李瑞濤 唐剛 夏輝 尋之朋 李嘉翔 朱磊

(中國礦業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 徐州 221116)

石墨烯等材料具有典型的二維蜂巢結(jié)構(gòu),而隨機(jī)電阻絲模型則是研究非均勻材料斷裂十分有效的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)模型.本文嘗試對二維蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷的動力學(xué)過程及熔斷面性質(zhì)進(jìn)行數(shù)值模擬分析,以此來研究二維非均質(zhì)蜂窩材料熔斷的動力學(xué)性質(zhì)和熔斷面的動力學(xué)標(biāo)度性質(zhì). 模擬研究表明, 二維隨機(jī)蜂窩網(wǎng)格的熔斷動力學(xué)過程和熔斷面具有明顯的標(biāo)度性質(zhì), 得到的熔斷面整體和局域粗糙度指數(shù)分別為和 , 這兩者之間的明顯差異表明熔斷面具有奇異標(biāo)度性. 通過對熔斷面極值高度的分析發(fā)現(xiàn), 熔斷面高度的極值統(tǒng)計(jì)分布能很好地滿足Asym2sig型分布, 而不是最常見的三種極值統(tǒng)計(jì)分布. 本文的研究表明, 隨機(jī)電阻絲模型在模擬非均勻材料的電流熔斷過程和熔斷表面標(biāo)度性的分析中同樣適用和有效.

1 引 言

二維蜂巢結(jié)構(gòu)是覆蓋二維平面的最佳拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), 其構(gòu)成是由一個個正六邊形單房、房口全部朝下或朝向一邊、背對背對稱排列組合而成. 同時二維蜂巢結(jié)構(gòu)也是一種十分重要的材料結(jié)構(gòu)形式, 這其中就包括石墨烯等重要材料的結(jié)構(gòu). 石墨烯是由碳原子以雜化軌道組成六角型呈蜂巢狀晶格的平面薄膜, 是一種可以只有一層原子厚度的二維材料. 由于其高導(dǎo)電率以及獨(dú)特的電子特性, 被認(rèn)為是下一代電子材料中最有前途的候選材料之一, 并具有廣泛的應(yīng)用前景[1]. 因而研究其導(dǎo)電性能和電流熔斷機(jī)理以及熔斷面的標(biāo)度屬性具有重要的理論和實(shí)踐意義.

自從2004年二維石墨烯薄膜材料被發(fā)現(xiàn)以來, 人們對二維石墨烯材料的結(jié)構(gòu)以及導(dǎo)電性能都進(jìn)行了廣泛和深入的研究, 并取得了很多重要的理論和實(shí)驗(yàn)成果[2]. 比如, Lu等[3]通過理論模型分析,發(fā)現(xiàn)外部電場對研究石墨烯系統(tǒng)的原子和電子結(jié)構(gòu)都有重要影響, 指出控制石墨烯電子結(jié)構(gòu)的重要性, 并且發(fā)現(xiàn)石墨烯上的吸附原子可以作為調(diào)節(jié)電子性質(zhì)的有效工具等. 2013 年, Mour和 Marder[4]通過分子動力學(xué)模擬的方法對石墨烯的斷裂力學(xué)進(jìn)行了深入的研究, 建立了斷裂的幾何模型, 得到了臨界裂紋長度和應(yīng)力的近似表達(dá)式, 提出了改善石墨烯韌性的方法. 他們還發(fā)現(xiàn), 裂紋的路徑和產(chǎn)生的邊緣結(jié)構(gòu)依賴于初始裂紋的長度. 2016年,Ghorbanfekr-Kalashami等[5]通過反應(yīng)力場(reaction force field)的方法對石墨烯的結(jié)構(gòu)和力學(xué)性能進(jìn)行了研究, 結(jié)果發(fā)現(xiàn)摻雜物的波紋改變了石墨烯斷裂表面的粗糙度, 并且與摻雜物的數(shù)量和局部排列也有關(guān).

