李 娟，章明清*，章贊德，許文江，姚寶全

（1 福建省農(nóng)業(yè)科學(xué)院土壤肥料研究所，福州 350013；2 福建省大田縣農(nóng)田建設(shè)與土壤肥料技術(shù)推廣站，福建 366100；3 福建省亞熱帶植物研究所，福建廈門 361000；4 福建省農(nóng)田建設(shè)與土壤肥料技術(shù)推廣總站，福州 350003）

當(dāng)前，通過(guò)構(gòu)建氮磷鉀三元肥效模型確定最佳施肥量，是實(shí)現(xiàn)水稻計(jì)量施肥的重要技術(shù)途徑之一[1-2]，其中，二次多項(xiàng)式函數(shù)是研究和應(yīng)用最多的肥效模型種類[3-7]。但是，眾多研究表明，一元和二元二次多項(xiàng)式肥效模型典型式的比例分別僅占60%左右和40.2%[8-9]，三元二次多項(xiàng)式肥效模型的典型式比例則更低至23.6%[10]。由于構(gòu)建肥效模型時(shí)出現(xiàn)了大量非典型式，嚴(yán)重削弱了該法的計(jì)量精確性和實(shí)用價(jià)值。盡管國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了深入研究，提出了許多有意義的改進(jìn)措施[3]，但該問(wèn)題至今仍然困擾著計(jì)量施肥研究和應(yīng)用?？v觀這些研究和改進(jìn)措施中，對(duì)二次多項(xiàng)式等函數(shù)形式的肥效模型本身是否存在模型設(shè)定偏誤及提出改進(jìn)建議還鮮見研究報(bào)道。

研究表明，當(dāng)前廣泛應(yīng)用的一元、二元、三元二次多項(xiàng)式肥效模型及其它類似的多項(xiàng)式肥效模型存在明顯的設(shè)定偏誤[3]。為此，章明清等[11]提出了一元非結(jié)構(gòu)肥效模型，較好地克服了模型設(shè)定缺陷。與一元二次多項(xiàng)式肥效模型相比，新模型在擬合水稻氮磷鉀單因素田間肥效試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，具有較高的擬合精度、較寬的適用范圍和推薦施肥量較低等優(yōu)點(diǎn)。為此，在一元非結(jié)構(gòu)肥效模型基礎(chǔ)上，本研究利用氮磷鉀三因素田間肥效試驗(yàn)結(jié)果，探討三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的構(gòu)建方法及其對(duì)田間肥效試驗(yàn)資料的擬合效果，旨在擴(kuò)大三元肥效模型的適用性，為計(jì)量施肥研究和應(yīng)用提供一種新的模型方法。

1 材料與方法

1.1 水稻氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)設(shè)計(jì)

近10年來(lái)，筆者參加福建省莆田市仙游縣和漳州市平和縣的水稻測(cè)土配方施肥工作。兩個(gè)項(xiàng)目縣均地處南亞熱帶海洋性季風(fēng)氣候帶，氣候條件尤其適合水稻生長(zhǎng)發(fā)育。 稻田土壤類型主要有黃泥田、灰泥田及灰沙田等土屬。為探討三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的建模方法，本研究針對(duì)這兩個(gè)項(xiàng)目縣選擇13個(gè)代表性水稻氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)結(jié)果作為研究案例。試驗(yàn)采用“3414”設(shè)計(jì)方案，即：1) N0P0K0；2)N0P2K2；3) N1P2K2；4) N2P0K2；5) N2P1K2；6)N2P2K2；7) N2P3K2；8) N2P2K0；9) N2P2K1；10)N2P2K3；11) N3P2K2；12) N1P1K2；13) N1P2K1；14)N2P1K1。其中，“2”水平為試驗(yàn)前當(dāng)?shù)氐租浲扑]施肥量，“0”水平表示不施肥，“1”水平和“3”水平的施肥量分別為“2”水平的50%和150%。供試水稻品種采用當(dāng)?shù)卮竺娣e種植的良種，試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案和田間管理措施與文獻(xiàn)[12]相同。供試土壤主要理化性狀采用常規(guī)方法[13]測(cè)定?；A(chǔ)土壤的主要理化性狀和處理 6) 的施肥量以及各處理的試驗(yàn)產(chǎn)量結(jié)果，分別見表1和表2。

