楊博 ，王浩帆，苗峻，趙曉濤

1.北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100083

2.北京控制工程研究所，北京 100190

空間技術(shù)的快速發(fā)展使得空間碎片數(shù)量急劇上升，這些碎片對(duì)在軌航天器造成的威脅越來越大。截止2018年6月，美國通過地面檢測(cè)編號(hào)的空間在軌物體數(shù)量已達(dá)19 125個(gè)，其中有效載荷4791個(gè)，空間碎片 14 334個(gè)［1］，包括丟棄的設(shè)備、運(yùn)載火箭末級(jí)、廢棄的衛(wèi)星、衛(wèi)星和分級(jí)火箭分離時(shí)的碎片，以及航天器與原來空間碎片撞擊產(chǎn)生表面材料剝落等［2］。隨著人類航天活動(dòng)的繼續(xù)，空間碎片數(shù)量將持續(xù)增長。同時(shí)，碎片間的碰撞將產(chǎn)生更多小尺寸的新碎片［3-4］，未來空間碎片數(shù)目呈指數(shù)增長趨勢(shì)［5-6］。為保護(hù)在軌正常運(yùn)行的航天器，需要對(duì)空間碎片進(jìn)行高精度觀測(cè)以進(jìn)行抓捕、清除［7］。

目前，空間目標(biāo)監(jiān)視主要基于地基觀測(cè)方式實(shí)現(xiàn)，美空軍于2000年形成了完備的空間監(jiān)視網(wǎng)［8］，對(duì)于尺寸大于10 cm的碎片，可通過地基雷達(dá)、望遠(yuǎn)鏡等對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)。但地基觀測(cè)方式在空間覆蓋性、空間目標(biāo)發(fā)現(xiàn)的及時(shí)性和空間目標(biāo)認(rèn)知等方面都存在局限性，難以滿足空間攻防對(duì)空間目標(biāo)信息的技術(shù)要求［9］。

與地基觀測(cè)方式不同，天基觀測(cè)具有探測(cè)范圍廣，不受地球大氣、天氣影響，覆蓋范圍廣，探測(cè)精度高等優(yōu)點(diǎn)［10］。美國建立了“天基空間監(jiān)視”(SBSS)系統(tǒng)，目的在于部署能用于發(fā)現(xiàn)、識(shí)別和跟蹤空間目標(biāo)的光學(xué)傳感器衛(wèi)星星座，其最終目的是完全取代地基空間監(jiān)視系統(tǒng)［11］。而常見的光學(xué)傳感器中，單目相機(jī)因不能獲得景深信息，必須輔助其它傳感器，如激光測(cè)距儀等進(jìn)行三維位置確定［12］，而傳統(tǒng)雙目相機(jī)因基線較短導(dǎo)致觀測(cè)精度低，只能用于近距離觀測(cè)［13-15］，文獻(xiàn)［16］提出了編隊(duì)飛行器可以構(gòu)成長基線的觀測(cè)系統(tǒng)，但沒有進(jìn)一步分析觀測(cè)誤差與編隊(duì)衛(wèi)星的關(guān)系，無法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的編隊(duì)構(gòu)形。

本文基于雙目視覺原理，采用衛(wèi)星編隊(duì)對(duì)空間碎片進(jìn)行天基觀測(cè)，不僅可以提高基線長度，而且通過多顆衛(wèi)星的觀測(cè)信息融合，可以大大增加觀測(cè)視野，實(shí)現(xiàn)高精度觀測(cè)。當(dāng)一個(gè)航天器跟蹤失敗時(shí)，還可以利用其他航天器的觀測(cè)信息進(jìn)行導(dǎo)航，提高了系統(tǒng)的可靠性。

1 狀態(tài)方程

描述目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的C-W方程為:

式中:ωT為主星的軌道角速度;fx、fy、fz為所受攝動(dòng)力或控制力。

式中:

2 觀測(cè)方程

利用衛(wèi)星編隊(duì)來建立觀測(cè)方程，不僅可以增加基線長度，提高視覺傳感器的探測(cè)精度，而且通過結(jié)合多顆衛(wèi)星的觀測(cè)信息，進(jìn)一步提升了定位精度，擴(kuò)大了觀測(cè)范圍，提高了觀測(cè)可靠性。

2．1 雙目觀測(cè)原理

為了便于誤差分析及簡化計(jì)算，假定兩個(gè)攝像機(jī)焦距相等，各內(nèi)部參數(shù)相同，兩個(gè)攝像機(jī)坐標(biāo)系之間的距離為b，稱為基線。圖1所示為雙目視覺測(cè)量模型，P點(diǎn)為由圖像匹配算法檢測(cè)并匹配成功的特征點(diǎn)，其在CL相機(jī)像平面上的點(diǎn)為P1，在CR相機(jī)像平面上的點(diǎn)為P2，則空間點(diǎn)P為CLP1和CRP2兩條直線的交點(diǎn)，即而確定點(diǎn) P 的三維位置［17］。

圖1 雙目視覺定位Fig.1 Binocular vision position

2．2 觀測(cè)方程建立

(1)采用的編隊(duì)構(gòu)形

本文采用如圖2所示編隊(duì)構(gòu)形，衛(wèi)星之間可以基于信息拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)編隊(duì)構(gòu)型進(jìn)行修正。根據(jù)自然編隊(duì)構(gòu)型以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)關(guān)系，每顆衛(wèi)星可根據(jù)其相鄰兩顆衛(wèi)星傳遞的狀態(tài)信息進(jìn)行實(shí)時(shí)解算衛(wèi)星之間的相對(duì)狀態(tài)信息。

圖2 采用的編隊(duì)構(gòu)形Fig.2 Formation configuration

以衛(wèi)星2、3推導(dǎo)衛(wèi)星1的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為例，如圖3所示。

圖3 衛(wèi)星2、3推導(dǎo)衛(wèi)星1的相對(duì)幾何關(guān)系Fig.3 Relative geometric diagram for satellite 1 deduced by satellite 2 and 3

在編隊(duì)軌道坐標(biāo)系中，由衛(wèi)星2、3將自身狀態(tài)信息傳遞給衛(wèi)星1，衛(wèi)星1進(jìn)行實(shí)時(shí)解算，可得出衛(wèi)星1相對(duì)于衛(wèi)星2、3的目標(biāo)位置矢量

式中:x、y為編隊(duì)軌道坐標(biāo)系 x、y方向單位向量;r為自然編隊(duì)圓半徑。

得到編隊(duì)衛(wèi)星之間的信息后，進(jìn)一步觀測(cè)空間碎片的信息。因光學(xué)探測(cè)無法得知空間碎片的構(gòu)成而不能確定其質(zhì)心，但由于大多數(shù)空間碎片尺寸較小，并且為了充分利用多個(gè)相機(jī)識(shí)別到的特征點(diǎn)的三維信息，可以將多個(gè)特征點(diǎn)的矢量加權(quán)假設(shè)為空間碎片的質(zhì)心。由多個(gè)特征點(diǎn)構(gòu)成的相對(duì)位置矢量R可表示為:

式中:ri為第i個(gè)特征點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)。

在編隊(duì)衛(wèi)星觀測(cè)空間碎片過程中，每個(gè)小衛(wèi)星攜帶一個(gè)雙目相機(jī)，因此m個(gè)小衛(wèi)星構(gòu)成m個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系，利用多顆小衛(wèi)星觀測(cè)空間碎片的量測(cè)矢量如圖4所示，有