在材料斷裂方面, 非均勻材料的斷裂機(jī)理和斷裂規(guī)律、斷裂表面的標(biāo)度性質(zhì)等近年來一直都是活躍的實(shí)驗(yàn)和理論研究領(lǐng)域[6]. 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn), 在不同載荷下的幾種材料, 例如木材、蜂窩玻璃、混凝土和紙張[7-10]等, 其斷裂表面具有分形結(jié)構(gòu)和標(biāo)度性質(zhì), 并具有普適性質(zhì). 材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的無序性、非均勻性和斷裂過程的非線性決定了非均勻材料的斷裂機(jī)理、斷裂面形貌及其標(biāo)度性質(zhì). 在非均勻材料斷裂的微觀機(jī)理和動力學(xué)過程的理論研究中, 通常是基于晶格模型的解析近似和數(shù)值模擬. 在對非均勻材料斷裂動力學(xué)過程的數(shù)值模擬方面, 隨機(jī)電阻絲模型則是最廣泛使用和十分有效的方法[6].

隨機(jī)電阻絲模型是Arcangelis等[11]在1985年引入的. 在隨機(jī)電阻絲模型中, 是將材料看成由電阻絲組成的網(wǎng)格, 在網(wǎng)格兩端加上電壓, 用電阻絲中的電流強(qiáng)度來表示材料的應(yīng)力, 用網(wǎng)格中各個電阻絲的斷裂電流閾值的隨機(jī)分布來模擬材料的非均勻性, 用電阻絲的熔斷過程來模擬實(shí)際材料的斷裂過程. 研究表明, 隨機(jī)電阻絲模型可以較準(zhǔn)確地模擬實(shí)際材料的斷裂過程[12], 并能夠得到斷裂過程中的基本特征, 而且這樣的模型相對簡單和容易處理[13].

在隨機(jī)電阻絲模型中有兩個基本假設(shè). 一是假設(shè)模型中電阻絲具有不可逆的熔斷性質(zhì). 要求電阻絲網(wǎng)絡(luò)模型滿足連續(xù)Laplace方程

變閾值范圍為

近年來, 在對隨機(jī)電阻絲模型的研究中, 科學(xué)家們做了許多十分有價(jià)值的研究工作. Duxbury等[14]發(fā)現(xiàn)在淬火隨機(jī)介質(zhì)中電擊穿的尺寸效應(yīng),即局域斷裂理論, 證明了隨機(jī)淬火介質(zhì)中的有限缺陷部分可以定性地降低實(shí)際材料的電流擊穿性能.Nukala等[15]通過數(shù)值模擬的方法分析了強(qiáng)無序隨機(jī)電阻絲模型的損傷成核化和局域化, 說明了斷裂的過程和特點(diǎn), 找到了損傷標(biāo)度律并指出損傷在大尺寸上的不相關(guān)性. 兩年后他們又分析了三維隨機(jī)電阻絲模型斷裂粗糙度和斷裂面的標(biāo)度特征, 指出損傷累積是以發(fā)散的方式進(jìn)行的, 直至峰值載荷處, 然后發(fā)生局域化. 同時他們還發(fā)現(xiàn). 整體表面粗糙度指數(shù)與峰值載荷后損傷輪廓的局域化長度是一致的. 對不同系統(tǒng)尺寸的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析, 發(fā)現(xiàn)斷裂寬度分布可以很好地塌縮在一起. Toussaint和Hansen[16]還從平均場理論對柱形電阻絲網(wǎng)絡(luò)的斷裂機(jī)制進(jìn)行了研究, 通過分離和分析系統(tǒng)的相圖, 找到了系統(tǒng)尺寸和損傷發(fā)生的特征尺寸之間的標(biāo)度律. Jan ?ystein 和 Hansen[17]在研究斷裂面粗糙度的映射工作中指出, 在電阻絲模型中粗糙度指數(shù)是普遍的. 當(dāng)晶格影響斷裂生長時, 電阻絲模型的粗糙度指數(shù)會隨著閾值分布而改變; 當(dāng)影響消失時, 局部粗糙度指數(shù)趨于. 這些研究工作充分地證明了隨機(jī)電阻絲模型在模擬非均勻材料斷裂的微觀機(jī)理和動力學(xué)過程中的適用性和有效性[6].

