李保民 胡明亮 范桁

1) (中國科學(xué)院物理研究所, 固態(tài)量子信息與計算實驗室, 北京 100190)

2) (中國科學(xué)院大學(xué), 北京 100049)

3) (西安郵電大學(xué)理學(xué)院, 西安 710121)

4) (中國科學(xué)院大學(xué), 拓撲量子計算卓越創(chuàng)新中心, 北京 100190)

(2018 年 9 月 28 日收到; 2018 年 10 月 24 日收到修改稿)

量子相干不僅是量子力學(xué)中的一個基本概念, 同時也是重要的量子信息處理的物理資源. 隨著基于資源理論框架的量子相干度量方案的提出, 量子相干度的量化研究成為近年來人們關(guān)注的一個熱點問題. 量子相干作為一種物理資源也十分脆弱, 極容易受到環(huán)境噪聲的影響而產(chǎn)生退相干, 因此開放系統(tǒng)中的量子相干演化和保持也是人們廣泛關(guān)注的課題. 另外, 量子相干在量子多體系統(tǒng)、量子熱動力學(xué)、量子生物學(xué)等領(lǐng)域也有著潛在的應(yīng)用價值. 本文介紹量子相干度量的資源理論框架和基于該框架定義的相對熵相干性、l1范數(shù)相干性、基于量子糾纏的相干性、基于凸頂結(jié)構(gòu)的相干性和相干魯棒性等量子相干度量函數(shù), 概述開放系統(tǒng)中量子相干演化的動力學(xué)行為、典型信道的量子相干產(chǎn)生和破壞能力以及量子相干的凍結(jié)等現(xiàn)象, 同時例舉量子相干在Deutsch-Jozsa算法、Grover算法以及量子多體系統(tǒng)相變問題研究等方面的重要應(yīng)用. 量子相干研究仍處于快速發(fā)展之中, 期望本綜述能為該領(lǐng)域的發(fā)展帶來啟示.

1 引 言

相干性不僅是經(jīng)典物理學(xué)關(guān)注的一個根本問題, 在量子力學(xué)中同樣占有舉足輕重的地位. 實際上, 量子相干已成為量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典物理學(xué)的一個重要特征. 對量子相干性的研究, 以相空間分布和多點關(guān)聯(lián)函數(shù)為代表的傳統(tǒng)方式雖然有助于通過與經(jīng)典波動力學(xué)的類比來獲得對量子相干性的某些直覺認識, 并確定那些偏離經(jīng)典行為的量子相干現(xiàn)象, 但是卻很難基于此構(gòu)建起一個嚴謹而完整的量子相干刻畫和度量的理論框架.

近年來, 隨著量子信息學(xué)的快速發(fā)展, 對量子相干的研究也從單純的量子力學(xué)基本問題范疇發(fā)展到將其視為一種可被利用的物理資源. 事實上,量子相干不僅是引起量子干涉以及非定域性、量子導(dǎo)引、量子糾纏、量子失諧等兩體和多體量子關(guān)聯(lián)現(xiàn)象的原因, 借助量子態(tài)的相干性進行量子通信和量子計算還可實現(xiàn)諸多經(jīng)典信息處理方式無法或難以完成的任務(wù), 在量子度量學(xué)中利用相干性也可以極大地提高物理量測量的精度[1]. 此外, 量子相干在量子熱力學(xué)[2?4]和量子生物學(xué)[5]等的研究中也有著潛在的應(yīng)用. 這激發(fā)了人們嘗試從多個不同角度建立量子相干大小的度量理論, 并基于這些理論進一步探討相干疊加態(tài)的非經(jīng)典特性以及其他相關(guān)問題, 從而為量子信息學(xué)的發(fā)展提供理論基礎(chǔ).

2014年, 德國烏爾姆大學(xué)的Baumgratz等[6]提出了基于資源理論框架的量子相干度量方案和量子相干度量函數(shù)需滿足的四個準則, 并基于這些準則證明了相對熵和l1范數(shù)相干度量函數(shù). 受Baumgratz等[6]開創(chuàng)性工作的啟發(fā), 人們陸續(xù)提出了一系列其他滿足上述準則的量子相干度量函數(shù),如基于量子糾纏的相干度量[7]、相干魯棒性[8]、相干權(quán)重[9]、斜信息相干性[10]以及基于凸頂組合的相干度量[11?13]. 通過改變Baumgratz等提出的四個準則, 人們還考察了其他一些可能的相干度量函數(shù),感興趣的讀者可以參見文獻[1].

