侍玉青， 杜三山， 呂小紅， 羅冠煒

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.甘肅省軌道交通裝備系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730070)

含間隙、約束機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究對提升機(jī)械裝備性能、實(shí)現(xiàn)復(fù)雜裝備振動(dòng)與噪聲的有效控制以及振動(dòng)的有效利用具有重要的意義。含間隙、約束機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究一般基于沖擊Poincaré映射的定性分析和數(shù)值仿真，但由于沖擊映射存在擦碰奇異性，一些常規(guī)的光滑動(dòng)力系統(tǒng)的定性分析方法難以直接應(yīng)用于該類系統(tǒng)的全局分岔研究[1]。因此振動(dòng)沖擊動(dòng)力學(xué)迄今為止仍是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的研究熱點(diǎn)，特別是在含間隙、沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔、控制及應(yīng)用研究[2-12]。基于含剛性限幅約束的單自由度簡諧激勵(lì)系統(tǒng)，Nordmark[13]定性分析了其周期軌道與約束低速碰撞和擦碰接觸誘發(fā)的一類非光滑系統(tǒng)特有的Grazing分岔，通過特征值分析給出了Grazing分岔的判斷準(zhǔn)則。Nordmark在此領(lǐng)域的開拓性研究工作為后續(xù)Grazing分岔及其伴隨的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性的深化研究奠定了理論基礎(chǔ)。其后，國內(nèi)外學(xué)者借助一系列二維沖擊映射和不連續(xù)幾何定性分析方法拓展了非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Grazing分岔及奇異性研究，文獻(xiàn)[14-24]報(bào)道了多類型沖擊振動(dòng)系統(tǒng)在Grazing分岔點(diǎn)鄰域內(nèi)呈現(xiàn)的豐富動(dòng)力學(xué)行為特征。顫沖擊振動(dòng)是含間隙、沖擊振動(dòng)系統(tǒng)低頻域內(nèi)的典型非光滑動(dòng)力學(xué)特征。Budd等[25]研究了單自由度沖擊振子的顫振動(dòng)現(xiàn)象，分析了顫與混沌的關(guān)聯(lián)性。Toulemonde等[26]基于預(yù)測校正法解析分析了簡諧激勵(lì)沖擊振子的完整顫碰-黏滯響應(yīng)及特性。Wagg[27]通過數(shù)值分析觀察了兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的低頻完整顫碰行為及其隆起現(xiàn)象。Nordmark等[28]構(gòu)建了振動(dòng)沖擊系統(tǒng)非完整、完整顫振的局部不連續(xù)映射，定性分析了系統(tǒng)完整顫碰-黏滯振動(dòng)的穩(wěn)定性?；趩巫杂啥葲_擊振子低速碰撞和擦碰奇異性誘發(fā)的復(fù)雜現(xiàn)象，Chillingworth研究了對應(yīng)非退化、退化顫沖擊振動(dòng)的非退化、微退化Grazing分岔，基于單參數(shù)分岔分析描述了強(qiáng)退化擦碰奇異點(diǎn)鄰域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性及其誘發(fā)的顫軌道穩(wěn)定流形中的回旋狀結(jié)構(gòu)。H?s等[29]研究了機(jī)械壓力溢流閥的Grazing分岔及閥和閥座間的顫沖擊振動(dòng)特性。隨著非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)理論研究的不斷推進(jìn)，其實(shí)驗(yàn)研究也取得了一定的進(jìn)展。朱文驊等[30]建立了受兩側(cè)約束單根懸臂梁的碰撞振動(dòng)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，從實(shí)驗(yàn)角度證實(shí)了系統(tǒng)存在混沌運(yùn)動(dòng)?；趦勺杂啥扰鲎舱駝?dòng)系統(tǒng)的理論及數(shù)值研究，金棟平等[31]設(shè)計(jì)了兩柔性梁碰撞的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，從實(shí)驗(yàn)中觀測到系統(tǒng)的周期、亞諧和混沌等多種沖擊振動(dòng)類型，發(fā)現(xiàn)其碰撞振動(dòng)特性的確具有理論分析和數(shù)值計(jì)算所揭示的豐富運(yùn)動(dòng)形式。文獻(xiàn)[32]列舉了若干類大型機(jī)械設(shè)備因異常振動(dòng)而發(fā)生過的災(zāi)難性事故，強(qiáng)調(diào)“這些事故多表現(xiàn)為非線性低頻振動(dòng)失穩(wěn)，但該失穩(wěn)機(jī)理至今研究的還不夠清楚”。復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的低頻振動(dòng)特性及發(fā)生機(jī)理目前仍是工程界關(guān)注的問題，并希望能夠在設(shè)計(jì)階段得以認(rèn)識(shí)和解決。本文基于多參數(shù)仿真分析著重研究一類帶有間隙振動(dòng)系統(tǒng)的低頻振動(dòng)特性，分析系統(tǒng)低頻范圍內(nèi)基本周期沖擊振動(dòng)和亞諧沖擊振動(dòng)的模式類型和分岔特征，揭示基本周期沖擊振動(dòng)向非完整和完整顫沖擊振動(dòng)的轉(zhuǎn)遷過程。