在此前的模擬研究中, 因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算方便而且計(jì)算量比較小, 所以采用的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)大多是三角網(wǎng)格和菱形網(wǎng)絡(luò)[13], 尚未見對二維蜂巢結(jié)構(gòu)直接進(jìn)行模擬分析計(jì)算的工作. 二維蜂巢結(jié)構(gòu)是最常見和最重要的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)之一, 也是石墨烯等重要材料所具有的晶格結(jié)構(gòu). 除了石墨烯以外, 如果用電阻絲斷裂的閾值代表化學(xué)鍵的強(qiáng)度, 則隨機(jī)電阻絲模型還可以用來研究其他的晶態(tài)材料, 對很多金屬材料的強(qiáng)度的模擬分析研究是十分有幫助的. 因此, 對二維蜂巢結(jié)構(gòu)的隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)的微觀熔斷機(jī)理和動力學(xué)過程進(jìn)行模擬研究具有一定的理論和實(shí)踐意義. 此外, 使用隨機(jī)電阻絲模型對斷裂微觀機(jī)理和動力學(xué)過程分析模擬的比較多. 本文則嘗試使用隨機(jī)電阻絲模型來分析斷裂面形貌及其標(biāo)度性質(zhì).

本文對二維蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)的熔斷過程進(jìn)行數(shù)值模擬分析, 目的是研究二維蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)斷裂的微觀機(jī)理和動力學(xué)過程以及熔斷面的形貌和標(biāo)度性質(zhì). 通過對熔斷面表面寬度和局域表面寬度的計(jì)算, 發(fā)現(xiàn)二維蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)的熔斷面呈現(xiàn)出標(biāo)度性質(zhì)并具有奇異標(biāo)度性質(zhì), 得到的標(biāo)度指數(shù)分別為和. 通過對二維蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面極值高度的分析, 發(fā)現(xiàn)其極值高度的極大(小)值呈現(xiàn)一定的分布規(guī)律, 分布函數(shù)則能很好地滿足Asym2sig型分布, 且同一系統(tǒng)尺寸下熔斷面的相對極大和極小高度分布具有較好的對稱性. 在模擬計(jì)算過程中, 使用節(jié)點(diǎn)分析法構(gòu)建了系數(shù)矩陣, 并對系數(shù)矩陣進(jìn)行Cholesky分解[18], 并采用 Sherman-Morrison-Woodbury 算法快速對系數(shù)矩陣求逆. 通過這些加速算法和對其結(jié)構(gòu)的優(yōu)化大大地提高了計(jì)算效率, 使得本文的數(shù)值計(jì)算和分析工作能夠順利進(jìn)行.

2 二維蜂巢隨機(jī)電阻絲網(wǎng)格及其熔斷過程的數(shù)值模擬計(jì)算方法

石墨烯中各個原子的化學(xué)性質(zhì)是相同的, 但是幾何環(huán)境并不完全相同, 所以在一個基元中有兩種不同環(huán)境的原子, 構(gòu)成石墨烯的復(fù)式晶格結(jié)構(gòu). 對于隨機(jī)電阻絲模型, 很多文獻(xiàn)選擇的是三角形、菱形[13]等. 本文則嘗試使用隨機(jī)電阻絲模型來研究二維蜂巢網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的熔斷動力學(xué)過程和熔斷面的動力學(xué)標(biāo)度性質(zhì).

圖1 石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)通電熔斷示意圖Fig. 1. Schematic diagram of random fuse model electric fuse in graphene honeycomb structure.

然后根據(jù)周期性邊界條件得到一個基爾霍夫電壓方程:

圖2 2 × 2 的正方格子電流流向示意圖Fig. 2. 2 × 2 square lattice current flow diagram.

最后通過初始電壓再得到一個基爾霍夫電壓方程:

聯(lián)立以上6個方程得到一個方程組:

然后繼續(xù)解方程, 斷裂, 直到所有電阻絲上的電流都為0. 這樣, 就可以得到電阻絲網(wǎng)的斷裂順序了.而對于解隨機(jī)電阻絲模型的節(jié)點(diǎn)分析法則是, 對于同樣的網(wǎng)絡(luò)和電流方向, 先給出節(jié)點(diǎn)和電流的關(guān)聯(lián)矩陣:

當(dāng)電阻絲網(wǎng)斷裂的時候, 只要改變關(guān)聯(lián)矩陣中的數(shù)據(jù)就可以計(jì)算. 例如I1斷裂，則關(guān)聯(lián)矩陣變?yōu)?/p>

Sherman-Morrison-Woodbury算法是一種快速求逆的方法. 對于這種方法的做法是設(shè)

模擬過程中, 使用節(jié)點(diǎn)分析法構(gòu)建系數(shù)矩陣,該系數(shù)矩陣為稀疏矩陣. 然后再對稀疏矩陣進(jìn)行Cholesky分解. Cholesky分解是一種求解大型線性方程組的一種常見方法, 通過將對稱矩陣分解成一個上三角矩陣和下三角矩陣從而加速線性方程組求解速度的方法, 即. 對于上下兩個三角矩陣采用Sherman-Morrison-Woodbury算法快速求逆, 通過一些加速算法和對其結(jié)構(gòu)的優(yōu)化可以大幅度加快分解速度和運(yùn)算速度, 從而提高計(jì)算機(jī)的模擬效率. 在本文的模擬分析計(jì)算中, 通過使用以上方法大大地提高了計(jì)算的效率, 使得本文的模擬計(jì)算工作得以順利地進(jìn)行.

