史 峰，楊小虎

(1.中國科學院上海天文臺星系與宇宙學重點實驗室，上海200030； 2.中國科學院大學，北京100049；3.上海交通大學天文系上海市粒子物理和宇宙學重點實驗室，上海200240)

1 引言

從人類第一次探測到宇宙加速膨脹[1,2]至今已經(jīng)過去20年。宇宙加速膨脹是天文學史上最重要的發(fā)現(xiàn)之一，但背后的物理機制仍在爭論之中。標準的含宇宙學常數(shù)的冷暗物質(zhì)模型(Λ cold dark matter model, ΛCDM)已經(jīng)取得成功，但也有可能在宇宙學尺度上的廣義相對論框架下失效，因此需要更多觀測數(shù)據(jù)檢驗引力模型。盡管各種觀測，如Ia 型超新星爆炸、宇宙微波背景輻射和重子聲波震蕩等，可以給出加速膨脹存在的證據(jù)，但并不能提供模型約束，以區(qū)分膨脹機制符合暗能量驅(qū)動模型，還是引力修正模型[3]。

事實上，星系空間分布能反映宇宙背景物質(zhì)的分布，通過測量星系的兩點相關(guān)函數(shù)或功率譜，可以約束暗能量性質(zhì)或引力模式。如果宇宙在大尺度上是各向同性和均勻的，那么，相關(guān)函數(shù)或者功率譜應該是旋轉(zhuǎn)對稱的。但實際觀測發(fā)現(xiàn)，它們是角度依賴的，這正是由于引力拉拽引起的星系本動速度造成的。本動速度會給觀測到的紅移附加一個額外的多普勒紅移，導致根據(jù)觀測紅移推算的星系距離與宇宙學紅移對應的真實距離存在偏差，引起星系空間分布的畸變。這種畸變現(xiàn)象會使星系成團性在大尺度上因受擠壓而增強(即Kaiser 效應[4])，在小尺度上因被拉伸而減弱[被稱為“上帝的手指”(finger of God, FOG)效應[5,6]]。在線性尺度上，Kaiser 效應的程度依賴于本動速度場的振幅強度，通常定義為fσ8，其中，f= d(lnD)/d(lna)，表征宇宙的結(jié)構(gòu)增長率，D是線性增長因子，a是尺度因子；σ8是半徑為8h?1Mpc 范圍內(nèi)的物質(zhì)成團強度，其中，h=H0/100，H0為哈勃常數(shù)。通常情況下，f=(z)，其中，?m(z)為紅移z處的物質(zhì)密度參數(shù)，γ為增長指數(shù)。人們可以通過測量fσ8隨紅移的演化關(guān)系來檢驗引力模型[7]，例如，廣義相對論框架下的ΛCDM 模型給出的預測為γ= 0.55[8]。另外，由于結(jié)構(gòu)增長率隨紅移的演化依賴于暗能量的狀態(tài)方程，因此，人們可以通過測量fσ8來限制暗能量的性質(zhì)。然而，僅依賴紅移畸變的線性效應很難精準測量fσ8[9–11]，還需要考慮非線性效應和來自星系偏袒的高階誤差，因此，需要引入更精準、更復雜的紅移畸變模型。紅移畸變的信號可以通過相關(guān)函數(shù)或功率譜測量，該方法已成功地應用在了星系巡天數(shù)據(jù)上，如6dFGS[3], WiggleZ[12], VIPERS[13]和SDSS[14–20]等。本文將主要介紹紅移畸變模型的發(fā)展，并回顧近幾年宇宙結(jié)構(gòu)增長率的實測進展。

本文結(jié)構(gòu)如下：第2章概述紅移畸變問題和模型；第3 章介紹主要的星系紅移巡天項目和相關(guān)的fσ8測量，并討論其與ΛCDM 模型預測的符合程度；第4 章給出總結(jié)和展望。

2 紅移畸變問題概述

2.1 畸變的星系空間分布

星系空間分布是描述宇宙的一個重要參量[21]，它能刻畫出宇宙物質(zhì)的分布特征，區(qū)分不同的宇宙學模型[22–26]，也可以用來建立星系和暗物質(zhì)(暈)之間的統(tǒng)計關(guān)聯(lián)[25,27–29]，幫助我們理解星系在密度場里的形成和演化過程。2度視場星系紅移巡天(2 degree Field Galaxy Redshift Survey, 2dFGRS)[30]和斯隆數(shù)字化巡天(SDSS)[31]等星系紅移巡天的主要目標，便是依據(jù)光譜紅移測距，詳細刻畫星系的三維空間分布。

一般來講，在平宇宙下，星系的共動距離rcov與紅移z的關(guān)系如下：

其中，?Λ是真空能量密度參數(shù)，?m是物質(zhì)密度參數(shù)。事實上，觀測到的星系紅移zobs不僅包含宇宙學紅移zcos，還有沿視線方向的本動速度vpec引起的多普勒紅移zpec的貢獻，它們在非相對論情況下有如下關(guān)系：

