方衛(wèi)國(guó) 張曉明 楊琛

（北京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 100191）

一、引言

Roman和Maas[1]在研究廣告對(duì)銷售量的影響時(shí)發(fā)現(xiàn)，任何產(chǎn)品的銷售量都不是無限大的，而是有一個(gè)“臨界銷售量”和“最大可能銷售量”?！芭R界銷售量”指某一品牌產(chǎn)品在沒有任何廣告情況下，只要確實(shí)有價(jià)值，總會(huì)產(chǎn)生一定程度的銷售。“最大可能銷售量”指某一品牌產(chǎn)品銷售量，由于受到產(chǎn)品自身的限制，比如產(chǎn)品質(zhì)量和生命周期，以及外界環(huán)境的影響，諸如市場(chǎng)和經(jīng)濟(jì)環(huán)境、替代產(chǎn)品和新產(chǎn)品的威脅等，在達(dá)到市場(chǎng)飽和或者說一個(gè)最高銷售點(diǎn)后，就很難甚至無法在銷售量上有所增長(zhǎng)了。在“臨界銷售量”和“最大可能銷售量”之間的區(qū)域，廣告可以發(fā)揮促銷作用。合作廣告一般分為縱向（垂直）和橫向（水平）合作廣告。縱向合作廣告指在供應(yīng)鏈中，具有縱向關(guān)系的兩個(gè)企業(yè)（比如百事可樂和肯德基）合作，用戰(zhàn)略合作和聯(lián)合廣告的方式共同宣傳二者的產(chǎn)品。而橫向合作廣告指在市場(chǎng)上橫向的兩個(gè)企業(yè)（比如宏碁和IBM），甚至是跨行業(yè)的兩個(gè)企業(yè),為了爭(zhēng)取更低廉的價(jià)格和其他更優(yōu)厚的待遇而合作，兩家企業(yè)同時(shí)與同一家廣告公司簽訂合作宣傳協(xié)議。目前絕大多數(shù)行業(yè)都存在縱向合作廣告，它是許多企業(yè)營(yíng)銷戰(zhàn)略中極為重要的一環(huán)。縱向合作廣告中，制造商會(huì)為零售商支付部分廣告成本。本文研究的合作廣告指縱向合作廣告。

合作廣告一般是由制造商的品牌廣告（又叫全國(guó)性廣告）和零售商的地方性廣告組成[2]。全國(guó)性廣告指制造商在全國(guó)市場(chǎng)進(jìn)行宣傳來推廣產(chǎn)品，目的主要是建立良好的品牌形象和聲譽(yù)，讓消費(fèi)者建立對(duì)品牌的信任，考慮購(gòu)買該品牌產(chǎn)品。地方性廣告指零售商在其所屬地域進(jìn)行的宣傳和促銷，目的是提供給顧客更為詳細(xì)的信息，如去哪里買、怎么買、折扣能有多少等，以此來鼓勵(lì)和引導(dǎo)顧客的購(gòu)買行為，較為典型的地方性廣告有產(chǎn)品陳列展臺(tái)、產(chǎn)品促銷宣傳和商場(chǎng)的宣傳活動(dòng)等。通過合作廣告對(duì)品牌的營(yíng)造和對(duì)產(chǎn)品購(gòu)買信息的描述，當(dāng)顧客有購(gòu)買該產(chǎn)品的需求時(shí)，可以輕而易舉獲得更全面的信息。而如果只有全國(guó)性廣告，顧客僅僅知道品牌，卻無法了解購(gòu)買渠道，面臨著找不到商店位置等“最后一公里”問題。因此，無論是全國(guó)性的品牌廣告還是零售商的地方性促銷宣傳，對(duì)提升銷售量都有不可忽視的作用。