除了研究各種度量方案, 考慮到量子相干是一種有用的物理資源, 同時它又非常脆弱, 極易受到周圍環(huán)境的擾動而產(chǎn)生退相干, 因此研究開放系統(tǒng)中的量子相干演化和保持也是很有意義的課題. 在這方面人們做了大量工作, 特別是研究發(fā)現(xiàn)對某些噪聲信道,l1范數(shù)相干性和相對熵相干性在演化過程中存在凍結(jié)現(xiàn)象[14], 對特定的噪聲信道量子相干的演化還會滿足演化分解率[15]. 此外, 對于某些信道的相干產(chǎn)生和相干破壞能力[16], 人們也進行了深入的研究.

該領(lǐng)域其他方面的相關(guān)研究還有量子相干與量子關(guān)聯(lián)的轉(zhuǎn)化、量子相干的蒸餾與稀釋等[1]. 限于篇幅, 本文僅概述基于資源理論框架的重要量子相干度量和開放系統(tǒng)中量子相干演化的奇異行為,展示相干度量在典型量子信息處理和多體系統(tǒng)研究方面的應(yīng)用, 并針對上述幾個方向的發(fā)展趨勢進行展望.

2 量子相干的度量

如何給出物理意義明確、數(shù)學(xué)定義嚴謹?shù)牧孔酉喔啥攘糠桨甘茄芯咳藛T長久以來十分關(guān)注的問題. 過去, 人們僅是基于經(jīng)驗, 將量子態(tài)密度矩陣非對角元的大小理解為量子相干性的大小. 2014年, Baumgratz等[6]提出了基于資源理論框架的量子相干度量方案. 與量子糾纏的資源理論相似[17],在構(gòu)建量子相干的資源理論時, 首先需要定義自由態(tài)(非相干態(tài))集合I以及不會產(chǎn)生相干的自由量子操作Λ, 不同的是量子相干依賴于基矢的選取.在d維希爾伯特空間中, 若選定正交基矢則 任意非相干態(tài)的密度算符δ都是對角的, 即

式中δi≥ 0 為對應(yīng)的密度算符對角元. 該非相干態(tài)的定義也決定了對應(yīng)的量子相干度量是依賴于選定的基矢的, 因為除非δ是最大混合態(tài), 否則總是可以通過基矢變換將其轉(zhuǎn)換為非對角態(tài).

自由操作則將任意自由態(tài)映射為自由態(tài), 在Baumgratz等[6]的理論中, 它被定義為如下形式的非相干操作 (incoherent operation, IO):

其中 Kraus算子{Ki}滿足且對任意的和任意的Ki有

此外, 根據(jù)是否對測量結(jié)果進行子選擇(subselection), 還可以進一步將非相干操作分為如下兩大類:

2) 對測量結(jié)果進行子選擇的非相干操作, 此時每一個Kraus算子Ki可以有不同的維數(shù)dn×din,但仍需滿足

盡管Baumgratz等[6]提出的非相干操作已被廣泛接受, 量子相干資源理論框架中自由操作的定義并不惟一. 出于物理上或數(shù)學(xué)上不同的考慮, 研究人員還提出了許多其他形式的自由操作并基于這些操作定義了相應(yīng)的量子相干度量函數(shù).

1) 最大非相干操作 (maximally incoherent operation, MIO)[22]. 它是將非相干態(tài)映射到非相干態(tài)的一類量子操作Φ的集合,顯然,在量子相干度量理論中, 最大非相干操作集是自由操作的最大集合.

2) 退相位協(xié)變非相干操作 (dephasingcovariant incoherent operation, DIO)[23?25]. 它是最大非相干操作集的一個子集, 且滿足其中是ρ在基底|i〉下的對角部分.

