劉月飛， 樊學平

(1. 蘭州大學 西部災害與環(huán)境力學教育部重點實驗室， 甘肅 蘭州 730000；2. 蘭州大學 土木工程與力學學院， 甘肅 蘭州 730000)

橋梁健康監(jiān)測(bridge health monitoring, BHM)系統(tǒng)在長期運營過程中積累了大量數(shù)據(jù)，如何利用這些數(shù)據(jù)分析橋梁可靠性，在國內外還處于研究的起步階段，但已成為BHM領域的主要科學問題和共識問題.

橋梁可靠性研究主要是利用抗力信息(如：容許應力、容許撓度等)和荷載效應信息(如：應力、撓度等)，采用合適的可靠性計算方法(如：一次二階矩可靠性分析方法、一次可靠性分析方法等)，進行構件或體系的可靠性分析.現(xiàn)定義橋梁截面監(jiān)測點的可靠度為構件可靠度，而考慮多個監(jiān)測點非線性相關或獨立的橋梁截面可靠度為體系可靠度.

基于BHM數(shù)據(jù)的橋梁可靠性研究已取得一些成果.國外，Ni等[1]首次提出基于BHM數(shù)據(jù)的橋梁可靠度評估的概念；Frangopol等[2-3]首次給出基于BHM數(shù)據(jù)的橋梁體系可靠度評估的基本框架流程，并將其應用于工程實例，分析中假定各個監(jiān)測點失效模式相互獨立，同時給出基于監(jiān)測應力極值的鋼板梁橋可靠度評估方法[4-5]；Dissanayake等[6]采用BHM數(shù)據(jù)，假定各個監(jiān)測點失效模式相互獨立，分析研究了一座舊桁架橋的體系可靠性；Pourali等[7]提出了一種新的傳感器優(yōu)化布置方法，并在此基礎上亦假定各個監(jiān)測點失效模式相互獨立，進行了結構體系可靠性分析.國內，李順龍[8]結合BHM和檢測數(shù)據(jù)，分析研究了混凝土橋梁主梁構件的可靠性；焦美菊等[9]研究了BHM與可靠度評估相結合的橋梁構件性能評估方法；趙卓[10]采用ARMA模型，利用BHM數(shù)據(jù)研究分析了長春伊通河橋構件的可靠度；陳志為[11]基于BHM系統(tǒng)提出大跨多荷載懸索橋關鍵位置的疲勞可靠度分析框架，并應用于香港青馬大橋；樊學平[12]基于BHM數(shù)據(jù)，采用貝葉斯動態(tài)模型和粒子濾波器，亦假定各個監(jiān)測點失效模式相互獨立，研究分析了天津富民橋的體系時變可靠性；Liu等[13-14]基于BHM數(shù)據(jù)，初步假定2個監(jiān)測點失效模式非線性相關，研究了長春伊通河橋主梁可靠性分析方法.

由上述研究現(xiàn)狀可知，基于監(jiān)測數(shù)據(jù)的橋梁可靠性研究主要集中在構件(單個監(jiān)測點)、失效模式相互獨立的結構體系(多個監(jiān)測點組成的結構體系)以及2個監(jiān)測點失效模式非線性相關的結構體系3個層面.考慮到橋梁結構體系存在多個失效模式，且具有共同的輸入隨機源，因而這些失效模式相互之間存在相關性，其中非線性相關性一般蘊含線性相關性的特性[13-15].因此，基于BHM數(shù)據(jù)，建立多個監(jiān)測點失效模式相互之間的非線性相關性模型，進而合理分析結構體系可靠性需要深入展開研究.

鑒于上述存在的問題，以在役橋梁主梁截面為研究對象，基于主梁截面多個監(jiān)測點(對應多個監(jiān)測變量)的日常極值應力監(jiān)測數(shù)據(jù)，首先，引入Pair-Copula模型和二元Copula模型，建立刻畫多個測點監(jiān)測變量兩兩之間非線性相關性的Vine-Copula模型，進而，結合測點的功能函數(shù)，進行多個監(jiān)測點失效模式非線性相關性的建模分析；然后，結合一次二階矩(FOSM)方法，進行失效非線性相關的主梁梁截面可靠性分析；最后，通過在役橋梁監(jiān)測數(shù)據(jù)進行驗證分析.