3 二維蜂巢隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面粗糙度及極值高度的計(jì)算分析

3.1 二維蜂巢隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面粗糙度的計(jì)算分析

材料斷裂現(xiàn)象是一種十分復(fù)雜的隨機(jī)過程, 但其斷裂面通常都能夠形成自仿射的分形結(jié)構(gòu). 其粗糙度通常用表面寬度進(jìn)行描述, 其定義為

圖3 整體表面寬度 隨系統(tǒng)尺寸 的對數(shù)-對數(shù)曲線Fig. 3. The log-logarithmic curve of the global surface width W with the system size L.

圖4 局域表面寬度 隨局域尺寸 l 的對數(shù)-對數(shù)曲線Fig. 4. The Log-logarithmic curve of local surface width w with local size l.

從表1可以看出, 二維菱形結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲模型斷裂面的整體與局域粗糙度指數(shù)分別為和, 二維三角形結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲模型斷裂面的整體與局域粗糙度指數(shù)分別為和0.003. 這兩種模型結(jié)構(gòu)是各向同性的, 整體與局域粗糙度的結(jié)果說明斷裂面不存在奇異標(biāo)度行為. 本文所研究的模型是各向異性的, 說明模型熔斷表面存在著奇異標(biāo)度行為.

表1 二維菱形、三角形及石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面整體與局域的粗糙度指數(shù)Table 1. Roughness index of the global and local of the burnout surface of two-dimensional diamond,triangle and graphene honeycomb structures.

3.2 二維蜂巢隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面極值高度的分析

除熔斷面粗糙度之外, 本文還分析了熔斷面相對高度的極值分布行為. 在自然界中, 極值事件對非平衡系統(tǒng)有著非常重要的作用[21]. 很多復(fù)雜的物理系統(tǒng)大多受到極值的影響[22]. 理論研究揭示出極值事件在描述非平衡系統(tǒng)方面具有重要意義. 對于非平衡系統(tǒng), 極值統(tǒng)計(jì)早期用來分析生長表面的極值高度分布情況, 并且取得了很好的研究成果. 材料斷裂過程是一種非平衡動力學(xué)過程, 研究其極值分布具有重要的意義[23,24]. 截止目前, 文獻(xiàn)中很少有通過極值統(tǒng)計(jì)對其進(jìn)行研究. 在表面界面生長領(lǐng)域, 研究發(fā)現(xiàn), 對于基底尺寸為的有限系統(tǒng), 相對高度的最大值在飽和區(qū)域的分布滿足[25,26]

20 世紀(jì) 30 年代, Fisher和 Tippett[27]在對獨(dú)立同分布的極大(小)值漸進(jìn)分布進(jìn)行理論研究時提出了三種極值分布: Ⅰ型的Gumbel分布, Ⅱ型的 Frechet分布和Ⅲ型的 Weibull分布. 廣義Gumbel分布函數(shù)作為描述不同分布下樣本容量中極大(小)的分布, 有著非常重要的作用, 如文獻(xiàn)[28—30]指出, 關(guān)聯(lián)物理系統(tǒng)中可用Gumbel分布函數(shù)來描述全局漲落. 但有研究結(jié)果表明Gumbel分布函數(shù)不能很好地描述非平衡飽和表面的極值統(tǒng)計(jì)分布行為. Oliveira等[31]在研究Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)和 Villain-Lai-Das Sarma(VLDS) 普適類的表面界面生長模型時發(fā)現(xiàn), 具有不對稱局域高度分布的表面界面生長模型的極大和極小值分布不同. Wen等[32]在研究 1+1維Wolf-Villain模型飽和表面的生長高度極值統(tǒng)計(jì)分布時發(fā)現(xiàn)相對極小值分布不滿足廣義Gumbel分布. 而研究發(fā)現(xiàn), 在很多的極值統(tǒng)計(jì)中, 也常常滿足的是Asym2sig型函數(shù)分布. 如Cui等[33]研究HSSF-CW關(guān)于示蹤物的停滯時間密度分布和Brar[34]研究光致發(fā)光譜的強(qiáng)度的極值分布, 在我們前面工作中[35,36], 也發(fā)現(xiàn)是滿足Asym2sig型分布. 本文研究發(fā)現(xiàn)二維蜂巢隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面極值高度具有較好的統(tǒng)計(jì)行為, 極值高度的分布較好地符合Asym2sig型函數(shù)分布, 其表達(dá)式為