為客觀地評(píng)價(jià)三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的科學(xué)性和實(shí)用性，截止2017年底，作者收集到近10年來(lái)福建早稻、晚稻和中稻的氮磷鉀“3414”設(shè)計(jì)試驗(yàn)資料668個(gè) (不包括表1和表2的相關(guān)試驗(yàn)點(diǎn))。這些試驗(yàn)資料主要來(lái)自福建省水稻主產(chǎn)區(qū)完成的肥效試驗(yàn)結(jié)果 (表3)。田間試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案與文獻(xiàn)[12]相同或相似，不再贅述。

表1 早稻代表性試驗(yàn)點(diǎn)供試土壤理化性狀及其處理氮磷鉀施肥量Table 1 Physical and chemical properties of soils on the representative sites and fertilization rate

1.2 三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的構(gòu)建

針對(duì)二次多項(xiàng)式肥效模型存在的模型設(shè)定偏誤和多重共線性等問(wèn)題[3,14]，章明清等[11]根據(jù)水稻氮磷鉀單因素肥效試驗(yàn)結(jié)果，提出了一元非結(jié)構(gòu)肥效模型：

式中：Y表示稻谷產(chǎn)量，X表示施肥量，s0為土壤供肥當(dāng)量，計(jì)量單位均為kg/hm2。c為施肥增產(chǎn)效應(yīng)系數(shù)；A表示施肥量X = 0時(shí)土壤肥力與稻谷產(chǎn)量之間的轉(zhuǎn)換系數(shù)，綜合反映了試驗(yàn)地的土壤生產(chǎn)力。在(1) 式模型中，當(dāng)施肥量和土壤供肥當(dāng)量都等于零時(shí)，作物產(chǎn)量必等于零。因此，根據(jù)植物營(yíng)養(yǎng)元素功能不可相互替代的原理，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型可由如下最簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)形式來(lái)描述：

式中：A=AN×AP×AK。數(shù)學(xué)理論分析表明，(2) 式在一定施肥量范圍內(nèi)模型存在一個(gè)稻谷產(chǎn)量峰值，該峰值對(duì)應(yīng)的施肥量即為最高產(chǎn)量施肥量。因此，根據(jù)微積分原理，令 (2) 式的水稻產(chǎn)量Y分別對(duì)N、P、K施肥量的導(dǎo)數(shù)等于零，得到最高產(chǎn)量施肥量計(jì)算式：

令 (2) 式的水稻產(chǎn)量Y分別對(duì)N、P、K施肥量的導(dǎo)數(shù)等于稻谷和肥料價(jià)格倒數(shù)比，得到經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量施肥量計(jì)算式：

表2 早稻代表性試驗(yàn)點(diǎn)14個(gè)施肥處理的稻谷產(chǎn)量 (kg/hm2)Table 2 Yields of early rice in the 14 treatments in the representative experimental sites

表3 福建省各地區(qū)水稻氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)數(shù)(n)Table 3 Number of NPK fertilization experiments with “3414” design collected from cities in Fujian Province

1.3 三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的參數(shù)估計(jì)與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

(2) 式模型是非線性模型，而且不能直接進(jìn)行線性化處理，模型參數(shù)估計(jì)需采用非線性最小二乘法[15]。假設(shè)非線性肥效模型為Y =f(X,a)，為求得參數(shù)a的估計(jì)值，可求解最小二乘問(wèn)題：

(2) 式模型的回歸顯著性檢驗(yàn)與三元二次多項(xiàng)式肥效模型相似，但其回歸自由度為6。本研究在計(jì)算機(jī)上的具體實(shí)現(xiàn)則使用MATLAB軟件的nlinfit功能函數(shù)進(jìn)行非線性肥效模型參數(shù)估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，對(duì)三元二次多項(xiàng)式肥效模型回歸分析則使用regress功能函數(shù)。文中圖形采用MATLAB語(yǔ)言編程繪制，具體計(jì)算的數(shù)學(xué)原理和有關(guān)功能函數(shù)的使用方法可參閱相關(guān)專著[15-16]。

2 結(jié)果與分析

2.1 三元二次多項(xiàng)式肥效模型 (TPFM) 的擬合效果

常用的三元二次多項(xiàng)式肥效模型可用如下數(shù)學(xué)形式來(lái)表達(dá)：

式中：Y表示模型擬合產(chǎn)量；N、P、K分別表示N、P2O5、K2O施肥量 (kg/hm2)；b0至b9表示模型的肥效系數(shù)。根據(jù)表1中各試驗(yàn)點(diǎn)的氮磷鉀施肥量及表2對(duì)應(yīng)試驗(yàn)點(diǎn)各處理的稻谷產(chǎn)量，采用普通最小二乘法對(duì) (6) 式進(jìn)行回歸建模 (表4)。結(jié)果表明，除1號(hào)和2號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)外，其它各試驗(yàn)點(diǎn)建立的肥效模型均達(dá)到統(tǒng)計(jì)顯著水平。