式中:RT1為空間碎片在每個(gè)衛(wèi)星參考坐標(biāo)系下的估計(jì)相對(duì)位置矢量;Rk1為第k個(gè)從星在主星參考坐標(biāo)系下的相對(duì)位置矢量;RTk為空間碎片在第k個(gè)衛(wèi)星相機(jī)坐標(biāo)系下的相對(duì)位置矢量;Mk1為相機(jī)坐標(biāo)系之間的變換矩陣。

圖4 量測(cè)矢量Fig.4 Observation vector

(2)編隊(duì)觀測(cè)方程

取狀態(tài)變量為空間碎片相對(duì)于編隊(duì)衛(wèi)星參考坐標(biāo)系下的位置RTk，將其直接作為觀測(cè)量，則t時(shí)刻編隊(duì)衛(wèi)星對(duì)空間碎片的量測(cè)為:

即Zk服從均值為Rk、標(biāo)準(zhǔn)差為σk的高斯正態(tài)分布。

在目標(biāo)當(dāng)前位置(xi，yi，zi)條件下，測(cè)量值Zn的高斯概率密度模型可以表示為:

2．3 可觀性分析

設(shè)^X為目標(biāo)狀態(tài)參量X的無偏估計(jì)量，由Cramer-Rao下界可知目標(biāo)位置的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣P與Fisher矩陣F的關(guān)系滿足:

式中:

系統(tǒng)的估計(jì)誤差方差陣及估計(jì)量的Fisher信息矩陣包含了系統(tǒng)的可觀測(cè)信息，當(dāng)F滿秩時(shí)系統(tǒng)完全可觀測(cè)，此時(shí)，估計(jì)誤差方差陣P取得Cramer-Rao下界。由式(14)可知，F(xiàn)isher信息矩陣滿秩的條件為:

即觀測(cè)航天器與空間碎片不能在同一條直線上，否則F矩陣是一個(gè)奇異矩陣，意味著系統(tǒng)狀態(tài)參量中有一個(gè)或一個(gè)以上的分量是不可估計(jì)的，因此系統(tǒng)不可觀測(cè)。

蛛絲從他的身體上空掠過，射在不遠(yuǎn)處的凸石上，像張開的五指，扒住了石面。隨后，唐飛霄借著蛛絲的拉扯力，如飛天蜘蛛，倏地朝天葬師撲來。他那八足伸展起來，體長怕是已超過了兩丈，而他與天葬師的距離，也不過才七八丈遠(yuǎn)，這一躍之間，便已到了近前，揚(yáng)起鋼釬一般的前足，朝著天葬師當(dāng)胸插下！

還有一種情況為Fisher信息矩陣可逆，但具有大條件數(shù)ψ。正定矩陣的條件數(shù)定義為［18］:

式中:λmax與λmin分別表示矩陣的最大和最小特征值。大條件數(shù)矩陣意味著該矩陣是接近奇異的，即使此時(shí)矩陣可逆，但因?yàn)閰f(xié)方差矩陣的Cramer-Rao下界過大，系統(tǒng)估計(jì)量中會(huì)有一個(gè)或一個(gè)以上的分量存在較大的估計(jì)誤差，觀測(cè)性較差。

編隊(duì)衛(wèi)星對(duì)空間碎片觀測(cè)的過程中，通常采用的編隊(duì)構(gòu)形不會(huì)使多顆小衛(wèi)星與空間碎片位于同一條直線上，因此系統(tǒng)一定可觀。在采用直線形編隊(duì)時(shí)，編隊(duì)衛(wèi)星的連線應(yīng)與空間碎片有一定的夾角，便能保證系統(tǒng)具有較好的觀測(cè)性。

2．4 最優(yōu)視差角設(shè)計(jì)

由圖5中的坐標(biāo)幾何關(guān)系可得:

式中:(μ1，ν1)為空間碎片在左相機(jī)圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo);(μ2，ν2)為空間碎片在右相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo);Δγ=γ2－γ1為光軸指向與衛(wèi)星連線方向的夾角。

