趙克新，黃長(zhǎng)強(qiáng)，王 淵

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038）

0 引言

蟻獅優(yōu)化算法［1］（Ant Lion Optimizer，ALO）作為一種新的群智能優(yōu)化算法，是澳大利亞學(xué)者Seyedali在2015年提出來的。相比于遺傳算法［2］、粒子群算法［3］、人工蜂群算法［4-5］（Artificial Beecolony Algorithm，ABC）、蟻群算法［6］，由于蟻獅優(yōu)化算法包含螞蟻游走和蟻獅捕獵兩種行為，在求解復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問題時(shí)表現(xiàn)出了更強(qiáng)的探索能力和開發(fā)能力［7］。同時(shí)該算法具有調(diào)節(jié)參數(shù)少，易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，引起了很多學(xué)者的關(guān)注。在建立離散濾波器模型［8］、解決無線傳感網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)收集［9］問題、可再生分布式產(chǎn)能的優(yōu)化配置［10］、解決無人機(jī)航跡規(guī)劃［11-12］問題等方面表現(xiàn)出優(yōu)越的性能。

ALO算法作為新的群智能優(yōu)化算法，本身還有很多待優(yōu)化的方面，螞蟻在精英蟻獅的周圍隨機(jī)游走，步長(zhǎng)隨著算法迭代次數(shù)的增加而減小，算法在后期容易出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)［13］、收斂速度慢、搜索精度不高等問題，從而給算法的實(shí)際應(yīng)用帶來了負(fù)面影響［14-15］。針對(duì)這一問題，本文提出了一種具有隨機(jī)分形自適應(yīng)搜索策略的蟻獅優(yōu)化算法（Ant Lion optimizer With Stochastic Fractal and Self-adaption Searching Strategy，SFSALO）。仿真結(jié)果表明，SFSALO算法很好地平衡了全局開發(fā)與局部探索能力，能夠有效解決復(fù)雜多維函數(shù)的優(yōu)化問題。

1 標(biāo)準(zhǔn)ALO算法

蟻獅優(yōu)化算法的靈感來源于蟻獅幼蟲捕食螞蟻的行為：螞蟻為了尋找食物在空間內(nèi)隨機(jī)游走，蟻獅在沙丘內(nèi)利用設(shè)計(jì)好的錐形陷阱獵捕螞蟻，當(dāng)隨機(jī)游走的螞蟻落入陷阱，蟻獅便捕捉到了螞蟻并重新挖好陷阱等待另外的螞蟻。算法首先按照下式進(jìn)行初始化：

螞蟻和蟻獅分別隨機(jī)生成SN個(gè)初始解，并計(jì)算每個(gè)蟻獅位置的優(yōu)劣或者適應(yīng)度值，同時(shí)進(jìn)行排序，全局最優(yōu)值。式（1）中，xn，i表示螞蟻或者蟻獅的位置，，ul和ub分別表示游走空間的下界和上界。螞蟻隨機(jī)游走數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式（2）中，cumsum表示計(jì)算數(shù)組累；m為螞蟻的數(shù)量；t為當(dāng)前的迭代次數(shù)；r（t）是一個(gè)隨機(jī)函數(shù)，如下：

式（3）中，rand表示0到1之間的隨機(jī)數(shù)。

下列矩陣保存螞蟻的位置：

式中，d表示變量的維度，Ai，j表示第i只螞蟻在第j維上的位置。通過適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)螞蟻位置的優(yōu)劣，螞蟻的適應(yīng)度值保存在如下函數(shù)矩陣：

蟻獅的數(shù)量與螞蟻一致，其位置與適應(yīng)度函數(shù)用下列矩陣表示：

式（4）中，d表示變量的維度，通過適應(yīng)度函數(shù)MAP評(píng)價(jià)蟻獅的位置。螞蟻在第i維的位置更新公式：

式（8）中，ai和bi為第i只螞蟻隨機(jī)游走的最小步長(zhǎng)和最大步長(zhǎng)；cti和dti分別為螞蟻第t次迭代時(shí)的變量的最小值和最大值。cti和dti分別定義如下：

式中，ct表示蟻獅第t次迭代時(shí)變量的最小值和最大值。ct、dt的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中，w為常值，t表示當(dāng)前迭代次數(shù)，Tg表示最大迭代次數(shù)。

ALO算法將每次迭代的精英蟻獅個(gè)體EAntlion保存下來，螞蟻通過輪盤賭［20］的方式對(duì)蟻獅進(jìn)行貪婪選擇并和螞蟻一樣在自身周圍隨機(jī)游走，表達(dá)式如下：