合作廣告作為供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的手段，其對(duì)供應(yīng)鏈績(jī)效提升的價(jià)值，近年來重新受到了關(guān)注[3-5]。Aust和Buscher[6]的綜述對(duì)各種不同的合作廣告形式進(jìn)行了梳理，重點(diǎn)討論有關(guān)縱向合作廣告的研究進(jìn)展，包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài)場(chǎng)景以及研究中采用的各種需求和費(fèi)用函數(shù)。合作博弈和非合作博弈模型在合作廣告研究中獲得了廣泛的應(yīng)用。Jorgensen和Zaccour[7]對(duì)合作廣告研究中的博弈模型進(jìn)行了分類和討論。除了研究合作廣告自身對(duì)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的作用外，進(jìn)一步將合作廣告與訂貨策略結(jié)合起來[8-10]，或者更多地同時(shí)考慮合作廣告與價(jià)格策略[11-16]，研究它們對(duì)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的交互作用。對(duì)合作廣告的研究，已經(jīng)從由一個(gè)制造商和一個(gè)零售商組成的簡(jiǎn)單供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)，發(fā)展到由多個(gè)制造商或/和多個(gè)零售商組成的復(fù)雜供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)[17-23]；從單周期決策擴(kuò)展到多周期決策[24,25]。絕大部分研究聚焦在縱向合作廣告，也有少量研究探討橫向合作廣告問題[26,27]。近年來，隨著電子商務(wù)的興起，雙渠道供應(yīng)鏈的合作廣告問題逐漸獲得了學(xué)者的關(guān)注[5,28-30]。

本文考慮由一個(gè)零售商和一個(gè)制造商組成的、提供單一產(chǎn)品的二級(jí)供應(yīng)鏈，針對(duì)現(xiàn)有的合作廣告銷售反應(yīng)函數(shù)假設(shè)存在的缺陷予以改進(jìn)，構(gòu)造新的銷售反應(yīng)函數(shù)?；诟倪M(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)，研究合作廣告的最優(yōu)策略問題。將制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者而零售商作為追隨者的合作廣告問題，建模為Stackelberg主從博弈。通過求解模型的均衡解，確定制造商和零售商的合作廣告最優(yōu)策略。對(duì)博弈均衡及最優(yōu)策略的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行理論分析，通過數(shù)值模擬對(duì)理論分析的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

二、合作廣告銷售反應(yīng)函數(shù)

Huang和Li[2]認(rèn)為產(chǎn)品銷售量S，受零售商地方性廣告水平a和制造商全國(guó)性品牌投資q的雙重影響，并將期望的銷售反應(yīng)函數(shù)假設(shè)為如下形式：

其中α＞0為銷售飽和漸近線，即最大可能銷售量；β、γ和δ為大于0的常數(shù)，γ或δ越大，表明零售商地方性廣告投入或制造商全國(guó)性廣告投入（品牌投資）對(duì)銷售反應(yīng)量的影響越大。這一銷售反應(yīng)函數(shù)在合作廣告研究中被眾多學(xué)者廣泛采用。但上述假設(shè)存在四個(gè)缺陷：

（a）不能考慮零售商或制造商在廣告上不投資的情形。若α=0或q=0，則（1）式?jīng)]有意義。

（b）對(duì)于某些參數(shù)組合，如α或q小于1而γ或δ大于1時(shí)的某些參數(shù)組合，銷售反應(yīng)函數(shù)可能出現(xiàn)負(fù)值。針對(duì)這一缺陷，Ahmadi-Javid和Hoseinpour[31]對(duì)銷售反應(yīng)函數(shù)已經(jīng)做了改進(jìn)。

（c）（1）式隱含著零售商和制造商各自在廣告上的投資彼此具有替代效應(yīng)。當(dāng)α很小而q→∞，或當(dāng)q很小而α→∞時(shí)，S→α。這意味著僅憑零售商或制造商單方面的廣告促銷努力，即可使銷售量接近飽和。事實(shí)上，如前所述，零售商地方性廣告與制造商全國(guó)性廣告具有不同的目標(biāo)和作用，可以互相促進(jìn)但不能彼此替代。

針對(duì)（1）式所描述的銷售反應(yīng)函數(shù)的缺陷，本文提出改進(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)，它具有如下的Logistic函數(shù)形式：

（2）式中，參數(shù)α，a，q的含義同前。β1和β2是正常數(shù)，分別表征零售商和制造商的促銷行為對(duì)市場(chǎng)需求的影響力，它們的值越大，表明促銷行為對(duì)市場(chǎng)需求的改變效果越顯著。0〈γ，δ〈1分別為銷售量對(duì)零售商地方性廣告和制造商全國(guó)性廣告投資的彈性因子。

改進(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）當(dāng)a→∞且q→∞時(shí)，S(a,q)→α，銷售量達(dá)到飽和。