1 監(jiān)測變量的Vine-Copula模型

在役橋梁每個截面均包含多個監(jiān)測點，對應多個監(jiān)測變量，分別指多個測點的日常監(jiān)測極值應力.由于具有共同輸入隨機源(如：共同的荷載作用)，這些監(jiān)測變量相互之間存在非線性相關性[13-15].引入Pair-Copula理論和二維Copula理論建立刻畫這些非線性相關性的Vine-Copula模型.

1.1 Pair-Copula理論

Bedford等[16-17]提出了基于Pair-Copula構造模塊(Pair-Copula construction)的多元隨機變量聯(lián)合分布概率模型.Pair-Copula構造模塊為多維隨機變量提供了一種分離變量間相依結構的方法，可以將多維隨機變量按照某種邏輯結構分解為多個兩兩變量的Pair-Copula模塊，為Copula理論在高維隨機變量的應用中提供了理論基礎.

將橋梁某截面n個監(jiān)測點所對應的監(jiān)測極值應力定義為一個n維隨機變量X=(x1,x2,…,xi,…,xn)，基于Copula模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x1,x2,…,xi,…,xn)按照條件密度函數(shù)理論可以寫為

f(x1,x2,…,xi,…,xn)=c(F1(x1),

(1)

式中：c為Copula密度函數(shù)；Fi(xi)和fi(xi)分別為隨機變量xi的邊緣概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù).

由式(1)可得二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

f(xa,xj)=caj(Fa(xa),Fj(xj))fa(xa)fj(xj)

a,j=1,2,…,n且a≠j

(2)

式中：caj(Fa(xa)、Fj(xj))為xa和xj的二維Copula密度函數(shù).

由式(2)，可以推導得到：在xj已知的條件下，xa的概率密度函數(shù)為

f(xa|xj)=caj(Fa(xa),Fj(xj))fa(xa)

a,j=1,2,…,n且a≠j

(3)

由式(3)可得在n維隨機變量u已知的條件下，任意隨機變量x的條件密度函數(shù)為

f(x|u)=cxua|u-a(F(x|u-a),F(ua|u-a))·

f(x|u-a)

(4)

式中：ua是n維隨機變量u中的一個分量；u-a是n維隨機變量u中去掉ua之后的n-1維分量.

1.2 二元Copula結構

常見的二元Copula函數(shù)有5種，如表1所示.采用Gaussian Copula函數(shù)對非線性相關性進行研究，由表1可以得到二元Gaussian Copula函數(shù).式(5)是二元Gaussian Copula概率分布函數(shù)；式(6)是二元Gaussian Copula概率密度函數(shù).

表1 5種典型的Copula函數(shù)

C(u1,u2;ρ)=

ΦG(Φ-1(u1),Φ-1(u2);ρ)=

(5)

(6)

式中：ui=Fi(xi),i=1,2，F(xiàn)i(xi)是xi的邊緣概率分布函數(shù)；ΦG為Gaussian copula函數(shù)；Φ為標準正態(tài)分布函數(shù)；Φ-1為Φ的逆函數(shù)；r=Φ-1(u1)；s=Φ-1(u2)；ρ為Copula函數(shù)的相關參數(shù)，ρ∈[-1,1].

Kendall秩相關系數(shù)是Copula函數(shù)常用的相關性測度.Kendall秩相關系數(shù)τk與Copula函數(shù)的關系如式(7)所示[13-15]：

(7)

根據(jù)文獻[15]，可以得到ρ與τk的關系為

(8)

1.3 “Vine”結構及其分解

多元隨機變量聯(lián)合分布存在許多復雜的Pair-Copula分解結構，Bedford等[16-17]引入Vine結構對這種復雜邏輯結構進行描述.

高維Copula函數(shù)通過Vine結構可以有效實現(xiàn)多維隨機變量間兩兩相依結構的相關組合.采用Vine結構理論將多元隨機變量分解為單元Pair-Copula構造模塊.

由Vine的定義[16-17]可知，每個Vine由多棵樹(tree)組成，每棵樹含有多個結點(node)，連接2個節(jié)點的線叫做邊緣(edge).不同的Vine結構具有不同的性質，其中應用最廣、性質最好的是Regular Vine[16-18].

Regular Vine包含多種組成結構，其中最常用的是C-Vine和D-Vine，這兩類Vine結構都能在不同樹狀集合的邏輯結構下對高維分布進行分解，以四維監(jiān)測變量為例，分別建立C-Vine和D-Vine，如圖1和圖2所示.

a 樹1

b 樹2

c 樹3

圖2 四維D-Vine Copula分解結構

圖1為一個四維C-Vine Copula結構分解圖，該Vine結構共有3棵樹，每棵樹有一個主節(jié)點，每個主節(jié)點都會連接到其他節(jié)點上，每條連接主節(jié)點與其他節(jié)點的邊對應的就是一個Pair-Copula；圖2為一個四維D-Vine Copula結構分解圖，該Vine結構亦包含3棵樹，共有6條邊，每條邊對應一個Pair-Copula.