圖5 空間碎片觀測(cè)幾何Fig.5 Observation geometry of space debris

設(shè)相機(jī)參數(shù)相同，測(cè)量精度相同，分別為μ方向Δμ，ν方向Δν，則根據(jù)誤差傳遞公式，特征點(diǎn)在追蹤飛行器坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)間接測(cè)量精度為［19］:

式中:β1、β2為特征點(diǎn)視線方向分別在左右相機(jī)坐標(biāo)系Oc1Xc1Zc1平面和Oc2Xc2Zc2平面內(nèi)的投影與相應(yīng)光軸方向的夾角;βγ為特征點(diǎn)視線方向在左相機(jī)坐標(biāo)系Oc1Yc1Zc1平面內(nèi)的投影與光軸方向的夾角，且有:

由式可知，觀測(cè)過程中，像差偏差Δμ會(huì)在X、Y、Z方向分別產(chǎn)生Δx、Δy、Δz的誤差影響，定義這個(gè)誤差區(qū)域?yàn)檎`差立方體。在常用的雙目相機(jī)模型中，基線一般為2m左右，這在遠(yuǎn)距離觀測(cè)中會(huì)造成上百米量級(jí)的誤差立方體，限制了雙目相機(jī)的使用，而提高基線長度會(huì)對(duì)航天器直徑提出過高要求。采用如圖2所示的觀測(cè)構(gòu)形，首先由衛(wèi)星1和2組成雙目視覺模型觀測(cè)得到空間碎片的圖像信息，由衛(wèi)星3和4組合成雙目視覺模型得到空間碎片的另一圖像信息，在衛(wèi)星1和和衛(wèi)星3上分別解算出空間碎片的位置信息，產(chǎn)生的誤差立方體在XOZ面的平面圖如圖6所示，A1B1C1D1為衛(wèi)星1解算得到的誤差立方體，A2B2C2D2為衛(wèi)星3解算得到的誤差立方體，陰影區(qū)域?yàn)閮深w小衛(wèi)星觀測(cè)的重疊區(qū)域，若每顆衛(wèi)星都能正確識(shí)別到目標(biāo)，則目標(biāo)的位置必在這個(gè)重疊區(qū)域內(nèi)。由此可知，利用編隊(duì)衛(wèi)星可以縮小觀測(cè)的不確定區(qū)域，提高觀測(cè)精度。

由圖6可以看出，誤差區(qū)域的縮小與兩航天器與空間碎片形成的夾角有關(guān)，定義這個(gè)角為視差角θ。誤差立方體重疊的區(qū)域會(huì)隨著視差角θ的變化而變化，定義重疊區(qū)域的體積與原誤差立方體體積的比值為縮小率，利用蒙特卡洛法仿真106次，得到誤差立方體的縮小率與視差角的關(guān)系如圖7所示。

圖7 誤差立方體縮小率與視差角之間的關(guān)系Fig.7 The relationship between the error cube reduction ratio and the parallax angle

由圖7可知，當(dāng)視差角為90°時(shí)，誤差立方體最小，觀測(cè)精度最高，但當(dāng)視差角在60°～120°時(shí)，精度變化不是很明顯，因此在工程實(shí)現(xiàn)中，只要保證兩航天器與空間碎片的視差角在60°～120°，即可保證量測(cè)精度提高90%以上。

由以上分析可得，衛(wèi)星1、2的量測(cè)信息在衛(wèi)星1的相機(jī)坐標(biāo)系中解算出目標(biāo)空間碎片的位置信息，衛(wèi)星3、4的量測(cè)信息在衛(wèi)星3的相機(jī)坐標(biāo)系中解算出目標(biāo)空間碎片的位置信息，再由衛(wèi)星1、3通信，對(duì)目標(biāo)空間碎片進(jìn)行高精度定位。當(dāng)衛(wèi)星1與衛(wèi)星3的視差角在60°～120°，即衛(wèi)星1的光軸與衛(wèi)星3的光軸在60°～120°時(shí)，可以保證量測(cè)精度提高90%以上。