進(jìn)一步對(duì)表4的三元二次多項(xiàng)式肥效模型進(jìn)行典型性判別[10]，表明3號(hào)和4號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)建的肥效模型，雖然模型系數(shù)的代數(shù)符號(hào)滿足要求，但模型不存在全局極大值，屬于無(wú)最高產(chǎn)量點(diǎn)的非典型式；5號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)建的肥效模型，雖然模型系數(shù)的代數(shù)符號(hào)合理且模型存在最高產(chǎn)量點(diǎn)，但屬于推薦施肥量外推的非典型式。6號(hào)至13號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)建立的三元二次多項(xiàng)式肥效模型滿足作物施肥效應(yīng)的一般規(guī)律，均屬于典型式。

2.2 三元非結(jié)構(gòu)肥效模型 (TNFM) 的擬合效果

對(duì)表1和表2的同一批試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用 (2) 式進(jìn)行非線性回歸建模 (表5)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)顯示，1號(hào)和2號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的顯著水平概率值P由 (6) 式模型未達(dá)顯著水平的0.058和0.087提高到顯著水平的0.017和0.010，回歸模型通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)；(6) 式模型能通過(guò)顯著性檢驗(yàn)的其它11個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，(2) 模型擬合結(jié)果同樣能通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，而且，除了10號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)外，其它12個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的顯著性概率值P均明顯小于表4的 (6) 式模型相應(yīng)指標(biāo)。

表5的三元非結(jié)構(gòu)肥效模型典型性判別[10]結(jié)果表明，由 (6) 式模型回歸建模未能通過(guò)顯著性檢驗(yàn)的1號(hào)和2號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)以及歸屬于非典型式的第3、4、5號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)，均轉(zhuǎn)化成了典型三元肥效模型，模型系數(shù)的代數(shù)符號(hào)、模型最高產(chǎn)量點(diǎn)和推薦施肥量等方面均滿足了作物施肥效應(yīng)的一般規(guī)律；(6) 式模型能得到典型式的6號(hào)至13號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)，(2) 式模型的建模結(jié)果同樣能得到典型式。

因此，統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)指標(biāo)F值、擬合優(yōu)度R2和顯著水平概率值P以及典型式出現(xiàn)比例等方面都表明，(2) 式模型比 (6) 式模型具有更高的擬合精度和更寬的適用范圍。

2.3 三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的推薦施肥量

根據(jù)表5中各試驗(yàn)點(diǎn)的三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果以及 (3) 式和 (4) 式，計(jì)算各試驗(yàn)點(diǎn)的氮、磷、鉀最高施肥量，并以N 4.3元/kg、P2O55.0元/kg、K2O 5.0元/kg和稻谷2.0元/kg的平均市場(chǎng)價(jià)格計(jì)算經(jīng)濟(jì)施肥量。結(jié)果表明，1號(hào)至5號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的推薦施肥量均落在試驗(yàn)設(shè)計(jì)的施肥量范圍內(nèi)，相應(yīng)的模型預(yù)測(cè)產(chǎn)量也都落在試驗(yàn)各處理的產(chǎn)量范圍之內(nèi)，無(wú)異常情況出現(xiàn)。

在根系養(yǎng)分吸收機(jī)理模型研究中，為評(píng)價(jià)機(jī)理模型養(yǎng)分吸收量預(yù)測(cè)值的可靠性，一般都采用在預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值之間進(jìn)行一元線性回歸分析[17]。本文采用相同方法考察（2）式模型在推薦施肥量上的可靠性，即：針對(duì)6號(hào)至13號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)的（6）式模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果，采用邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法計(jì)算相應(yīng)試驗(yàn)點(diǎn)的氮、磷、鉀的最高施肥量和經(jīng)濟(jì)施肥量，并與（2）式模型對(duì)應(yīng)推薦施肥量繪制成圖1。結(jié)果顯示，兩種肥效模型的氮、磷、鉀的最高施肥之間以及經(jīng)濟(jì)施肥量之間都存在顯著水平的線性正相關(guān)，說(shuō)明在三元典型肥效模型前提下，新模型的推薦施肥量對(duì)二次多項(xiàng)式模式推薦施肥量具有繼承性和可靠性。同時(shí)，線性回歸模型的一次項(xiàng)系數(shù)分別為0.876和0.940，表明當(dāng)三元二次多項(xiàng)式肥效模型推薦施肥量每增加1kg時(shí)，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的最高施肥量和經(jīng)濟(jì)施肥量平均只增加了0.876kg和0.940kg，新模型較好地克服了二次多項(xiàng)式肥效模型推薦施肥量偏高的不足[2,18]。