由圖1可得，四維隨機變量(x1,x2,x3,x4)的C-Vine聯(lián)合密度函數(shù)如式(9)所示；由圖2可得，四維隨機變量(x1,x2,x3,x4)的D-Vine聯(lián)合密度函數(shù)如式(10)所示.

f(x1,x2,x3,x4)=

f1(x1)f2(x2)f3(x3)f4(x4)c12(F1(x1),F2(x2);ρ12)×c13(F1(x1),F3(x3);ρ13)c14(F1(x1),

F4(x4);ρ14)×c23|1(F2|1(x2|x1),F3|1(x3|x1);

ρ23|1)×c24|1(F2|1(x2|x1),F4|1(x4|x1);ρ24|1)×

c34|12(F3|12(x3|x1,x2),F4|12(x4|x1,x2);ρ34|12)

(9)

f(x1,x2,x3,x4)=

f1(x1)f2(x2)f3(x3)f4(x4)c12(F1(x1),F2(x2);ρ12)×c23(F2(x2),F3(x3);ρ23)c34(F3(x3),

F4(x4);ρ34)×c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2);

ρ13|2)×c24|3(F2|3(x2|x3),F4|3(x4|x3);ρ24|3)×

c14|23(F1|23(x1|x2,x3),F4|23(x4|x2,x3);ρ14|23)

(10)

式中：ρ·,·和ρ·,·|·是對應Copula函數(shù)的相關參數(shù)；Fi(·)表示每個隨機變量的累積分布函數(shù)；F·|·(·|·)表示條件分布函數(shù)；c·,·(·,·)表示Copula密度函數(shù)；c·|·(·|·)表示條件Copula密度函數(shù).

2 失效模式非線性相關的在役橋梁截面可靠性分析

基于上述所建立的刻畫多個監(jiān)測變量相互非線性相關性的Vine-Copula模型(如圖1、圖2、式(9)以及式(10)所示)，多個監(jiān)測點失效模式非線性相關性模型可利用兩兩監(jiān)測點失效模式間的二元失效模式(Pair-Copula模塊)，通過Vine結構來建立.利用所建立的Vine-Copula模型可實現(xiàn)失效非線性相關的鋼梁截面可靠性分析，核心流程如圖3所示，詳細步驟為：① 基于容許應力和監(jiān)測極值應力信息，采用FOSM方法，計算監(jiān)測點可靠指標和失效概率；② 基于監(jiān)測點失效概率，采用Pair-Copula理論，進行僅有2個監(jiān)測點且其失效模式非線性相關的橋梁截面可靠性分析；③ 基于兩測點失效模式非線性相關的截面可靠性分析結果，采用串聯(lián)體系可靠性分析方法，進行含有多個監(jiān)測點且其失效模式相互非線性相關的橋梁截面可靠性分析.

圖3 可靠性計算流程

2.1 一次二階矩方法

假設抗力R和極值荷載效應S相互獨立，對應的平均值和標準差分別為μR、σR和μS、σS.

理論極限狀態(tài)方程為

g(R,S)=R-S

(11)

采用FOSM方法[12, 15]，可得可靠性指標βt計算公式為

(12)

2.2 截面監(jiān)測點可靠指標計算

鋼梁截面監(jiān)測點極限狀態(tài)方程為

g(σ,M)=σ-γPM

(13)

式中：σ為鋼材屈服強度；M為監(jiān)測極值應力；γP為傳感器修正系數(shù).

結合式(12)可得監(jiān)測點可靠指標βP為

(14)

式中：μM和σM分別為監(jiān)測極值應力的平均值和標準差；μσ和σσ為鋼材容許應力的平均值和標準差；γP是傳感器的修正系數(shù).極值應力指每天監(jiān)測正應力的極大值或每天監(jiān)測負應力絕對值的極大值.

2.3 2個失效模式非線性相關的可靠性分析

單元Pair-Copula模塊中的二元結構體系有2種形式：串聯(lián)體系和并聯(lián)體系.任意2個監(jiān)測點形成的二元組合結構體系是并聯(lián)體系，根據(jù)文獻[15]可得，n維并聯(lián)結構體系的失效模式功能函數(shù)為

hq(Yq)=[σ]-Yq,q=1,2,…,n

(15)

式中：n表示監(jiān)測點總數(shù)；q表示第q個監(jiān)測點；Yq表示第q個監(jiān)測點的監(jiān)測極值應力.