1 含間隙振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型

fsin(ωt+τ),x1-x2<δ

(1)

(2)

(3)

f1(x1,x2)=-f2(x1,x2)=

(4)

式(1)和式(2)對應(yīng)圖1(a)模型，式(3)和式(4)對應(yīng)圖1(b)模型，其中無量綱時(shí)間t、變量xi和參數(shù)為

(5)

圖1力學(xué)模型為非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在其參數(shù)空間中存在復(fù)雜豐富的周期或亞諧沖擊振動(dòng)，一般情況下借助符號p/n歸納周期、亞諧沖擊振動(dòng)特征，n表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期與激振力周期的比值，p表示兩質(zhì)塊于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的相互沖擊次數(shù)，p=0，1，2，3，…… ，n=1，2，3，……。對于n=1情況，即p/1振動(dòng)群，稱其為基本周期沖擊振動(dòng)，其中p=0對應(yīng)系統(tǒng)的無沖擊周期受迫振動(dòng)。將0/1振動(dòng)歸為p/1振動(dòng)群，是因?yàn)?/1與1/1振動(dòng)間的相互轉(zhuǎn)遷特性與p/1和(p+1)/1振動(dòng)間的轉(zhuǎn)遷特性完全相同(p>0)?；谥芷?、亞諧沖擊振動(dòng)的符號特征p/n，針對圖1帶有間隙的振動(dòng)系統(tǒng)選擇Poincaré截面

(6)

對于周期、亞諧沖擊振動(dòng)而言，Poincaré截面σp上的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)p代表了圖1系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)質(zhì)塊相互沖擊次數(shù)，Poincaré截面σn上的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)n等于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期與激振力周期的比值。借助于Poincaré截面σp和σn及運(yùn)動(dòng)特征符號p/n，可從系統(tǒng)層面和多參數(shù)角度開展圖1力學(xué)模型的多目標(biāo)、多參數(shù)協(xié)同仿真分析。

X(i+1)=f(X(i),μ)

(7)

圖1 含間隙沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of a impact vibration system with a clearance

2 含間隙-剛性約束振動(dòng)系統(tǒng)低頻周期沖擊振動(dòng)的模式類型及分岔特征

圖2 圖1(a)含間隙振動(dòng)系統(tǒng)(ω, δ) -參數(shù)平面內(nèi)周期沖擊振動(dòng)的模式類型及其存在域Fig.2 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane associated with the impact vibration system of fig. 1(a)

圖3 相鄰基本周期沖擊振動(dòng)p/1和(p+1)/1相互轉(zhuǎn)遷特征描述Fig.3 Description of mutual transition characteristics about adjacent impact motions with fundamental period p/1 and (p+1)/1

圖4 相鄰基本周期沖擊振動(dòng)4/1和5/1的分岔圖及相關(guān)舌形域內(nèi)亞諧振動(dòng)分岔圖, ω=0.425Fig.4 Diagram of adjacent impact motions with fundamental period 4/1 and 5/1, and diagram of subharmonic (4n+1)/n motions in the tongue-shaped zones nearby the boundary L:R41∩R5/1, ω=0.425

圖5 圖4局部示意圖：ω=0.425Fig.5 Local bifurcation diagram of fig.4,ω=0.425

3 阻尼分布對含間隙振動(dòng)系統(tǒng)低頻周期沖擊振動(dòng)特征的影響

圖6 不同阻尼分布條件下(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)周期沖擊振動(dòng)的模式類型及其存在域Fig.6 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane with different damping distribution

圖7 圖6 (a)低頻周期沖擊振動(dòng)模式類型及分岔特征, c=0.05Fig.7 Pattern types and bifurcation characteristics of impact motions with period under low frequency of fig. 6 (a), c=0.05