3) 嚴格非相干操作 (strictly incoherent operation, SIO)[18]. 該操作具有非相干的 Kraus算子分解{Ki}, 并且對于任意的也是非相干的, 即

基于自由態(tài)和自由量子操作的定義, Baumgratz等[6]提出了一般量子相干度量函數(shù)C(ρ) 應(yīng)滿足的四個條件:

(C1) 非負性,C(ρ)≥ 0 , 當且僅當δ∈I時,

類似于量子糾纏資源理論中的相關(guān)概念, 如果度量函數(shù)C(ρ) 同時滿足以上四個條件, 則我們稱其為相干度量子 (coherence measure); 如果C(ρ) 僅滿足條件(C1), (C2a)和(C2b), 而不滿足條件(C3),則我們稱其為相干單調(diào)子(coherence monotone).值得注意的是, 上述四個條件還有等價的表述方式, 例如基于量子相干可加性的要求, 對于兩個不同 子空間內(nèi)的態(tài)ρ1和ρ2, 應(yīng)有

可以證明上面的條件等價于Baumgratz等[6]提出的條件中的(C2b)和(C3)[27].

與非相干態(tài)相對的概念是最大相干態(tài). 在Baumgratz等[6]的資源理論框架中, 它被定義為

通過對(6)式所示最大相干態(tài)進行不同的非相干操作, 可以得到同一個希爾伯特空間中的任意態(tài)ρ, 通過非相干操作也可以實現(xiàn)某些純態(tài)之間的轉(zhuǎn)化[28]. 需要注意的是, 雖然最大相干態(tài)|Ψd〉相干度的值為最大, 但它卻沒有構(gòu)成最大值相干態(tài)M的完全集, 后者的一般形式為其中

對于任意好的量子相干度量C(ρ) , 只有當量子態(tài)為ρmcs時它才會取最大值[29].

基于資源理論的量子相干度量框架提出后, 研究人員陸續(xù)證明了一系列量子相干度量函數(shù). 這些度量函數(shù)有的滿足Braumgratz等[6]提出的四個準則, 而有的只滿足其中的一部分. 接下來我們將做一簡單回顧.

一種直觀的描述量子相干度大小的方法是將其 定義為所考察量子態(tài)與非相干態(tài)集合的最小距離,

其中D(ρ,δ) 為量子態(tài)ρ和δ之間的某種距離度量.顯然,D(ρ,δ) 滿足相干度量的條件 (C1). 如果對任 意 的 非 相 干 量 子 操 作Λ進 一 步 有D(ρ,δ)≥那么D也滿足條件(C2a). 同樣地,如果則D將進一步滿足條件 (C3). 基于此, Braumgratz 等首先證明了相對熵可以作為量化量子相干度的有效工具. 相對熵量子相干定義為[6]

矩陣范數(shù)是另一種常見的量子態(tài)距離的度量,相應(yīng)的距離函數(shù)取某種矩陣范數(shù). Baumgratz等[6]證明了l1范數(shù)量子相干度量函數(shù), 其定義為

其中

由此可以證明在一般的基矢下,Cl1(ρ) 的最大值 為式 中 , |x|為 向 量的模[31].

若采用Schatten-1范數(shù)(跡范數(shù)), 則相應(yīng)的量 子相干度量函數(shù)為

(15)式定義的Ctr(ρ) 滿足量子相干度量的條件(C1), (C2a)和(C3), 但在非相干操作下它不滿足因此它不滿足條件 (C2b). Rana等[34]進一步證明了當p≥2時,lp范數(shù)和Schatten-p范數(shù)定義的相干度量函數(shù)在Baumgratz等給出的非相干操作下都不滿足條件(C2b).

Streltsov等[7]則給出了一種基于量子糾纏的相干度量, 其定義為

其中ρS為系統(tǒng)S的密度算符; A為輔助系統(tǒng), 其維數(shù)為是 S 和 A 之間的糾纏度量;ΛSA為作用在系統(tǒng)SA上的非相干操作, 式中上界取遍所有的ΛSA. 該度量方法主要基于以下事實: 即如果系統(tǒng)ρS 是非相干的, 那么在任何非相干操作ΛSA下,S與A之間都不會產(chǎn)生糾纏; 而如果系統(tǒng)S的相干度不為零, 那么在某些非相干操作下, S與A之間就會產(chǎn)生糾纏. 當糾纏度量E滿足糾纏資源理論中的相應(yīng)條件時,CE同樣也滿足相干資源理論中的四個條件; 而當E僅為量子糾纏的單調(diào)子時,CE同樣也是量子相干的單調(diào)子.