其中c是光速。觀測紅移對應的距離一般稱為紅移距離rcov(zobs)，它顯然不同于宇宙學紅移對應的真實距離rcov(zcos)。由于本動速度的存在，觀測紅移對應的距離并不是星系距離的真實反應，紅移空間的星系分布是扭曲畸變的，與其真實分布存在系統(tǒng)性偏差，這種現(xiàn)象叫做紅移畸變效應。紅移畸變現(xiàn)象最早是在早期的紅移巡天[32–34]中被發(fā)現(xiàn)的。Peacock 等人[23]在2001年利用2dFGRS 數(shù)據(jù)測量了星系的兩點相關(guān)函數(shù)，給出了清晰的紅移畸變信號。圖1 所示的二維兩點相關(guān)函數(shù)ξ(r0,rπ)表示的是在垂直距離r0和視線距離rπ下發(fā)現(xiàn)星系對的概率超過隨機分布的程度。在一個各向同性的宇宙里，這個函數(shù)應該是不依賴于觀測方向的。但在紅移空間，該函數(shù)明顯是各向異性的，在小尺度和大尺度上分別被拉伸和擠壓，以致其偏離了真實分布的各向同性。紅移畸變造成的這種各向異性效應，導致我們不能直接獲得星系在實空間的分布和成團信息。

另一方面，雖然紅移畸變有礙于還原真實空間的星系成團性，但它可以被用來提取宇宙學信息。星系的本動速度會導致二維相關(guān)函數(shù)的大尺度上的擠壓效應(Kaiser 效應[4])。在結(jié)構(gòu)形成的引力不穩(wěn)定性模型里，它由引力勢梯度造成的物質(zhì)內(nèi)流運動引起，與物質(zhì)密度漲落密切相關(guān)，因此，速度場示蹤著大尺度結(jié)構(gòu)的擾動增長。連續(xù)性方程給出了線性理論下速度場v(x)與密度場δ(x)之間的關(guān)系：

圖1 2dFGRS 巡天中測到的二維兩點相關(guān)函數(shù)[23]

其中，γ是增長指數(shù)[35]，它是檢測引力模型的重要指標，例如，ΛCDM 模型預測γ= 0.55，而DGP (Dvali-Gabadadze-Porrati)引力模型[36]和f(R)引力模型則分別給出γ= 0.68 和γ= 0.42。因此，我們可以用結(jié)構(gòu)增長率隨紅移的演化去檢驗引力模型。目前，該方法已經(jīng)被成功地應用于相關(guān)的巡天數(shù)據(jù)上，如6dFGS[3], WiggleZ[12], VIPERS[13]和SDSS[14–20]等。

2.2 紅移畸變模型

紅移畸變效應可以被用來有效限制結(jié)構(gòu)增長率，為此，人們不僅需要精確測量紅移畸變信號，還需要精確的模型描述。只有把兩者結(jié)合起來，才能給出宇宙學參數(shù)擬合限制，因此如何定量描述紅移畸變效應是一個重要問題。一般來說，紅移畸變信號可以用相關(guān)函數(shù)或者功率譜來表達。兩者在理論上是等價的，但由于功率譜模型的數(shù)學形式簡單，且物理圖像清晰，因此，我們將主要討論功率譜模型。表1 列舉了18 個準線性尺度下的紅移空間功率譜模型。接下來我們將主要討論這些模型[12]。

表1 準線性尺度下的紅移空間功率譜模型列舉[12]

2.2.1 密度和速度功率譜

本動速度使星系密度擾動場δg產(chǎn)生變化。在傅里葉空間，紅移空間的擾動場可表達為：

其中，k為物質(zhì)密度場在傅里葉空間下的波數(shù)，θ(k)是本動速度Vpec(共動速度量綱)的散度θ=?·u的傅里葉變換，μ是傅里葉模與視線方向夾角的余弦。式(5)中，我們假設，星系間隔距離遠小于星系相對于觀測者的距離，δg和θ都是較小的，速度場u是無旋的，且連續(xù)性方程成立。在這種情況下，紅移空間星系功率譜可以表達為：

其中，Pgg(k),Pgθ(k)和Pθθ分別是各向同性的星系-星系，星系-θ和θ-θ的功率譜。為簡單起見，以下把Pθθ表述為速度功率譜(實際上是速度散度場的功率譜)。根據(jù)線性擾動理論，

其中δ(k)是δ(x)的傅里葉轉(zhuǎn)換。假設一個與尺度無關(guān)的線性偏袒參數(shù)b，則δg=bδ,Pgg=b2Pδδ,Pgθ=?bfPδδ,Pθθ=f2Pδδ，其中Pδδ是物質(zhì)功率譜。那么，式(6)可以變?yōu)椋?/p>