（2）當(dāng)a→0且q→0時(shí)，。此時(shí)的銷售量即為在沒有任何廣告的情況下產(chǎn)品的臨界銷售量[1]。

（3）當(dāng)a→0且q→∞時(shí)，；

（4）當(dāng)a→∞且q→0時(shí)，。

進(jìn)一步作出如下兩個(gè)假設(shè)：

（1）彈性因子γ越大，表明零售商地方性廣告對(duì)銷售量的激勵(lì)越強(qiáng)烈。同樣δ的值越大，制造商全國(guó)性廣告對(duì)銷售量的激勵(lì)越強(qiáng)烈。由于制造商全國(guó)性廣告的影響范圍和影響程度，要高于零售商地方性廣告的效果，因此，我們假設(shè)δ＞γ。

（2）影響力系數(shù)β1越大，表明零售商的促銷行為對(duì)市場(chǎng)需求的影響力越大。類似地，β2越大，表明制造商的促銷行為對(duì)市場(chǎng)需求的影響力越大。由于制造商促銷行為的影響范圍和程度要大于零售商，因此，我們假設(shè)β1＞β2。

定義其他一些變量：制造商銷售每單位產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)為ρm；零售商的邊際利潤(rùn)為ρr；制造商分擔(dān)一部分零售商的地方性廣告費(fèi)用，設(shè)分擔(dān)率為t，令0〈t〈1。這也可理解為制造商在合作廣告中對(duì)零售商的補(bǔ)貼。

基于上述假設(shè)和變量定義，可得制造商、零售商的利潤(rùn)分別為：

三、合作廣告的Stackelberg博弈模型

在傳統(tǒng)的產(chǎn)品分銷渠道中，由于單個(gè)零售商銷售量占某一制造企業(yè)產(chǎn)量的比重不大，制造商依賴自身雄厚的資金實(shí)力和強(qiáng)大的生產(chǎn)能力，在與零售商的對(duì)話中往往占據(jù)主導(dǎo)地位，能夠通過控制某種規(guī)格產(chǎn)品的供給對(duì)零售商施加影響。為了取得某型號(hào)產(chǎn)品的銷售權(quán)，零售商須要與制造商進(jìn)行談判，甚至做出必要的讓步。本文考察這種經(jīng)典的制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者而零售商作為追隨者的序貫非合作博弈情形，也就是Stackelberg主從博弈，這個(gè)博弈的最優(yōu)解稱為Stackelberg均衡。

對(duì)于所研究的制造商—零售商合作廣告問題，Stackelberg博弈可描述為：合作廣告的動(dòng)議來自零售商，它為了增加自己的廣告預(yù)算并且在促銷方面少花費(fèi)自身資金從而向制造商尋求幫助。從制造商角度看，零售商通常在地方性廣告上的支出比需要支出的數(shù)量少。制造商通過采用合作廣告補(bǔ)貼策略，誘使零售商增加它的地方性廣告支出到某個(gè)水平，從而引起產(chǎn)品銷售額外增加。而零售商地方性廣告支出水平的確定，依賴于制造商愿意支付多少補(bǔ)貼。制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者首先宣布其品牌投資水平、合作廣告策略；零售商作為追隨者，隨后決定從正在考慮地方性廣告支出預(yù)算的制造商處購(gòu)買產(chǎn)品的數(shù)量。換句話說，零售商把地方性廣告支出的Stackelberg均衡考慮進(jìn)來以決定要訂購(gòu)的產(chǎn)品數(shù)量。另一方面，制造商考慮零售商的行為，并通過確定品牌效應(yīng)投資水平和合作廣告補(bǔ)償策略來最大化自身的利潤(rùn)。

制造商—零售商合作廣告問題的Stackelberg博弈模型表達(dá)為

（5）式中，

四、Stackelberg博弈均衡求解

為了確定Stackelberg均衡，需要求出這個(gè)博弈第二階段的反應(yīng)函數(shù)。考察πr對(duì)a的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：

在對(duì)a的取值范圍不做限定的情況下，無法判斷（8）式小于0，因此不能直接通過駐點(diǎn)條件，即令，求出使零售商利潤(rùn)最大的地方性廣告水平a*。圖1示出了 隨a的變化趨勢(shì)。事實(shí)上，當(dāng)a→-∞時(shí)，πr→∞。

圖1 πr隨a的變化（ 圖片）

考察πr對(duì)a的駐點(diǎn)。為簡(jiǎn)化表達(dá)，令β1e-γa=z，pr=ρrαγ，求解方程 (7)，得到

圖1 顯示，πr有兩個(gè)駐點(diǎn)a1和a2，a1＞a2，且a1是極大值點(diǎn)。由于0〈γ〈1，故z為a的減函數(shù)，則a1對(duì)應(yīng)的z為：

