘的調(diào)整參數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)銣原子鐘的控制。

銣原子鐘的噪聲包括白色調(diào)相噪聲、閃變相位噪聲、白色頻率噪聲、閃變調(diào)頻噪聲和隨機(jī)游走頻率噪聲[13-14]。銣原子鐘與標(biāo)準(zhǔn)參考源之間的差規(guī)律[11]為

(1)

其中a，b，c分別為銣原子鐘的調(diào)整參數(shù)。a為起始銣原子鐘與標(biāo)準(zhǔn)參考時(shí)源的鐘差；b為起始銣原子鐘的頻率與標(biāo)準(zhǔn)參考頻率的差；c為老化率，由銣原子鐘本身性質(zhì)變化決定[11]，ξ(t)為噪聲部分，t為時(shí)間。

2 Kalman濾波算法鐘差預(yù)測(cè)

卡爾曼濾波算法采用遞歸方法，在每步進(jìn)行遞歸運(yùn)算時(shí)，只需考慮前一時(shí)刻輸入信號(hào)即可。因此，提高前一刻狀態(tài)估計(jì)精度，便能提高卡爾曼濾波算法的鐘差預(yù)測(cè)精度。

在進(jìn)行銣原子鐘鐘差預(yù)測(cè)時(shí)，第i次采樣的狀態(tài)向量由調(diào)整參數(shù)a，b，c構(gòu)成，表達(dá)式為

xi=[a(i),b(i),c(i)]T。

第i-1次采樣到第i次采樣的狀態(tài)向量迭代表達(dá)式[11]為

xi=Axi-1+qi-1。

(2)

其中:A為系統(tǒng)傳輸矩陣，是常數(shù)陣，與采樣間隔有關(guān)；qi-1為三維噪聲，服從均值為零的正態(tài)分布，時(shí)間上互不相關(guān)。

第i次采樣的鐘差測(cè)量值[11]為

yi=Hxi+ri。

(3)

其中：H=[1,0,0]為量測(cè)矩陣；ri為一維白噪聲。

第i次采樣后，狀態(tài)向量xi的先驗(yàn)誤差方差陣為

(4)

其中：Pi-1為前一刻后驗(yàn)誤差方差陣；Q為狀態(tài)噪聲的方差陣。

狀態(tài)向量xi的先驗(yàn)估計(jì)值為

(5)

(6)

更新誤差方差陣為

(7)

用于下一時(shí)刻先驗(yàn)誤差方陣的計(jì)算，其中I為單位矩陣。

3 改進(jìn)的Kalman 濾波算法鐘差預(yù)測(cè)

2) 加入幅值限制，改善鐘差預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)較大跳變影響下級(jí)時(shí)鐘的同步跟蹤問題，提高估計(jì)精度。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

選取中國(guó)科學(xué)院國(guó)家授時(shí)中心提供的兩組鐘差數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別利用Kalman濾波算法和改進(jìn)的Kalman濾波算法進(jìn)行鐘差預(yù)測(cè)。第1組數(shù)據(jù)為2018年7月29日0時(shí)到2018年7月30日0時(shí)的數(shù)據(jù)，共有288個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)；第2組數(shù)據(jù)為2018年8月31日0時(shí)到2018年9月1日0時(shí)的數(shù)據(jù)，共288個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。以每組數(shù)據(jù)的前50個(gè)鐘差數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后238個(gè)鐘差數(shù)據(jù)為比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

4.1 兩種算法的鐘差預(yù)測(cè)結(jié)果

第1組鐘差數(shù)據(jù)的Kalman濾波算法和改進(jìn)的Kalman濾波算法的鐘差預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1所示。相對(duì)預(yù)測(cè)誤差為鐘差的測(cè)量值和預(yù)測(cè)值的差與測(cè)量值的比值的絕對(duì)值，兩種算法的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差如圖2 所示。

(a) Kalman濾波算法的鐘差預(yù)測(cè)結(jié)果

(b) 改進(jìn)的Kalman濾波算法的鐘差預(yù)測(cè)結(jié)果

圖2 兩種算法第1組鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差

第2組鐘差數(shù)據(jù)的Kalman濾波算法和改進(jìn)的Kalman 濾波算法的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖3所示。相對(duì)預(yù)測(cè)誤差如圖4所示。

