危玉婷

在幾何教學中，如何合理設計問題，引導學生直觀想象，如何讓學生通過獨立思考和探索分析來獲得數(shù)學模型，進行邏輯推理，如何讓學生慢慢形成在解決實際生活中的數(shù)學問題時能將實際問題抽象成數(shù)學問題，形成數(shù)學思維模式的能力，是初中教師需要探索和解決的重要課題。下面筆者就以人教版《數(shù)學》八年級上冊《最短路徑問題》內(nèi)容為例，談談幾何教學中核心素養(yǎng)的滲透。

一、復習遷移，引入數(shù)學模型

本節(jié)課是在學生學習了線段和角，研究了三角形以及軸對稱圖形之后給出的一個課題材料的學習。最短路徑問題在生活中經(jīng)常遇到，初中階段以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有連線中垂線段最短”為知識基礎，還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等知識進行探究。

本節(jié)課以復習預備知識作為內(nèi)容的切入點，教師設計了兩個問題：1.連接A，B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？2.點P是直線l外一點，點A，B，C，D在直線l上，則線段PA，PB，PC，PD哪條最短？為什么？

配上相應的圖形，設計的問題目的明確，讓學生馬上積極思考進入正題。當然，如果用“螞蟻找食物”的實例引入，可能更形象、更有趣味性。筆者在備課時就與教研組成員討論過引入的問題，其中也有各種設想，但最終覺得所有的知識都是在舊知識的基礎上生成的，這樣有利于學生形成數(shù)學體系，所學的內(nèi)容也不會讓學生感覺太突兀。與其創(chuàng)設這種指向不明、浪費時間的情景，不如選擇簡單明了的方式，讓學生通過兩個問題復習知識點“兩點之間，線段最短”和“直線外一點到直線的所有連線中垂線段最短”，通過數(shù)學模型直接引入本節(jié)課主題“最短路徑”問題。

二、合理抽象，解決實際問題

數(shù)學就是為了能在實際生活中應用，數(shù)學是人們用來解決實際問題的，數(shù)學問題就產(chǎn)生在生活中。所以，課堂教學中應加強數(shù)學知識與生活實際的聯(lián)系。本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題“將軍飲馬”為載體，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”或“三角形兩邊之和大于第三邊”問題。

本節(jié)課圍繞著“將軍飲馬”問題展開，對于這樣一個實際的問題首要解決的就是讓學生能從實際問題中抽象出數(shù)學問題來，讓學生明確可以把筆直的河看成一條無限延伸的直線，把將軍和馬看成兩個點，從而抽象出此題要解決的數(shù)學問題——這兩個點到這條直線上能否找到一個點使得長度和最短的問題。課堂上，筆者引導學生觀察之后，讓學生自主說出想法，畫出圖形，探討出當點C在直線的什么位置時，AC與CB的和最小，從而將實際問題抽象為數(shù)學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”，通過訓練實現(xiàn)學生對數(shù)學抽象能力的提升。

三、抓住本質(zhì)，搭建探究階梯

最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中學生，此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數(shù)學經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。

為了更好地突破難點，這節(jié)課筆者選擇讓學生嘗試自主探究解決問題的方法和規(guī)律。在探索新知的環(huán)節(jié)，直接探究同側兩點最短路徑問題對于學生來說有很大難度，因此筆者首先選擇了由異側兩點尋找最短路徑入手，讓學生可以很快找到一個點C使得AC+BC最短。在緩解學生的畏難情緒的同時也為學生解決后面問題搭建了“腳手架”，讓學生感知到可以用“兩點之間，線段最短”的原理來尋找最短路徑。這時，再將同側兩點尋找最短路徑的問題出示給學生，及時引導學生思考：我們能不能把同側的這兩個點中其中一個點轉(zhuǎn)移到異側去呢？能不能找到一個點來代替點A？是隨便什么地方的點都可以替代嗎？讓學生跟著筆者一系列的問題逐步思考解決方法，然后再讓學生通過作圖、小組討論等方式自主嘗試尋找到最短路徑。

四、大膽猜想，培養(yǎng)數(shù)學思維

杜威曾說：“科學的每一項巨大成就，都是以大膽的幻想為出發(fā)點的?！睂?shù)學問題的猜想，實際是一種數(shù)學想象，是一種創(chuàng)新精神的體現(xiàn)。在數(shù)學教學中，要鼓勵學生大膽提出猜想，創(chuàng)新地學習數(shù)學。讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等一系列數(shù)學活動，分享自己的想法，鍛煉自己的數(shù)學思維。

本節(jié)課在經(jīng)過小組討論尋找最短路徑的方法之后，學生自己作圖嘗試去找最短的線段和。有的學生去作垂線，有的學生去作同側兩點的垂直平分線，也有的學生去找其中一點關于直線的對稱點，各有各的道理和思考。這里無論學生有怎樣的思考，不管學生的設想是否有價值，只要是學生自己真實的想法，教師都應該給予充分的肯定，然后對問題采取有效的方法進行引導和解決。對于有創(chuàng)新意識的問題和見解，不僅要給予鼓勵，而且要表揚學生能夠善于發(fā)現(xiàn)問題并提出問題進而引導大家一起去深層次地思考交流。

通過驗證，學生發(fā)現(xiàn)先前作垂線和中垂線的猜想是錯誤的，于是就會產(chǎn)生疑惑，并有了探求新知的欲望。這時筆者利用錯誤，引導學生觀察利用軸對稱來將同側兩點轉(zhuǎn)化到直線的異側，構造成了兩點之間線段最短的問題，在筆者的啟發(fā)下，學生又能重新作出新的方案，這時筆者放手讓學生自主探究驗證，將問題解決。

五、由淺入深，形成幾何思維模型

問題設計要讓學生真正有所思考，并且可以經(jīng)過思考得到結論。授課的過程中應該環(huán)環(huán)相扣，由淺入深，要將問題分解，化大為小，化難為易，化繁為簡。

本節(jié)課在突破難點處設計了四個步驟逐步擊破。首先，通過類比思想引導學生轉(zhuǎn)換思維尋找解決方法，然后發(fā)問除了通過A點可以實現(xiàn)目的之外，轉(zhuǎn)換B點到異側可以找到實現(xiàn)最短路徑的C點嗎？通過作圖讓學生發(fā)現(xiàn)，選擇A或B都能實現(xiàn)目的。為了更深層次理解，于是設計了第三步提問：這兩點是同一個點嗎？為什么是同一個點呢？最后給出圖形，讓學生探索如何證明AC+BC最短，最終讓學生體會到利用軸對稱可以解決一些簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。

數(shù)學核心素養(yǎng)是一個高度抽象的思維產(chǎn)物，它是高于數(shù)學知識的思維方法。數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不能脫離具體的數(shù)學知識與方法，它需要在數(shù)學知識的學習過程中，數(shù)學思想方法的掌握過程中，通過逐步積累、領悟、內(nèi)省形成。也就是說，學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升離不開教師的合理引導，教師“教什么，怎么教”，很大程度上影響著學生將來具備怎樣的數(shù)學素養(yǎng)。對于大多數(shù)學生而言，數(shù)學能力的形成與數(shù)學核心素養(yǎng)的提升主要依賴于數(shù)學課堂，或者源于數(shù)學課堂。在數(shù)學的幾何課堂中我們應該多關注“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象”等方面的問題，引導學生多思考數(shù)學，體驗數(shù)學，使數(shù)學核心素養(yǎng)得以有效體現(xiàn)與落實。

（作者單位：武漢市武昌文華中學）

責任編輯 陳建軍

責任校對 張 敏