據(jù)此可求出零售商最優(yōu)的地方性廣告水平：

以下分析零售商最優(yōu)的地方性廣告水平a*的性質(zhì)。

（1）計(jì)算a*對(duì)q的一階偏導(dǎo)數(shù)，得到

分析（11）式，不難判斷

和

（2）計(jì)算a*對(duì)t的一階偏導(dǎo)數(shù)，得到

顯然，由于t〈1，故。這表明，制造商愿意分擔(dān)地方性廣告費(fèi)用越多，零售商將愿意在地方性廣告上的支出也越多。因此，制造商的合作廣告補(bǔ)貼策略也可作為零售商地方性廣告支出的指示器，制造商能使用這種指示器來誘使零售商增加地方性廣告支出從而達(dá)到制造商期望的水平。

下一步，求解Stackelberg博弈第一階段的優(yōu)化問題（5），確定制造商最優(yōu)的全國(guó)性廣告投資水平q*以及對(duì)零售商地方性廣告投資的最優(yōu)分擔(dān)率t*。將a*的表達(dá)式（10）代入制造商利潤(rùn)表達(dá)式（3），并令pm=ρmαδ，從而將制造商的利潤(rùn)表達(dá)式改寫為

根據(jù)（13）式，可以推導(dǎo)出

理論上，若πm關(guān)于q和t的Hesse矩陣在集合 {(q,t)|q≥0,0＜t＜1 上負(fù)定，即πm是q和t的凹函數(shù)，則通過求解由組成的非線性方程組，得到πm的駐點(diǎn)。進(jìn)一步考察駐點(diǎn)確定q*和t*。對(duì)于非線性方程組，駐點(diǎn)一般有多個(gè)。比較各駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的制造商利潤(rùn)，最大利潤(rùn)所對(duì)應(yīng)的駐點(diǎn)，就是所要尋求的q*和t*。由于πm是q和t的復(fù)雜非線性函數(shù)，其梯度矩陣及Hesse矩陣的表達(dá)式均十分復(fù)雜，難以得到q*和t*的解析表達(dá)式，只能通過數(shù)值方法求解。一旦q*和t*確定，就可根據(jù)（10）式計(jì)算零售商地方性廣告最優(yōu)投資水平a*。

五、數(shù)值模擬

參數(shù)假設(shè)：飽和銷售量α=100；零售商與制造商促銷行動(dòng)對(duì)市場(chǎng)的影響力系數(shù)分別為β1=1，β2=2；銷售量對(duì)地方性廣告和全國(guó)性廣告的彈性因子分別為γ=0.2，δ=0.3 。由于制造商占主導(dǎo)地位，它將獲得供應(yīng)鏈大部分收益。設(shè)制造商和零售商的邊際利潤(rùn)分別為ρm=2和ρr=0.6。

在這組參數(shù)設(shè)置下，根據(jù)（2）式，若制造商和零售商均不做廣告，則銷售量?jī)H為25，此即為該產(chǎn)品的臨界銷售量；若僅有制造商開展全國(guó)性廣告促銷，銷售量最多可提升到50；若僅有零售商開展地方性廣告促銷，銷售量最多可提升到33.3。

為開展數(shù)值模擬，首先根據(jù)銷售反應(yīng)函數(shù)，確定全國(guó)性廣告投資水平的合理范圍。令a=0，即假設(shè)零售商不開展地方性廣告促銷活動(dòng)，僅靠制造商全國(guó)性廣告刺激銷售。此時(shí)，銷售反應(yīng)函數(shù)退化為。圖2給出了銷售量隨q的變化。當(dāng)q＞20，銷售量的增加已非常微弱，因此在數(shù)值模擬中，為簡(jiǎn)化分析，將q的上限設(shè)為20。

圖2 銷售量隨q的變化（a=0）

給定制造商全國(guó)性廣告投資水平q=12，根據(jù)(10)式可繪制零售商地方性投資水平隨分擔(dān)率的變化曲線，如圖3所示。根據(jù)(4)式可計(jì)算零售商和制造商利潤(rùn)隨分擔(dān)率的變化，見圖4。