基于式(5)～(8)，可得單元Pair-Copula模塊中任意二元組合結構體系失效模式同時發(fā)生的概率為

Phi(Yi)≤0,hj(Yj)≤0=P{hi(Yi)≤

CHi(0),Hj(0);ρij=Cpfi,pfj;ρij

i,j∈1,2,…,n且i≠j

(16)

2.4 多個失效模式非線性相關的橋梁截面可靠性分析

假定橋梁截面任意2個監(jiān)測點非線性相關的二元結構體系呈串聯(lián)關系，采用式(9)和式(10)可得多個失效模式非線性相關的橋梁截面失效概率為

(17)

式中：fi、fj分別為i和j測點失效對應的功能函數(shù).對應的多個失效模式相互獨立的橋梁截面失效概率為

pfsystem=maxpfi,i=1,2,…,n

(18)

式中：pfi是第i個監(jiān)測點的失效概率.

3 算例分析

采用天津富民橋主梁A截面的健康監(jiān)測數(shù)據(jù)對其截面可靠性進行分析，截面A的位置以及截面?zhèn)鞲衅鞑贾梅謩e如圖4和圖5所示.由圖5可知，利用8個傳感器對A截面極值應力進行健康監(jiān)測，通過對各個測點的日常極值應力數(shù)據(jù)進行比較分析可知，以下4個傳感器(即FBG01081、FBG01078、FBG01080、FBG01077)得到的極值應力(正應力或負應力絕對值的極大值)數(shù)據(jù)偏大，因而利用其對應4個監(jiān)測點的數(shù)據(jù)對A截面的可靠性進行分析.采集到的應力信息包含了車輛荷載、溫度荷載、收縮徐變以及結構變化造成的應力信息，結構自重造成的應力亦包含在其中.

在不考慮監(jiān)測點失效模式相依性的情況下，4個監(jiān)測點的最大失效概率認為是A截面的失效概率可用式(18)進行計算.在考慮監(jiān)測點失效模式相依性的情況下，所有任意組合模塊(Pair-Copula模塊)中的最大失效概率認為是A截面的失效概率可用式(17)進行計算.

圖4 富民橋主梁監(jiān)測截面分布

圖5 A截面的傳感器布置

對天津富民橋橫梁底板橫橋向A截面極值應力進行了1 000 d的監(jiān)測(注：極值應力指的是每天監(jiān)測得到的應力絕對值的極大值)，保證了4個監(jiān)測點極值應力的概率統(tǒng)計特性得到正確提取.其中，傳感器FBG01081的監(jiān)測點視為a點，傳感器FBG01078的監(jiān)測點視為b點，傳感器FBG01080的監(jiān)測點視為c點，傳感器FBG01077的監(jiān)測點視為d點.A截面4個監(jiān)測點的監(jiān)測應力時程曲線如圖6所示.基于這些監(jiān)測極值應力數(shù)據(jù)，采用Kolmogorov-Smirnov (K-S) 檢驗方法[4-5, 12-15]，可得4個監(jiān)測點監(jiān)測變量的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)，利用式(7)、(8)和式(15)可得4個監(jiān)測點失效模式兩兩之間的Copula相關參數(shù)：ρab=-0.96、ρac=ρac|b=0.95、ρad=ρad|bc=0.85、ρbc=ρbc|a=0.06、ρbd|a=ρbd|c=0.20、ρcd=ρcd|ab=0.85.

圖6 監(jiān)測應力時程曲線

基于Pair-Copula理論、極值應力監(jiān)測數(shù)據(jù)以及所得的Copula相關參數(shù)，分別采用C-Vine結構和D-Vine結構，進行了考慮失效模式非線性相關性的四元鋼梁截面可靠性分析.

根據(jù)C-Vine結構可將四元(即4個監(jiān)測點)鋼梁截面體系分解成6個系列兩兩結構相依的失效模塊(Pair -Copula模塊)，即：Cab、Cac、Cad、Cbc|a、Cbd|a、Ccd|ab(C表示基于C-Vine結構的Pair-Copula模塊)，每個失效模塊所對應的Gaussian Copula函數(shù)PDF(probability density function)可由式(2)～(4)和式(6)～(8)計算得到.根據(jù)D -Vine結構同樣也將四元橋梁結構體系分解成6個具有相依性的模塊即Dab、Dbc、Dcd、Dac|b、Dbd|c、Dad|bc(D表示基于D-Vine結構的Pair-Copula模塊)，每個失效模塊所對應的Gaussian Copula函數(shù)PDF同樣可由式(2)～(4)和式(6)～(8)計算得到.