圖1 三元非結(jié)構(gòu)肥效模型和三元二次多項(xiàng)式肥效模型推薦施肥量的相關(guān)性Fig. 1 Agreement of the recommended fertilizer rate between ternary non-structural and ternary quadratic polynomial fertilizer response models (TNFM and TPFM)

2.4 三元非結(jié)構(gòu)肥效模型擬合效果評(píng)價(jià)

分別采用 (2) 式和 (6) 式對(duì)收集的 668個(gè)“3414”田間試驗(yàn)建三元肥效模型 (表6)。統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，目前常用的三元二次多項(xiàng)式肥效模型的典型式平均比例僅為19.5%，而三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的平均比例提高到39.1%，是前者的2.0倍，顯著提升了建模成功率。

進(jìn)一步分析還表明，受多重共線性危害的影響[3,19]，二次多項(xiàng)式肥效模型一次項(xiàng)或二次項(xiàng)的系數(shù)代數(shù)符號(hào)不合理的非典型式平均比例達(dá)到32.3%，而消除了多重共線性危害的三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的N0、P0、K0或c1、c2、c3等系數(shù)符號(hào)不合理的模型比例則平均為6.9%，大幅度降低了此類非典型式出現(xiàn)的機(jī)率。二次多項(xiàng)式肥效模型的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)代數(shù)符號(hào)合理但模型無(wú)最高產(chǎn)量點(diǎn)的非典型式平均比例為14.4%；由于非結(jié)構(gòu)肥效模型所具有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，模型系數(shù)代數(shù)符號(hào)合理則必有最高產(chǎn)量點(diǎn)。二次多項(xiàng)式模型系數(shù)代數(shù)符號(hào)合理且存在最高產(chǎn)量點(diǎn)但推薦施肥量外推的非典型式平均比例為4.0%，但非結(jié)構(gòu)肥效模型的此類非典型式比例提高到30.7%，顯示兩種肥效模型在無(wú)最高產(chǎn)量點(diǎn)和推薦施肥量外推的非典型式類型出現(xiàn)比例方面有明顯的差別。

3 討論

3.1 三元二次多項(xiàng)式肥效模型的設(shè)定偏誤

在肥料效應(yīng)函數(shù)中，單位養(yǎng)分增產(chǎn)量與施肥量的函數(shù)關(guān)系的不同假設(shè)，就會(huì)得到數(shù)學(xué)形式各異和適用性不同的肥效模型[20]。假設(shè)增施單位量肥料的增產(chǎn)量和該養(yǎng)分最高產(chǎn)量施肥量與現(xiàn)有施肥量之差成正比，由此推導(dǎo)可得到一元二次多項(xiàng)式肥效模型。該模型被國(guó)內(nèi)外的大量肥效試驗(yàn)尤其是氮肥試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)[20-23]。Cerrato等[24]、楊靖一等[25]和陳新平等[18]對(duì)蔬菜、冬小麥和夏玉米的多項(xiàng)式、線性或二次函數(shù)+平臺(tái)等氮肥效應(yīng)模型進(jìn)行了比較研究，表明二次型模型具有較強(qiáng)的通用性。毛達(dá)如等[26]對(duì)2次、1.5次、0.75次和0.5次的氮磷二元多項(xiàng)式肥效模型比較也顯示，在灌溉地上二次多項(xiàng)式能較好地反映冬小麥的肥效規(guī)律。可惜的是，668個(gè)水稻氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)表明，三元二次多項(xiàng)式肥效模型典型式的平均比例僅為19.5% (表6)，過(guò)低的建模成功率令人不得不懷疑二次多項(xiàng)式肥效模型設(shè)定本身的合理性。

