姜志茂

【摘要】 立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，是高考必考內(nèi)容，立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題，必有一道大題.分值占比也相當(dāng)大.對(duì)此，不管是學(xué)生還是一線數(shù)學(xué)教師，對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)和教學(xué)都非常重視，教師也通過多方面手段進(jìn)行教學(xué).對(duì)此我談?wù)動(dòng)嘘P(guān)能力導(dǎo)向的立體幾何教學(xué)啟示.

一、關(guān)注識(shí)圖用圖與建系簡(jiǎn)潔性的教學(xué)，提高空間想象能力

在空間幾何體中，正確認(rèn)識(shí)線線、線面、面面的位置關(guān)系，包括平行、垂直、異面等，也包括線線、線面、面面之間的大小關(guān)系，如線段長(zhǎng)度、夾角大小等，以及它們之間的比例關(guān)系.認(rèn)識(shí)空間幾何體的底面、側(cè)面、截面圖形以及側(cè)面展開圖，區(qū)分三視圖與直觀圖，熟練掌握斜二測(cè)畫法等.

注意建系方法的選擇多樣性與簡(jiǎn)潔性，也是反映立幾識(shí)圖與用圖能力的重要方面.比如，本題的多樣性主要體現(xiàn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的不同位置，最優(yōu)的建系方式如圖所示，

依次為E→F→G→H→M→A→B→O.同時(shí)，解題的簡(jiǎn)潔性還體現(xiàn)在正方形邊長(zhǎng)AF長(zhǎng)度的不同假設(shè)上，最優(yōu)方式依次為AF=4→AF=2→AF=1，或者AF=4a→AF=2a→AF=a.

二、加強(qiáng)邏輯分析與推理證明的教學(xué)，提高推理論證能力

立體幾何的一大難點(diǎn)就是“思維證明”，主要原因在于：考生理性思維能力欠缺，思維品質(zhì)如嚴(yán)密性、敏捷性、靈活性、發(fā)散性等較差，沒有相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，缺少可操作性的解題方法、策略及步驟等.心理因素，不少同學(xué)患有“證明恐懼癥”.

盡管新課標(biāo)高考在邏輯證明方面的考查大大降低了要求及難度，只需對(duì)性質(zhì)定理及應(yīng)用給予證明.可是，學(xué)習(xí)幾何不可能回避“證明”，何況證明對(duì)于邏輯思維的訓(xùn)練及發(fā)展有相當(dāng)重要的作用.在學(xué)習(xí)到平行及垂直性質(zhì)定理及證明的過程中，從作業(yè)反饋及學(xué)生建議來看，諸多學(xué)生對(duì)于證明習(xí)題無法入手;有些學(xué)生明晰思路，可無法用書面語言加以描述;有些學(xué)生書面語言欠缺規(guī)范，解題思路混亂等.

反思：數(shù)學(xué)知識(shí)具有系統(tǒng)及連續(xù)性，作為教師應(yīng)該在新授課過程中，要隨時(shí)注意與舊知識(shí)的聯(lián)系，并有意識(shí)地復(fù)習(xí)前面的知識(shí).譬如，在例題、習(xí)題的設(shè)置過程中，可以設(shè)置一些有層次性的題目，既照顧到舊知識(shí)，同時(shí)又為新知識(shí)的理解及掌握打下良好的基礎(chǔ).

另外，如何突破“數(shù)學(xué)證明”的難關(guān)？通過上面的分析與思考，我們可以總結(jié)出以下方法：① 重在分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析;② 教師應(yīng)該做好格式的示范及榜樣作用;③ 引導(dǎo)學(xué)生歸納常見證明策略、方法、步驟等;④ 遵循由易到難的原則，設(shè)置系列證明習(xí)題，強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生積累相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn);⑤ 當(dāng)然，幾何中的三種語言規(guī)范使用是一切幾何學(xué)習(xí)的前提及保證.

事實(shí)上，本題證明面面垂直主要有兩種思路：

思路一：因?yàn)锳F⊥DF，AF⊥EF，EF∩DF=F，

所以AF⊥平面EFDC，

又因?yàn)锳F平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC.

思路二：先證二面角60°，再求線段長(zhǎng)度，

AF=4，DF=2，DG= 3 ，

FG=1，GA= 17 ，AD= 20 ，

所以DG2+GA2=AD2，

所以DG⊥平面ABEF.

又因?yàn)镈G平面EFDC，所以平面ABEF⊥平面EFDC.

本方法比較煩瑣，走了彎路.

三、關(guān)注立體幾何中向量方法的教學(xué)，包括數(shù)學(xué)概念與向量公式的對(duì)應(yīng)性，以及向量坐標(biāo)運(yùn)算的準(zhǔn)確性，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角，它減少了大量的綜合證明，重在對(duì)于圖形的把握，運(yùn)用向量運(yùn)算方法解決空間位置關(guān)系問題，更加注意數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系和應(yīng)用.事實(shí)上，必修二中的“立體幾何初步”側(cè)重于定性研究，理科選修2-2立體幾何中的向量方法側(cè)重于定量研究.空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效的工具.利用向量來解決立體幾何問題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，要讓學(xué)生體會(huì)向量的思想方法，以及如何用向量來表示點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系.

立體幾何中的空間向量教學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)通法：① 向量法有別于傳統(tǒng)的純幾何方法，而是將幾何元素用向量表示，進(jìn)行向量運(yùn)算，再回歸到幾何問題.這種“三部曲”式的解決問題的過程，在數(shù)學(xué)中具有一般性.② 三部曲：空間向量表示幾何元素→利用向量運(yùn)算研究幾何元素間的關(guān)系→把運(yùn)算結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何意義.③ 向量運(yùn)算時(shí)注意其幾何意義，聯(lián)系幾何問題（如三垂線定理及其逆定理等）加深對(duì)有關(guān)運(yùn)算的認(rèn)識(shí).還要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，正確進(jìn)行數(shù)字的計(jì)算，式子的組合變形，還需要注意運(yùn)算依據(jù)的合理性，關(guān)注計(jì)算公式與數(shù)學(xué)概念的對(duì)應(yīng)性.注意準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)中的概念、定義、公式、法則，避免出現(xiàn)類似cosθ=cos〈 n ， m 〉=?? n · m? | n |·| m |? =…的錯(cuò)誤.

總之，從本次高考閱卷情況來看，學(xué)生對(duì)于立體幾何試題掌握不好的大致表現(xiàn)有三個(gè)：一是沒有建立立體感和空間概念;二是基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，邏輯分析與推理證明不規(guī)范;三是空間向量的相關(guān)知識(shí)與運(yùn)算能力不足.只要我們認(rèn)真總結(jié)，對(duì)癥下藥，在平時(shí)的教學(xué)復(fù)習(xí)中加以針對(duì)性的規(guī)范訓(xùn)練，我們一定能夠取得理想的教學(xué)效果.