蟻獅在捉到螞蟻后的位置更新公式如下：

2 具有分形自適應(yīng)搜索策略的蟻獅優(yōu)化算法

群智能優(yōu)化算法的探索與開發(fā)能力是決定算法效率的關(guān)鍵。開發(fā)能力指的是算法在特定區(qū)域內(nèi)尋找并提取較優(yōu)的解，探索能力是指在搜索空間內(nèi)確定較優(yōu)解的能力。ALO算法的螞蟻和蟻獅位置更新方程因選擇精英蟻獅進(jìn)行游走而具有較強(qiáng)的開發(fā)能力。但同時(shí)可以看出，ALO算法的探索能力較弱，因而存在易陷入局部最優(yōu)的問題。針對(duì)這一問題，提出了隨機(jī)分形自適應(yīng)搜索策略，該策略主要是根據(jù)螞蟻的游走行為，提出了增強(qiáng)探索能力的隨機(jī)分形搜索方程；根據(jù)蟻獅重挖陷阱的行為，提出了增強(qiáng)開發(fā)能力的自適應(yīng)搜索方程。下面對(duì)提出的策略進(jìn)行詳細(xì)說明。

2.1 螞蟻隨機(jī)分形搜索方程

分形現(xiàn)象是自然界很常見的一種現(xiàn)象，例如植物的生長(zhǎng)、山河的形成以及大腦皮層等，這種部分以某種方式與整體相似的形式稱為分形。隨機(jī)分形一般由不同的隨機(jī)原則反復(fù)迭代產(chǎn)生。常用的隨機(jī)原則有高斯游走（Gaussian Walk）、列維飛行（levy Flight）、自回避游走（Self-avoiding Walks）。列維飛行具有較強(qiáng)的全局搜索能力，將列維飛行與蟻獅優(yōu)化算法中螞蟻的搜索行為相結(jié)合，提出了螞蟻隨機(jī)分形搜索方程：

式中，q表示種群數(shù)量，α表示比例因子，Xi表示最初的螞蟻位置。通過上述改進(jìn)有效地提高了螞蟻對(duì)整個(gè)解空間的探索能力。

圖1 單個(gè)粒子隨機(jī)分形示意圖

2.2 蟻獅自適應(yīng)搜索方程

標(biāo)準(zhǔn)ALO算法中蟻獅根據(jù)螞蟻進(jìn)行陷阱位置的調(diào)整，蟻獅與螞蟻采用相同的搜索方程，經(jīng)過對(duì)算法的原理分析得到：蟻獅的行為方式影響了算法對(duì)解的精細(xì)化搜索。所以受到文獻(xiàn)［15］的啟發(fā)，提出了蟻獅自適應(yīng)搜索方程：

式中，r是0到1之間的隨機(jī)數(shù)，Elibest表示蟻獅全局最優(yōu)位置，表示種群i中第t只蟻獅的位置，iter表示當(dāng)前迭代的次數(shù)。隨著迭代次數(shù)的增加，蟻獅搜索范圍自適應(yīng)減小，在全局最優(yōu)位置附近進(jìn)行精細(xì)開發(fā)。

2.3 改進(jìn)算法的分析與步驟

在標(biāo)準(zhǔn)的ALO算法的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)分形自適應(yīng)搜索策略，首先針對(duì)螞蟻的行為引入隨機(jī)分形原則，對(duì)其游走方程進(jìn)行了改進(jìn)，該方程利用列維飛行能夠很好地對(duì)搜索空間進(jìn)行探索。其次在蟻獅設(shè)置陷阱行為的基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)因子，隨著循環(huán)次數(shù)的增加，自適應(yīng)地平衡算法的開發(fā)與探索能力。算法的具體步驟如下：

1）初始化算法的各個(gè)參數(shù)；

2）計(jì)算每個(gè)蟻獅對(duì)應(yīng)位置的適應(yīng)度值并記錄全局最優(yōu)值；

3）while結(jié)束條件不滿足；

4）螞蟻根據(jù)式（16）進(jìn)行隨機(jī)分形游走，并計(jì)算更新后的適應(yīng)度值，與全局最優(yōu)值進(jìn)行比較，采用貪婪選擇機(jī)制進(jìn)行更替；

5）位置最佳蟻獅根據(jù)式（18）進(jìn)行自適應(yīng)陷阱設(shè)置，應(yīng)用貪婪機(jī)制更新蟻獅最優(yōu)位置；

6）判斷當(dāng)前迭代次數(shù)是否超過極限值，如果條件不滿足，轉(zhuǎn)至第4）步；否則進(jìn)入第7）步；

7）結(jié)束循環(huán)，輸出最優(yōu)解。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境與參數(shù)設(shè)置