圖5 不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面相對極大高度分布Fig. 5. Relative maximum height distribution of the fracture surface of random fuse model with graphene honeycomb structure under different system sizes.

圖6 不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面相對極小高度分布Fig. 6. Relative minimum height distribution of the fracture surface of random fuse model with graphene honeycomb structure under different system sizes.

圖5 為不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)的隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面相對極大高度的概率分布圖.橫坐標(biāo)定義為,表示相對極大高度的統(tǒng)計(jì)平均值,表示相對極大高度的標(biāo)準(zhǔn)差; 縱坐標(biāo)定義為相對極大高度與峰值處極值高度的對應(yīng)統(tǒng)計(jì)次數(shù)的比值,范圍在 [0, 1]之間. 其中, 離散的點(diǎn)為數(shù)值模擬結(jié)果, 實(shí)線為Asym2sig函數(shù)擬合曲線, 相關(guān)參數(shù)的擬合值如表2所列, 影響峰值寬度參數(shù)的在三種基底尺寸下擬合所得數(shù)值在誤差范圍內(nèi)可認(rèn)為是相等的, 說明不同的基底尺寸不影響熔斷面極值高度的分布. 圖6為不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)的隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面相對極小高度的概率分布圖.

表2 系 統(tǒng) 尺 寸 為 L = 384, 512, 768 時Asym2sig函數(shù)擬合的參數(shù)Table 2. Parameters of Asym2sig function fitting when the system size is L = 384, 512, 768.

為了進(jìn)一步說明熔斷面相對極值滿足的標(biāo)度規(guī)律, 本文對縱坐標(biāo)做半對數(shù)處理后發(fā)現(xiàn): 在不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)的隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面的相對極大(小)高度分布依然呈現(xiàn)出較好的標(biāo)度規(guī)律, 如圖7和圖8所示.

很顯然, 圖7和圖8表明在不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)的隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面的相對極大(小)高度分布滿足一定的標(biāo)度規(guī)律, 很好地服從Asym2sig峰值分布函數(shù).

圖7 不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面的相對極大高度的半對數(shù)分布Fig. 7. Semi-logarithmic distribution of the relative maximum height of the fracture surface of random fuse model with graphene honeycomb structure under different system sizes.

圖8 不同系統(tǒng)尺寸下石墨烯蜂巢結(jié)構(gòu)隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)熔斷面的相對極小高度的半對數(shù)分布Fig. 8. Semi-logarithmic distribution of the relative minimum height of the fracture surface of random fuse model with graphene honeycomb structure under different system sizes.

本文還對同一尺寸下熔斷面極值高度的極大值和極小值進(jìn)行了比較, 如圖9和圖10所示. 結(jié)果顯示, 同一系統(tǒng)尺寸下熔斷面的相對極大(小)高度分布能夠很好地重合在一起, 表明熔斷表面極大(小)高度分布具有對稱性.

圖9 系統(tǒng)尺寸 L = 384 的熔斷面的相對極大 (小)高度分布 Fig. 9. Relatively maximum (minimum) height distribution of fracture surface with system size L = 384.

圖10 系統(tǒng)尺寸 L = 512 的熔斷面的相對極大 (小)高度分布Fig. 10. Relatively maximum (minimum) height distribution of fracture surface with system size L = 512.