4 含間隙-彈性約束振動(dòng)系統(tǒng)低頻周期沖擊振動(dòng)的模式類型及分岔特征

圖1(b)含間隙-彈性約束振動(dòng)系統(tǒng)的非光滑動(dòng)力學(xué)特征取決于約束剛度k0和間隙值δ，等間隔離散約束剛度k0的取值范圍(0, 1)，其余參數(shù)仍取初始基準(zhǔn)參數(shù)，計(jì)算系統(tǒng)在不同約束剛度條件下(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)的周期沖擊振動(dòng)的模式類型及其發(fā)生區(qū)域。圖8(a)和圖8(b)分別為對應(yīng)約束剛度k0=0.75和k0=0.95的(ω,δ)-參數(shù)平面上周期沖擊振動(dòng)的模式類型及其發(fā)生區(qū)域，圖8(c)是圖8(b)低頻域內(nèi)周期、亞諧沖擊振動(dòng)的細(xì)節(jié)描述。對小或偏小的k0，圖1(b)系統(tǒng)主要呈現(xiàn)0/1和1/1振動(dòng)。隨著k0的遞增，基本周期沖擊振動(dòng)的數(shù)量也隨之增大，即p/1振動(dòng)群的量p與約束剛度的k0大小密切相關(guān)，見圖8(a)和圖8(b)。對于大的約束剛度k0，其周期、亞諧沖擊振動(dòng)模式類型、分布規(guī)律和分岔特征與圖1(a)含間隙-剛性約束振動(dòng)系統(tǒng)有一定的類似性，且在低頻域內(nèi)存在顫沖擊振動(dòng)。如k0=0.95，系統(tǒng)低頻域內(nèi)呈現(xiàn)p/1基本周期沖擊振動(dòng)群，相鄰基本周期沖擊振動(dòng)的相互轉(zhuǎn)遷是不可逆的，轉(zhuǎn)遷域仍為遲滯域和舌形域，舌形轉(zhuǎn)遷域內(nèi)存在亞諧(np+1)/n振動(dòng)。對照圖2和圖3(b)及圖8(b)和圖8(c)，可以發(fā)現(xiàn)圖1(a)和圖1(b)系統(tǒng)低頻沖擊振動(dòng)的一些共性特征。

圖8 不同約束剛度條件下(ω,δ)-參數(shù)平面內(nèi)周期沖擊振動(dòng)的模式類型及其存在域Fig.8 Pattern types and existence regions of impact motions with period in the (ω,δ)-parameter plane with different stiffness

5 結(jié) 論

含間隙周期激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)低頻范圍內(nèi)主要呈現(xiàn)基本周期沖擊振動(dòng)p/1、非完整顫沖擊振動(dòng)、完整顫沖擊振動(dòng)(剛性約束情況)和亞諧振動(dòng)。隨激振頻率或間隙遞減，p/1振動(dòng)或通過Real grazing分岔轉(zhuǎn)遷為(p+1)/1振動(dòng)，或通過Bare grazing分岔穿越舌形域嵌入(p+1)/1振動(dòng)發(fā)生區(qū)域。隨激振頻率或間隙遞增，(p+1)/1振動(dòng)或通過鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為p/1振動(dòng)，或通過倍化分岔穿越舌形域嵌入p/1振動(dòng)發(fā)生區(qū)域。除若干奇異點(diǎn)外，相鄰基本周期沖擊振動(dòng)p/1和(p+1)/1振動(dòng)相互轉(zhuǎn)遷過程是不可逆的。p/1振動(dòng)的Real grazing分岔和Bare grazing分岔與(p+1)/1振動(dòng)的鞍結(jié)分岔邊界和倍化分岔邊界交替橫截于一系列奇異點(diǎn)，由此產(chǎn)生兩類交替分布的轉(zhuǎn)遷區(qū)域-遲滯域和舌形域。p/1和(p+1)/1振動(dòng)可共存于遲滯域，其存在與否取決于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始條件。舌形域在(ω,δ)參數(shù)平面內(nèi)隨ω遞減和δ遞增呈現(xiàn)分型特征，其內(nèi)存在(np+1)/n亞諧沖擊振動(dòng)，該類亞諧沖擊振動(dòng)隨ω和δ變化發(fā)生倍化或Bare grazing分岔。當(dāng)阻尼分布μc偏小時(shí)舌形域內(nèi)存在4/4，5/5，6/6，…，10/10，…序列和5/3 及8/5等更多形式的亞諧沖擊運(yùn)動(dòng)?；局芷跊_擊振動(dòng)p/1在(ω,δ)參數(shù)平面內(nèi)呈帶狀域分布，p越大，其帶狀存在域越窄，且基本周期內(nèi)其沖擊速度逐次減弱。當(dāng)p足夠大時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)非完整顫沖擊振動(dòng)。對于間隙-剛性約束周期激勵(lì)振動(dòng)系統(tǒng)而言，隨激振頻率進(jìn)一步遞減，非完整顫沖擊振動(dòng)發(fā)生Sliding分岔，轉(zhuǎn)遷為完整顫沖擊-黏滯振動(dòng)。