參考上述監(jiān)測點失效模式間Copula相關參數(shù)值，利用式(5)和式(15)分析可得，任意2個失效模式之間均相關.

對4個監(jiān)測點的健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進行K-S檢驗，可知4個監(jiān)測點的極值應力數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，與文獻[2, 4]研究的極值應力分布類型相一致.由文獻[12, 15]可知：天津富民橋鋼梁鋼材的容許應力服從均值為345 MPa、標準差為103.5 MPa的正態(tài)分布(變異系數(shù)取值0.3)，因而，可以采用一次二階矩方法對監(jiān)測點可靠性指標進行計算.

結合式(14)可得可靠性指標計算公式為

(19)

式中：μ和σ為監(jiān)測點極值應力絕對值的平均值與標準差.

進而可得天津富民橋橫梁底板橫橋向A截面4個監(jiān)測點的可靠性指標分別為βa=3.201 1,βb=2.693 7,βc=3.120 3,βd=3.154 5.

采用pf=Φ(-β)，可以得到A截面4個監(jiān)測點的失效概率分別為pfa=0.002 4,pf=0.010 6,pfc=0.003 1,pfd=0.002 8.

進而利用式(18)可得不考慮失效模式相關性的A截面失效概率為pf1=maxpfa,pfb,pfc,pfd=0.010 6.

結合圖1，利用式(9)、式(13)～(16)，可得C-Vine結構的四元橋梁截面各組合模塊失效模式對應的失效概率分別為pfab=1.05×10-77,pf=1.60×10-3,pfad=9.90×10-4,pfbc|a=5.24×10-5,pfbd|a=1.17×10-4,pfcd|ab=1.10×10-3.

進而利用式(17)可得，考慮失效模式相關性時，基于C-Vine的A截面失效概率為pf2=maxpfab,pfac,pfad,pfbc|a,pfbd|a,pfcd|ab=1.6×10-3.

結合圖2，利用式(10)、式(13)～(16)，可得D-Vine結構的四元橋梁截面各組合模塊對應的失效概率分別為pfab=1.05×10-77,pfbc=2.27×10-42,pfcd=1.70×10-3,pfac|b=1.00×10-3,pfbd|c=2.5×10-4,pfad|bc=5.49×10-6.

進而利用式(17)可得，考慮失效模式相關性時，基于D -Vine的A截面失效概率為pf3=maxpfab,pfbc,pfcd,pfac|b,pfbd|c,pfad|bc=1.7×10-3.

由上述結果可知，采用C-Vine結構或D-Vine結構，天津富民橋主梁A截面考慮監(jiān)測點失效模式相關性的失效概率小于不考慮失效模式相關性時的截面失效概率.

4 結論

提出了基于Pair-Copula理論和監(jiān)測極值應力數(shù)據(jù)的考慮監(jiān)測點失效模式非線性相關性的橋梁截面可靠性分析方法.基于天津富民橋截面監(jiān)測極值應力數(shù)據(jù)的驗證分析，得出如下結論：考慮多個監(jiān)測點失效模式非線性相關性所得橋梁截面失效概率比不考慮失效模式相關性所得結果偏小，說明不考慮失效模式相關性計算所得的結果具有一定的保守性，考慮失效模式相關性計算所得結果更加合理.

采用多測點的極值應力數(shù)據(jù)進行服役階段橋梁截面承載能力極限狀態(tài)的可靠性分析，為在役橋梁安全評價提供理論基礎和應用方法.利用式(14)計算得到的監(jiān)測點可靠性指標偏小，甚至小于設計可靠性指標，主要是式中考慮了傳感器修正系數(shù)γP.規(guī)范規(guī)定的可靠性指標針對設計層面，而基于健康監(jiān)測數(shù)據(jù)的服役階段橋梁可靠性，考慮到監(jiān)測數(shù)據(jù)和模型的不確定性，需要進一步開展細化研究.由于只對主梁單個監(jiān)測截面的體系可靠性進行了分析研究，所以對多個監(jiān)測截面組成的主梁體系可靠性分析研究需要進一步分析研究.