對某些特定的糾纏度量方案, 可以得到CE的具體表達式. 例如當E取蒸餾糾纏時,CE恰好為蒸 餾相干[18], 即其中

如果進一步將自由操作限制為非相干操作, 那么蒸餾相干與相對熵量子相干相等, 即

此外, 研究人員還構(gòu)造了多種量子相干的凸頂度量. 如果給定一個純態(tài)的相干度量可以通過標準的凸頂構(gòu)造將其推廣到混態(tài),

除了基于量子態(tài)距離的度量外, Napoli等[8]提出了量子相干魯棒性的概念. 對于一個給定的量子態(tài)ρ, 相干魯棒性被定義為

其中最小值取遍同一希爾伯特空間中所有的量子態(tài)ρ.CR(ρ) 滿 足 量 子 相 干 度 量 條 件 中 的(C1),(C2a)和(C3), 并且在非相干操作下滿足條件(C2b).相干魯棒性度量還有著較好的操作解釋, 例如對于任一個相干見證算子W和非相干態(tài)δ都有tr[δW]≥ 0,W≤I 時相干魯棒性度量與相干見證之間有以下關(guān)系:

對于任意的量子態(tài)ρ都存在一個相干性證據(jù)W使得(23)式等號成立, 因此實驗上可以通過測量相干見證算子的期望值來得到量子相干魯棒性的大小.

除上述提到的幾類度量, 近幾年人們還研究了基于斜信息的相干度量[10], 另外對無窮維系統(tǒng)(如光的量子態(tài)、高斯態(tài)等)中的量子相干度量人們也進行了深入探討[36?40], 從而為相關(guān)的實驗研究提供了理論支撐.

3 量子相干動力學(xué)

量子相干是量子通信和量子計算的寶貴物理資源, 但是它卻十分脆弱. 在開放系統(tǒng)中環(huán)境噪聲的干擾會引起系統(tǒng)量子相干大小的快速衰減. 本節(jié)主要概述典型噪聲信道中系統(tǒng)量子相干動力學(xué)演化的行為, 包括量子相干的凍結(jié)現(xiàn)象、量子信道的相干能力和退相干能力等.

對于特定的系統(tǒng)初態(tài)和噪聲信道, 量子態(tài)的相干性在系統(tǒng)演化過程中可以保持不變, 這種現(xiàn)象就是量子相干的凍結(jié). Bromley等[14]研究了N量子比特系統(tǒng)中每個量子比特處在局域獨立信道中時的量子相干演化動力學(xué)演化行為. 對于以下形式的N量子比特貝爾對角態(tài)

研究發(fā)現(xiàn)若N為偶數(shù)且c2= ?1N/2c1c3, 則所有基于距離的合理量子相干度量在比特翻轉(zhuǎn)信道作用下都會被永久凍結(jié)(對于比特-相位翻轉(zhuǎn)信道, 調(diào)換c1和c2可以得到相同的結(jié)果). 若考慮相對熵量子相干性, 上述結(jié)論對所有的偶數(shù)N都成立, 而對于跡范數(shù)量子相干性, 僅當N= 2時上述結(jié)論才成立. 另外, 對于一般的單量子比特態(tài)(即貝爾對角態(tài)中N= 1的情形), 在比特翻轉(zhuǎn)信道作用下,當c2= 0時l1范數(shù)相干性也將被永久凍結(jié). 實驗上, 在相位阻尼信道作用下, 雙量子比特和四量子比特態(tài)的相對熵量子相干、基于保真度的量子相干和跡范數(shù)量子相干的凍結(jié)現(xiàn)象也已經(jīng)在核磁共振系統(tǒng)中被觀察到[41].