對(duì)二次多項(xiàng)式的分析表明，該類模型是假設(shè)單位養(yǎng)分增產(chǎn)量與施肥量之間的函數(shù)關(guān)系為線性關(guān)系，結(jié)果導(dǎo)致最高施肥量之前和最高施肥量之后的施肥效應(yīng)是對(duì)稱關(guān)系[3]。這種模型設(shè)定忽略了高產(chǎn)耐肥新品種在過(guò)量施肥時(shí)因作物耐肥特性，使產(chǎn)量降低幅度得到較大程度緩解的當(dāng)前生產(chǎn)實(shí)際。同時(shí)也忽略了土壤對(duì)養(yǎng)分的緩沖能力從而減輕了過(guò)量施肥對(duì)作物產(chǎn)量負(fù)效應(yīng)的作用。此外，二次多項(xiàng)式模型的回歸變量間存在強(qiáng)烈的多重共線性[3,14]，制約了普通最小二乘法回歸建模的有效性和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的可靠性。上述兩個(gè)缺陷是導(dǎo)致當(dāng)前常用的三元二次多項(xiàng)式肥效模型的典型式比例明顯偏低的重要原因。

針對(duì)多項(xiàng)式統(tǒng)計(jì)模型的多重共線性問(wèn)題，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家已經(jīng)提出了諸如嶺回歸、主成分回歸、偏最小二乘回歸等有偏估計(jì)方法[19,27]，來(lái)消除或削弱這種多重共線性的危害。例如，采用主成分回歸技術(shù)對(duì)福建171個(gè)早稻氮磷鉀“3414”試驗(yàn)結(jié)果建立三元二次多項(xiàng)式肥效模型，其典型式的比例從普通最小二乘法的27.5%提高到43.3%[28]。但是，有偏估計(jì)只能消除或緩解多重共線性危害，不能有效地解決肥效模型設(shè)定的偏誤問(wèn)題。

表6 三元二次多項(xiàng)式肥效模型和三元非結(jié)構(gòu)肥效模型擬合效果比較Table 6 Fitting effect of ternary non-structural fertilizer response model compared with that of ternary quadratic polynomial fertilizer response model

3.2 三元非典型式的類型和分類方法

在肥效模型研究中，常用的邊際產(chǎn)量導(dǎo)數(shù)法計(jì)算推薦施肥量的方法僅適用于典型肥效模型，對(duì)非典型肥效模型的計(jì)算結(jié)果則會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。因此，三元肥效模型典型性判別在推薦施肥中具有重要作用。總結(jié)福建省668個(gè)水稻氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)結(jié)果以及先前的相關(guān)田間肥效試驗(yàn)資料[10]，三元二次多項(xiàng)式肥效模型的非典型式有三種類型。在通過(guò)統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)前提下，從直觀上看，如果肥效模型的一次項(xiàng)系數(shù)至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)或二次項(xiàng)系數(shù)至少有一個(gè)為正數(shù) (不考慮交互項(xiàng)系數(shù)符號(hào))，因其不滿足作物施肥效應(yīng)的一般規(guī)律，此類肥效模型就屬于模型系數(shù)不合理的非典型式，平均占到試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的32.3% (表6)；第二種類型是模型一次項(xiàng)或二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)合理，但肥效模型不存在全局最高產(chǎn)量點(diǎn)，此類模型屬于無(wú)最高產(chǎn)量點(diǎn)的非典型式，其平均比例占試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的14.4% (表6)；第三種類型是模型一次項(xiàng)或二次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)合理，而且肥效模型存在最高產(chǎn)量點(diǎn)，但推薦施肥量屬于遠(yuǎn)外推結(jié)果，此類模型屬于推薦施肥量外推的非典型式，其比例平均占試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的4.0% (表6)。

與之對(duì)應(yīng)，在表6的建模結(jié)果中，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型也會(huì)存在不同類型的非典型式。在通過(guò)統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)前提下，當(dāng)模型參數(shù)N0、P0、K0、c1、c2、c3中有任何一個(gè)或一個(gè)以上的參數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，因其違背了施肥效應(yīng)的一般規(guī)律，該類肥效模型就屬于參數(shù)符號(hào)不合理的非典型式，平均占試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的6.9%，大幅度低于三元二次多項(xiàng)式肥效模型相同類型的比例。當(dāng)模型參數(shù)N0、P0、K0、c1、c2、c3均為正數(shù)時(shí)，非結(jié)構(gòu)肥效模型因數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)必有最高產(chǎn)量點(diǎn)，因而不存在無(wú)最高產(chǎn)量點(diǎn)的非典型式類型。然而，模型參數(shù)代數(shù)符號(hào)合理但推薦施肥量屬于遠(yuǎn)外推的非典型式類型平均達(dá)到試驗(yàn)點(diǎn)總數(shù)的30.7%，遠(yuǎn)高于三元二次多項(xiàng)式肥效模型相同類型的比例?？梢韵胂瘢嘈艦榻档瓦h(yuǎn)外推模型比例，非結(jié)構(gòu)肥效模型對(duì)試驗(yàn)施肥量設(shè)計(jì)具有更高的要求。幸運(yùn)的是，這一要求在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中容易做到。