(a) Kalman濾波算法的鐘差預(yù)測(cè)結(jié)果

(b) 改進(jìn)的Kalman濾波算法的鐘差預(yù)測(cè)結(jié)果

圖4 兩種算法第2組鐘差數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差

由圖1、圖2、圖3和圖4分別可以看出，Kalman濾波算法和改進(jìn)的Kalman濾波算法都可以實(shí)現(xiàn)對(duì)銣原子鐘鐘差數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)跟蹤。但是，在鐘差出現(xiàn)較大波動(dòng)時(shí)，Kalman濾波算法的預(yù)測(cè)誤差較大，而改進(jìn)的Kalman濾波算法的預(yù)測(cè)誤差相對(duì)減小。Kalman濾波算法的預(yù)測(cè)誤差方差為0.718，改進(jìn)的Kalman濾波算法為0.565。與Kalman濾波算法相比，改進(jìn)的Kalman濾波算法的預(yù)測(cè)精度有明顯提高。

4.2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

1) 懲罰系數(shù)影響

通過改變懲罰系數(shù)的值，同時(shí)保持其他參數(shù)值不變，獲得與每個(gè)懲罰系數(shù)相對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差，進(jìn)而對(duì)懲罰系數(shù)對(duì)估計(jì)精度產(chǎn)生的影響進(jìn)行分析，結(jié)果如圖5所示。

圖5 懲罰系數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)誤差的影響結(jié)果

對(duì)懲罰系數(shù)處于0～0.9范圍內(nèi)的預(yù)測(cè)誤差進(jìn)行分析，可以看出，當(dāng)懲罰系數(shù)接近0時(shí)，平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差較大；當(dāng)其處于0.4～0.65范圍內(nèi)時(shí)，平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差相對(duì)較?。划?dāng)懲罰系數(shù)接近1時(shí)，平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差會(huì)隨著懲罰系數(shù)的增大而驟然增大。因此，適當(dāng)?shù)膽土P系數(shù)對(duì)算法平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差的減小起促進(jìn)作用，進(jìn)而提升估計(jì)精度。

2) 幅值限制影響

對(duì)限制幅度值進(jìn)行改變，同時(shí)保持其他參數(shù)值不變，得到與每個(gè)限制幅度值對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差，進(jìn)而分析限制幅度值對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響，結(jié)果如圖6所示。

圖6 幅值限制對(duì)預(yù)測(cè)誤差的影響結(jié)果

從圖6可知，當(dāng)限制幅度小于5時(shí)，平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差較大。當(dāng)幅度值處于2～30范圍內(nèi)，隨著限制幅度的擴(kuò)大，平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差降低。當(dāng)限制幅度值處于10～15范圍內(nèi)，平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差達(dá)到最??；當(dāng)限制幅度小于2時(shí)，會(huì)限制算法的正常預(yù)測(cè)，從而使平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差較大；限制幅度過大時(shí)，導(dǎo)致算法異常值的預(yù)測(cè)失去限制作用。因此，選擇適當(dāng)?shù)南拗品?，限制?duì)系統(tǒng)異常跳變值的估計(jì)，從而降低了系統(tǒng)平均相對(duì)預(yù)測(cè)誤差，提升了銣原子鐘的估計(jì)精度。

從上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，改進(jìn)的Kalman濾波算法與Kalman濾波算法相比，能明顯提高預(yù)測(cè)精度，且合適的參數(shù)選取對(duì)算法預(yù)測(cè)精度的提高有促進(jìn)作用。

5 結(jié)語(yǔ)

改進(jìn)的Kalman濾波算法，通過加入預(yù)測(cè)懲罰和幅值限制等措施對(duì)銣原子鐘鐘差進(jìn)行預(yù)測(cè)，提高了鐘差預(yù)測(cè)精度，且改善了Kalman濾波算法在鐘差數(shù)據(jù)存在較大跳變時(shí)產(chǎn)生較大預(yù)測(cè)誤差的問題。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的Kalman濾波算法與Kalman濾波算法相比，能明顯提高預(yù)測(cè)精度，且合適的參數(shù)選取對(duì)算法預(yù)測(cè)精度的提高有促進(jìn)作用。