在量子信道E作用下, 系統(tǒng)的相干性可能會增加或減少. Mani和 Karimipour[42]研究了信道E的相干生成和相干破壞能力. 他們將E的相干生成能力定義為該信道作用在非相干態(tài)上能夠產(chǎn)生的最大相干值, 而將E的相干破壞能力定義為在該信道作用下最大相干態(tài)相干度減少的值. 具體如下:

對單量子比特態(tài), 他們發(fā)現(xiàn)幺正信道的相干生成和相干破壞能力在任何基矢下都相等. 對N個相互獨立的幺正信道,相應(yīng)的相干生成能力為

而相干破壞能力有如下形式的下界,

對一般的量子信道E, 盡管其相干生成能力沒有解析表達式, 但根據(jù)相干能力的物理意義, 它仍應(yīng) 滿足如下的可加性[43]:

量子信道E的相干生成能力的定義并不惟一.更一般地, 可以將任意量子態(tài)在E作用下的最大相干增量定義為其相干能力,

式中最大值取遍所有的量子態(tài)ρ. 由于ρ不止局限于非相干態(tài), 因此對l1范數(shù)量子相干性和單量子比特系統(tǒng), 任意幺正信道的相干能力在兩種表述下相等, 即而當系統(tǒng)的維數(shù)大于或等于3時,嚴格小于此外, 若考慮相對熵相干度量, 則可以證明幺正操作的相干產(chǎn)生能力可以轉(zhuǎn)化為其列矢量的最大相干值[44]. 對非幺正信道, 研究發(fā)現(xiàn)上述結(jié)論仍然適用[43]. 此外, 研究人員也對其他一些典型量子信道的相干產(chǎn)生能力和退相干能力進行了深入研究[16,45].

開放系統(tǒng)中量子相干的演化行為也是一個重要的研究課題. 量子態(tài)隨時間的演化可以用主方程來描述, 如果量子主方程在時間上是局域的, 那么可以用一個線性映射來刻畫. 如果映射E是完全正定且保跡的[46], 那么可以借助Kraus算子{Eμ}將其具體寫為考慮量子態(tài)

式中

如果映射E不僅滿足而且算符是對角的, 那么在此量子信道作用下l1范數(shù)量子相干度量的演化便滿足上面的關(guān)系式.

而對于如下形式的量子態(tài)

如果E滿足(如泡利信道和蓋爾曼信道), 那么對應(yīng)量子相干的演化則由其初始相干 值和噪聲因子共同決定, 也即

4 量子相干度量的應(yīng)用

量子態(tài)的相干性在量子通信、量子計算和量子計量學(xué)等實際問題的處理中都發(fā)揮著重要作用, 同時它還在量子多體理論、量子熱動力學(xué)、量子生物學(xué)等一些問題的研究中具有潛在的應(yīng)用價值. 特別是量子相干的量化使得人們可以更好地理解量子相干在量子計算等過程中所扮演的角色. 接下來,我們就通過幾個具體的實例來說明近幾年該領(lǐng)域的一些主要進展.

Deutsch-Jozsa算法[47]是最早的量子算法之一, 盡管其所能解決的問題十分局限, 但是卻很好地展示了量子計算相對于經(jīng)典計算的優(yōu)勢. 如果一個布爾函數(shù)只有兩種可能: 常數(shù)值(對于整個定義域其函數(shù)值要么全部為0, 要么全部為1)或平衡值(恰好有一半函數(shù)值為0, 另一半為1), 則區(qū)分這兩種可能經(jīng)典計算機最多需要2N?1+1個函數(shù)值. 而對于N比特量子系統(tǒng), Deutsch-Jozsa算法僅需要一個函數(shù)值就可以做到. Hillery[48]從數(shù)值上討論了量子相干對Deutsch-Jozsa算法的影響, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的相干度越小, 區(qū)分平衡或常數(shù)的能力就越低.

量子相干在Grover搜索算法中也發(fā)揮著重要作用. Anand 和 Pati[49]考察了類 Grover算法(Grover算法基于絕熱哈密頓量演化的一種形式),并建立了搜索成功概率psucc和與其對應(yīng)的量子態(tài)相干值之間的關(guān)系,

進一步的研究則發(fā)現(xiàn)Grover搜索算法中量子相干的消耗越大, 其成功的概率就越大, 當然必要的最佳搜索時間也會越長. 而這兩者與量子糾纏、量子失諧等量子關(guān)聯(lián)度量之間并沒有直接的關(guān)系[50].

利用量子相干度量研究多體系統(tǒng)的量子行為也是行之有效的方法, 例如超導(dǎo)理論中著名的非對角長程序就與系統(tǒng)的l1范數(shù)相干度量直接相關(guān)[1].量子糾纏在多體系統(tǒng)中的一種重要應(yīng)用是探測和描述量子相變, 而量子相干度量作為系統(tǒng)量子特性的一種重要量化描述, 同樣可以扮演類似的角色.