為了驗(yàn)證本文提出的SFSALO算法的特性，選取了3個(gè)單峰，3個(gè)多峰基準(zhǔn)函數(shù)作為被測(cè)函數(shù)，并與ABC算法、ALO算法的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)硬件條件為 Inter（R）Core（TM）i5-6500，CPU，3.20 GHz，4 GB，RAM，Win7操作系統(tǒng)，仿真軟件為MATLAB R2013a。3種算法種群規(guī)模SN設(shè)置為50和100，迭代次數(shù)macycle為300次，試驗(yàn)次數(shù)100次。通過對(duì)比100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的最優(yōu)值、平均值、最差值、方差等參數(shù)，評(píng)價(jià)各個(gè)算法的優(yōu)化能力。

3.2 結(jié)果分析

下頁(yè)表1為6個(gè)基準(zhǔn)函數(shù)的數(shù)學(xué)公式、理論最優(yōu)值、搜索空間。為單峰測(cè)試函數(shù)，為多峰測(cè)試函數(shù)。圖2是在50維下6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的收斂過程，表2為測(cè)試結(jié)果（100維收斂過程省略）。

表1 測(cè)試函數(shù)

從圖2可以看出，改進(jìn)后的SFSALO算法比標(biāo)準(zhǔn)的ALO算法具有明顯的優(yōu)勢(shì)。分析圖2（a）、2（b）、2（c）可知，在對(duì)單峰測(cè)試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，SFSALO算法的收斂速度明顯快于ALO算法，并總能夠找到理論最優(yōu)值，而標(biāo)準(zhǔn)ALO算法卻很難達(dá)到理論最優(yōu)值；分析圖 2（d）、2（e）、2（f）可知，在對(duì)多峰測(cè)試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，SFSALO算法在對(duì)測(cè)試函數(shù)4和5尋優(yōu)時(shí)，可以在較少的迭代次數(shù)內(nèi)收斂到理論最優(yōu)值，尋優(yōu)的尋優(yōu)精度強(qiáng)于標(biāo)準(zhǔn)ALO算法。在對(duì)函數(shù)6進(jìn)行尋優(yōu)，雖然SFSALO算法沒有收斂到理論最優(yōu)值，但是收斂精度和速度明顯優(yōu)于ALO算法。

通過下頁(yè)表2可以看出，改進(jìn)后的算法無論是收斂精度還是穩(wěn)定性，都優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的ALO算法，SFSALO算法對(duì)于單峰還是多峰函數(shù)都具有較好的適應(yīng)性。在對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)，螞蟻的隨機(jī)搜索具有很好的探索性，不容易陷入局部最優(yōu)值；蟻獅的自適應(yīng)搜索具有很好的開發(fā)性，能夠在適應(yīng)度較高的位置附近進(jìn)行精細(xì)搜索。改進(jìn)后的算法很好地平衡了開發(fā)能力與探索能力。

圖2 不同基準(zhǔn)函數(shù)的測(cè)試收斂過程

為了進(jìn)一步說明SFSALO算法的優(yōu)越性，對(duì)ABC算法，PSO算法，GWO算法進(jìn)行了比較，維度設(shè)為50，最大迭代次數(shù)為300。圖3和圖4分別是4種算法對(duì)Sphere函數(shù)、Griewank函數(shù)的收斂過程對(duì)比。

圖3 Sphere函數(shù)收斂曲線

圖4 Griewank函數(shù)收斂曲線

表2 6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)仿真結(jié)果比較（50維）

仿真結(jié)果分析表明SFSALO算法的收斂精度和收斂速度明顯比其他3種算法效果顯著。對(duì)Sphere高維單峰函數(shù)和Griewank多峰函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，SFSALO算法在較少的迭代次數(shù)內(nèi)都可以搜索到理論最優(yōu)值。

4 結(jié)論

為了解決標(biāo)準(zhǔn)ALO算法易陷入局部最優(yōu)值和收斂速度慢等缺點(diǎn)，更好地平衡算法的開發(fā)與探索能力，在隨機(jī)搜索思想的啟發(fā)下，結(jié)合自適應(yīng)策略，提出了具有隨機(jī)搜索自適應(yīng)蟻獅優(yōu)化算法。改進(jìn)后算法中的螞蟻通過隨機(jī)搜索方程提高了探索能力；蟻獅利用自適應(yīng)搜索的方式對(duì)自身進(jìn)一步精細(xì)開發(fā)，兩者協(xié)作共同提高了算法的全局搜索能力。通過對(duì)單峰、多峰函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，并且與其他常見的幾種算法進(jìn)行比較，充分表明了SFSALO算法具有收斂速度快、尋優(yōu)精度高、適用廣泛等優(yōu)越的性能。