圖3 零售商地方性廣告水平a隨t的變化（q=12）

圖4 零售商與制造商利潤(rùn)隨t的變化（q=12）

給定分擔(dān)率t=0.3，根據(jù)(11)式可繪制零售商地方性廣告水平a隨q的變化曲線，見圖5。零售商和制造商利潤(rùn)隨q的變化見圖6。

圖5 零售商地方性廣告水平a隨q的變化（t=0.3）

圖6 零售商與制造商利潤(rùn)隨q的變化（t=0.3）

圖3和圖5表明，零售商地方性廣告水平a隨制造商的全國(guó)性廣告水平q以及制造商對(duì)地方性廣告費(fèi)用分擔(dān)率t的提高而提高，這與前面的理論分析一致。比較圖3和圖5，還可以發(fā)現(xiàn)，零售商地方性廣告水平對(duì)分擔(dān)率的靈敏度，要高于對(duì)制造商全國(guó)性廣告水平的靈敏度。例如，固定q=12，t從0.3增加到0.4，增加率為33.3%，相應(yīng)地，a從12.995增加到13.872，增加率為6.75%；固定t=0.3，q從12增加到16，增加率也為33.3%，而a從12.995增加到13.391，增加率為3.05%。這說明，比較而言，為誘導(dǎo)零售商將地方性廣告提升到期望的水平，制造商提高分擔(dān)率比提高全國(guó)性廣告水平更有效。另一方便，通過類似的分析，從圖4和圖6可以得出，比較而言，零售商和制造商利潤(rùn)對(duì)全國(guó)性廣告水平的靈敏度要高于對(duì)分擔(dān)率的靈敏度。這是因?yàn)槔麧?rùn)的主要影響因素為產(chǎn)品的銷售量，全國(guó)性廣告水平q直接影響銷售量，而分擔(dān)率只能通過作用于地方性廣告水平a間接地影響銷售量。這說明，為提升制造商及零售商的利潤(rùn)，制造商要更精心地規(guī)劃其在全國(guó)性廣告上的投資水平。

下面確定制造商的最優(yōu)決策（q*，t*）。由于沒有解析表達(dá)式，為簡(jiǎn)化分析，我們對(duì)q和t進(jìn)行離散化，采用數(shù)值方法計(jì)算。q的取值從0開始，按0.1的步長(zhǎng)增長(zhǎng)到20；t的下限設(shè)定為0.01，按0.01的步長(zhǎng)增長(zhǎng)到0.99。按（13）式編程計(jì)算在不同（q，t）組合下制造商的利潤(rùn)，見圖7。得到制造商最大利潤(rùn)π*m=164.5，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)決策為q*=15.8，t*=0.42。

圖7 制造商利潤(rùn)隨q和t的變化

相應(yīng)于制造商的最優(yōu)決策，由（10）式可計(jì)算出零售商的最優(yōu)決策a*=14.4423，零售商利潤(rùn)π*r=47.5，此時(shí)供應(yīng)鏈銷售量達(dá)到S=93.185，接近飽和銷售量。

六、結(jié) 語

本文研究由一個(gè)零售商和一個(gè)制造商組成的、提供單一產(chǎn)品的二級(jí)供應(yīng)鏈縱向合作廣告最優(yōu)策略問題，其中零售商要確定其在地方性廣告上的投資水平，而制造商要確定其在全國(guó)性廣告上的投資水平以及對(duì)零售商地方性廣告費(fèi)用的分擔(dān)率。產(chǎn)品的銷售量由地方性和全國(guó)性廣告的投資水平共同決定。分析了當(dāng)前在合作廣告研究中廣泛采用的銷售反應(yīng)函數(shù)假設(shè)存在的缺陷。針對(duì)這些缺陷，對(duì)銷售反應(yīng)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的銷售反應(yīng)函數(shù)?；诟倪M(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)，探討合作廣告的最優(yōu)策略問題。對(duì)制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者而零售商作為追隨者的合作廣告最優(yōu)決策問題，本文將其建模為Stackelberg主從博弈，建立了Stackelberg博弈模型。對(duì)模型的求解進(jìn)行了探討，對(duì)博弈均衡及相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了理論分析。通過數(shù)值模擬，對(duì)理論分析的結(jié)果進(jìn)行了展示和驗(yàn)證。數(shù)值模擬還發(fā)現(xiàn)，對(duì)處于領(lǐng)導(dǎo)地位的制造商而言，為誘導(dǎo)零售商將地方性廣告投資提升到期望的水平，制造商提高分擔(dān)率比提高全國(guó)性廣告投資水平更有效；為提升制造商及供應(yīng)鏈的整體績(jī)效，制造商要更精心地規(guī)劃其在全國(guó)性廣告上的投資水平。未來進(jìn)一步的研究，將考慮定價(jià)策略與合作廣告策略的交互作用對(duì)銷售量的影響。