Karpat等[51]考察了基于斜信息的量子相干度量在研究量子相變中的有效性, 對如下形式的自旋1/2海森伯XY模型他們計算了對應(yīng)的單自旋相干雙自旋局域相干以及它們的下界, 進而觀測到了熱基態(tài)的二階量子相變.

Chen等[52]則展示了相干敏感度在研究量子相變中的應(yīng)用. 相干敏感度被定義為相對熵量子相干的一階導(dǎo)數(shù), 即

式中λ為系統(tǒng)哈密頓量的特征參數(shù). 對橫場伊辛模型、自旋1/2海森伯XX模型和Kitaev蜂巢模型,借助相干敏感度的奇異點不僅可以準確找到量子相變點, 還可以找到量子臨界的溫度結(jié)構(gòu), 而后者正是相干敏感度方法的優(yōu)勢所在.

利用量子相干度量研究其他模型中量子相變的工作可以參見文獻[53—55]. 除了在量子算法和量子多體問題研究中的重要應(yīng)用之外, 量子相干度量在量子計量學(xué)[8,10]、量子熱力學(xué)[2?4,56,57]和量子生物學(xué)[5]等領(lǐng)域的研究中也都有相應(yīng)的應(yīng)用. 限于篇幅, 在此不再一一贅述.

5 總結(jié)與展望

量子相干起源于量子態(tài)的疊加, 它是量子理論中的基本概念, 在量子信息等新興領(lǐng)域同樣扮演著十分重要的角色. 深入研究量子相干的各種性質(zhì)不僅可以使人們更好地理解這一基本物理概念, 也可以推動相領(lǐng)域的交叉融合與發(fā)展. 量子相干的度量一直以來都是研究人員非常關(guān)心的問題, 特別是自Baumgratz等[6]提出基于資源理論框架的量子相干度量方案并首次在數(shù)學(xué)上嚴格地量化了量子相干以來, 關(guān)于量子相干度量及相關(guān)問題的研究進入了快速發(fā)展期. 本文對近年來該領(lǐng)域的一些主要進展做了概述.

首先, 我們回顧了量子相干資源理論的基本框架, 包括非相干態(tài)、最大相干態(tài)和非相干操作的定義以及量子相干度量函數(shù)需滿足的基本條件, 介紹了基于量子態(tài)之間距離的量子相干度量、基于量子糾纏的量子相干度量等一些具體的度量形式. 回顧了量子相干度量在不同物理體系、不同量子信道作用下的動力學(xué)演化行為, 著重介紹了量子相干的凍結(jié)現(xiàn)象, 量子信道的相干產(chǎn)生能力和相干破壞能力以及某些特定量子態(tài)中量子相干度量的動力學(xué)演化分解率. 除此之外, 量子相干的非馬爾可夫演化和開放體系量子相干演化的操控等領(lǐng)域也有豐富的研究成果涌現(xiàn)[1]. 最后簡要回顧了量子相干的一些典型應(yīng)用, 包括量子相干在Deutsch-Jozsa算法、Grover搜索算法中起到的作用, 以及量子相干度量在多體量子相變研究中的應(yīng)用.

盡管已有較為廣泛且深入的研究成果, 量子相干相關(guān)領(lǐng)域的研究仍然富有生命力, 許多有趣的、富有挑戰(zhàn)性的問題尚有待解決. 例如迄今為止大部分量子相干的度量都是基于Baumgratz等[6]提出的四個公理化條件, 許多度量至今沒有找到確切的物理含義. 另外, 如果適當?shù)胤艑捈s束條件, 或許可以定義更多富有物理含義、數(shù)學(xué)上嚴格的量子相干度量函數(shù). 量子相干與量子關(guān)聯(lián)更加本質(zhì)的關(guān)系也有待人們深入的討論. 量子相干的嚴格度量為開放系統(tǒng)退相干過程的分析提供了可能, 量子相干在量子多體系統(tǒng)的研究方面仍然有巨大的應(yīng)用潛力.相信在未來的幾年中, 這個領(lǐng)域?qū)懈玫陌l(fā)展.