3 相對(duì)導(dǎo)航仿真

為驗(yàn)證利用編隊(duì)小衛(wèi)星觀測(cè)空間碎片的可行性，利用EKF進(jìn)行數(shù)值仿真。假設(shè)空間碎片軌道高度700km，軌道周期2 h，離心率為0。相機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 可見光相機(jī)參數(shù)Table 1 Visible light camera parameters

在上述仿真初始條件下仿真2000s，視差角θ=90°，分析利用傳統(tǒng)基線b=2 m的一顆衛(wèi)星觀測(cè)以及b分別為100m和1000 m的編隊(duì)小衛(wèi)星觀測(cè)時(shí)的誤差，如圖8所示。

圖8 基線b=2m單顆衛(wèi)星導(dǎo)航誤差(傳統(tǒng)方法)Fig.8 Navigation error by single satellite when the baseline is 2m(traditional method)

由仿真圖可以看出，編隊(duì)衛(wèi)星可以增加基線長度，提高觀測(cè)精度。圖8為單顆小衛(wèi)星觀測(cè)時(shí)的導(dǎo)航誤差，由于基線較短，三軸導(dǎo)航位置誤差為較大，如表2所示。圖9為基線b=100 m時(shí)編隊(duì)衛(wèi)星觀測(cè)的導(dǎo)航誤差，可以看出編隊(duì)觀測(cè)減小了三軸誤差，提高了導(dǎo)航精度。圖10為采用基線b=1km時(shí)編隊(duì)衛(wèi)星觀測(cè)的導(dǎo)航誤差，可以看出導(dǎo)航精度進(jìn)一步提升。

表2 導(dǎo)航精度仿真Table 2 Navigation accuracy simulation m

圖9 基線b=100m編隊(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航誤差Fig.9 Navigation error by satellite formation when the baseline is 100m

圖10 基線b=1km編隊(duì)衛(wèi)星導(dǎo)航誤差Fig.10 Navigation error by satellite formation when the baseline is 1km

圖11 視差角為30°時(shí)導(dǎo)航精度仿真Fig.11 Navigation accuracy simulation when θ=30°

圖12 視差角為60°時(shí)導(dǎo)航精度仿真Fig.12 Navigation accuracy simulation when θ=60°

圖13 視差角為120°時(shí)導(dǎo)航精度仿真Fig.13 Navigation accuracy simulation when θ=120°

表3 導(dǎo)航精度仿真Table 3 Navigation accuracy simulation m

4 結(jié)束語

本文研究了利用衛(wèi)星編隊(duì)對(duì)空間碎片進(jìn)行導(dǎo)航定位的問題。

1)針對(duì)空間碎片非合作的特性，采用視覺傳感器進(jìn)行導(dǎo)航，建立了誤差模型，設(shè)計(jì)了最優(yōu)視差角，實(shí)現(xiàn)了利用衛(wèi)星編隊(duì)對(duì)空間碎片進(jìn)行高精度導(dǎo)航定位;

2)分析得出當(dāng)不同衛(wèi)星之間的視線夾角為90°時(shí)由觀測(cè)量融合得到的誤差立方體最小，導(dǎo)航精度最高，但在工程實(shí)踐中達(dá)到60°～120°即可保證足夠的精度;

3)仿真驗(yàn)證了當(dāng)編隊(duì)衛(wèi)星之間的距離為1km，視差角為90°時(shí)，定位誤差可以達(dá)到0．1 m的量級(jí)。

本文方法不僅提高了導(dǎo)航精度，而且擴(kuò)大了觀測(cè)范圍，增加了觀測(cè)系統(tǒng)的可靠性。由于編隊(duì)小衛(wèi)星的廣泛應(yīng)用，本文方法易于工程實(shí)現(xiàn)。