4 結(jié) 論

本文構(gòu)建了六邊形蜂巢結(jié)構(gòu)的隨機(jī)電阻絲網(wǎng)絡(luò)模型, 通過對電阻絲網(wǎng)絡(luò)施加電壓使其斷裂, 發(fā)現(xiàn)該模型斷裂的機(jī)理以及斷裂面的一些標(biāo)度性質(zhì),從理論上豐富了隨機(jī)電阻絲模型的應(yīng)用領(lǐng)域, 同時具有一定的實(shí)踐意義, 因?yàn)榉涓C結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于材料力學(xué)、電學(xué)等性能的研究. 如王曉芳等[37]在摩擦材料的制備和性能研究中引入蜂巢結(jié)構(gòu), 采用結(jié)構(gòu)仿生學(xué)原理, 結(jié)果發(fā)現(xiàn), 蜂巢結(jié)構(gòu)的引入大大改善了摩擦試樣的物理性能、力學(xué)性能和摩擦磨損性能. 吳海華等[38]提出了一種制備填充型導(dǎo)電復(fù)合材料的方法, 采用蜂窩多孔石墨骨架, 獲得新型導(dǎo)電復(fù)合材料, 結(jié)果表明, 蜂窩數(shù)量為18個時, 導(dǎo)電復(fù)合材料的電導(dǎo)率和抗彎強(qiáng)度都有明顯的提升, 應(yīng)用蜂窩結(jié)構(gòu)后材料的力學(xué)和電學(xué)性能得到了提高.McGregor等[39]基于增材制造 (additive manufacturing, AM), 利用連續(xù)液體界面生產(chǎn)的方法研究六邊形晶格結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能, 提出選擇六邊形網(wǎng)絡(luò)為研究對象是因?yàn)槠鋸V泛的應(yīng)用性和完善的理論基礎(chǔ)[40]. 考慮六邊形網(wǎng)格的機(jī)械零部件性能接近于預(yù)期, 他們研究發(fā)現(xiàn)復(fù)制材料結(jié)構(gòu)的斷裂模式依賴于基底材料的幾何形狀或者是材料的各向異性, 結(jié)果表明聚合物AM對具有晶格結(jié)構(gòu)的力學(xué)零件具有很大的應(yīng)用空間. 本文工作中發(fā)現(xiàn)具有各向異性結(jié)構(gòu)的材料通過通電使其斷裂也能夠找到其斷裂方式, 同時斷裂面的性質(zhì)能為蜂窩結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)性能等研究提供借鑒.

二維蜂巢結(jié)構(gòu)是十分重要的晶格結(jié)構(gòu), 石墨烯等材料就具有這種二維蜂巢結(jié)構(gòu). 近年來, 隨機(jī)電阻絲模型在非均勻材料斷裂的數(shù)值模擬研究中被廣泛應(yīng)用并取得了許多十分有價(jià)值的研究成果[6].通過查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn), 單層石墨烯的實(shí)驗(yàn)研究大多是關(guān)于摻雜對石墨烯表面粗糙度的影響以及外部電場對石墨烯結(jié)構(gòu)的影響, 少有通過實(shí)驗(yàn)研究手段直接給出粗糙度研究的, 因此我們的工作目前還無法與相關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行直接的對比分析. 本文工作的意義在于: 電阻絲模型能夠很好地應(yīng)用于二維蜂窩結(jié)構(gòu)熔斷面標(biāo)度性質(zhì)的研究分析, 并得出熔斷面具有標(biāo)度性質(zhì)和奇異標(biāo)度性的結(jié)論.

在本文的模擬計(jì)算過程中, 通過使用節(jié)點(diǎn)分析法構(gòu)建了系數(shù)矩陣, 并對系數(shù)矩陣進(jìn)行Cholesky分解, 然后采用 Sherman-Morrison-Woodbury算法快速對系數(shù)矩陣求逆等技術(shù), 大大優(yōu)化了計(jì)算流程和計(jì)算效率, 使得本文的數(shù)值模擬計(jì)算和分析工作得以順利進(jìn)行. 通過對粗糙度的計(jì)算, 發(fā)現(xiàn)熔斷面呈現(xiàn)動力學(xué)標(biāo)度性質(zhì)并具有奇異標(biāo)度性[41]; 通過對熔斷面極值高度的分析, 發(fā)現(xiàn)其極值高度能很好地符合Asym2sig峰值分布函數(shù), 至于這種分布與我們模擬過程的微觀機(jī)理有什么內(nèi)在聯(lián)系和其特殊意義, 在我們的工作范圍內(nèi), 目前還很難給出進(jìn)一步明確的解釋. 本文工作表明, 隨機(jī)電阻絲模型不僅適用于非均勻材料斷裂動力學(xué)過程的模擬, 而且也同樣適用于斷裂面動力學(xué)標(biāo)度性質(zhì)的分析.