模型擬合過(guò)程還表明，“3414”試驗(yàn)采用多點(diǎn)分散不設(shè)重復(fù)的試驗(yàn)方法，無(wú)論是多項(xiàng)式肥效模型還是非結(jié)構(gòu)肥效模型，都有相當(dāng)大比例的試驗(yàn)點(diǎn)未能通過(guò)顯著性檢驗(yàn)，其中，二次多項(xiàng)式肥效模型的平均比例達(dá)到30.1%，非結(jié)構(gòu)肥效模型則為23.4%。另外，未能通過(guò)統(tǒng)計(jì)顯著性檢驗(yàn)或者得到典型肥效模型的相關(guān)試驗(yàn)點(diǎn)經(jīng)常會(huì)相對(duì)集中出現(xiàn)，說(shuō)明建模成功與否還和田間試驗(yàn)質(zhì)量密切相關(guān)。

3.3 三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的適用性

研究表明，一元二次多項(xiàng)式肥效模型是一元非結(jié)構(gòu)肥效模型的簡(jiǎn)化式和特例[11]。針對(duì)三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的指數(shù)項(xiàng)，根據(jù)高等數(shù)學(xué)的泰勒展開式，即：其中，由于三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的參數(shù)c1、c2、c3均在10-3量級(jí)，若只取展開式的前兩項(xiàng)，則 (2) 式模型可以轉(zhuǎn)化為Y =A(N0+BN-c1N2) (P0+CP -c2P2) (K0+DK -c3K2) , 其中，B=1 -N0c1，C= 1 -P0c2，D= 1 -K0c3。對(duì)該式進(jìn)行代數(shù)式展開，并忽略c1、c2、c3的兩兩乘積項(xiàng)以及c1c2c3的乘積項(xiàng)和NPK三因子交互項(xiàng)，則 (2) 式可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為Y =A(N0P0K0+BP0K0N +CN0K0P +DN0P0K -c1P0K0N2-c2N0K0P2-c3N0P0K2+BCK0NP +BDP0NK +CDN0PK)，結(jié)果顯示與 (6) 式具有相同的數(shù)學(xué)形式。由此可見，三元二次多項(xiàng)式肥效模型是三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的簡(jiǎn)化式和特例。當(dāng)某些試驗(yàn)結(jié)果確實(shí)使上述忽略項(xiàng)對(duì)作物產(chǎn)量影響足夠小時(shí)，(2) 式和 (6) 式模型都能得到很好的擬合效果；反之，三元二次多項(xiàng)式模型可能會(huì)因過(guò)分簡(jiǎn)化導(dǎo)致擬合效果較差，而三元非結(jié)構(gòu)肥效模型因未進(jìn)行這種簡(jiǎn)化則可能較好地?cái)M合相關(guān)試驗(yàn)結(jié)果。

三元非結(jié)構(gòu)肥效模型假設(shè)單位養(yǎng)分增產(chǎn)量與施肥量之間的函數(shù)關(guān)系為非線性關(guān)系，較好地克服了二次多項(xiàng)式肥效模型的設(shè)定偏誤；模型本身不能直接進(jìn)行線性化轉(zhuǎn)換，較好地克服了多重共線性問(wèn)題。在668個(gè)水稻氮磷鉀田間肥效試驗(yàn)資料 (表6)中，三元非結(jié)構(gòu)肥效模型的典型式平均比例達(dá)到39.1%，是三元二次多項(xiàng)式肥效模型典型式比例的2.0倍。圖1分析表明，新模型推薦的最高施肥量和經(jīng)濟(jì)施肥量與三元二次多項(xiàng)式肥效模型的相應(yīng)推薦施肥量具有顯著水平的線性正相關(guān)，同時(shí)較好地克服了推薦施肥量偏高的問(wèn)題。因此，新模型具有較寬的適用范圍。

4 結(jié)論

三元非結(jié)構(gòu)肥效模型較好地克服了三元二次多項(xiàng)式肥效模型的設(shè)定偏誤和多重共線性危害，在水稻氮磷鉀施肥效應(yīng)建模中，具有更高的擬合精度和更寬的適用范圍。