式(8)就是著名的Kaiser 公式[4]，其中β=f/b，表征著紅移畸變各向異性的程度，另外也假設了星系與物質(zhì)之間沒有速度偏差[45]。

數(shù)值模擬和觀測都表明，式(8)并不適用于描述準線性或更小尺度上的星系成團性。在k >0.02h?1Mpc 時，模型預測與觀測結(jié)果有顯著偏離[46,47]，原因就在于小尺度的非線性結(jié)構(gòu)增長導致式(7)失效[48]。非線性演化表明，給定的密度擾動δ產(chǎn)生的一定范圍內(nèi)的θ值，平滑了紅移空間密度擾動場，導致θ功率譜衰減。若不考慮這種非線性衰減，就會引起系統(tǒng)性誤差，故在約束線性結(jié)構(gòu)增長率f時，有必要引入非線性修正方法。

2.2.2 經(jīng)驗性的非線性速度場模型

為了描述非線性紅移畸變效應，標準的流注模型(streaming model)中，在式(6)的基礎上，乘上一個衰減因子F，表示其與非相關(guān)星系小尺度上運動的卷積，

衰減因子通常有兩種表達形式：洛倫茲形式F=[1+(kσvμ)2]?1和高斯形式F=exp[?(kσvμ)2]，它們分別表示指數(shù)和高斯卷積形式。這兩種表達形式中都引入了一個額外變量σv。有研究[24,49]表明，用洛倫茲形式可以更好地擬合數(shù)據(jù)。在實際應用時，若功率譜是根據(jù)線性理論計算的，則采用表1 中的模型1：

若是非線性功率譜，則采用模型2：

經(jīng)驗模型起源于坍縮結(jié)構(gòu)里的位力化運動，但F的形式和σv的數(shù)值強烈依賴于一些細節(jié)描述，如星系類型、暗暈質(zhì)量和衛(wèi)星星系比例等。

2.2.3 擾動理論方法

另一種方法是用擾動理論來刻畫準線性尺度上的紅移空間星系成團性。與經(jīng)驗模型相比，這種方法最大的優(yōu)點是物理解釋清晰，但不足之處是適用尺度有限，且依賴于擾動膨脹模式。最常用的擾動理論有標準擾動理論(standard perturbation theory, SPT)和重整化的擾動理論(renormalized peturbation theory, RPT)。

非線性假設可能會改變紅移空間功率譜對μ的依賴性。Scoccimarro[50]在2004年建議使用準線性密度和速度功率譜：

其中，

式(12)中的功率譜Pgg, Pgθ和Pθθ都可以通過擾動理論生成，其衰減因子與式(9)中F的高斯形式相同，但描述的物理尺度不同，這里是嘗試刻畫準線性尺度的功率譜，而不是式(9)中較小的位力尺度，當然也允許加上一個小尺度的衰減因子。表1 中模型3—10 對應著SPT或RPT 理論與不同衰減模式組合的模型。

最后要介紹的擾動理論方法是Matsubara[41]以及Taruya 等人[42]提出的，他們將準線性尺度的擾動理論模型對μ的依賴精度提高到μ6，表達式如下：

其中，n為級數(shù)展開的序列標號，系數(shù)An(k)是f的方程。Matsubara 用的是全角度依賴的SPT (模型11—12)；Taruya 等人的模型則加入了來自密度場和速度場高階耦合的功率譜信息(模型13—15)。

2.2.4 數(shù)值模擬擬合方法

暗物質(zhì)n體數(shù)值模擬也可以用來校正準線性尺度下的Pδδ(k),Pδθ和Pθθ的功率譜擬合形式。這樣做的最大優(yōu)點就是不受尺度限制，可以得到比擾動理論更多尺度上的可靠信息，缺點是效率太慢，計算耗時，且不能保證對不同宇宙學參數(shù)的普適性。

Smith 等人[43]2003年給出了一個后來被廣泛采用的擬合非線性功率譜Pδδ的方法。Jennings 等人[44]2011年提出了Pδθ和Pθθ數(shù)值模擬校正的擬合形式，這種形式可結(jié)合不同的衰減模式，具體見表1 中的模型16—18。

3 宇宙結(jié)構(gòu)增長率的實測進展

通過對紅移畸變的觀測，人們可以獲取星系本動速度的統(tǒng)計特性。這是一種探測宇宙結(jié)構(gòu)增長歷史的有效方法。由于星系更多地被認為是背景物質(zhì)分布的示蹤粒子，因此，傳統(tǒng)的方法需要加入偏袒參數(shù)b，如測量組合參數(shù)β=f/b。然而，由于背景分布無法直接觀測，故很難直接提取出宇宙結(jié)構(gòu)增長信息。為了避免估算b所引起的不確定性，從2009年起，大部分結(jié)構(gòu)增長率的測量都是以fσ8為參數(shù)組合進行約束的[7,51]。這樣做的最大優(yōu)點是不需要知道b或σ8以提取f的信息，而只需要用fσ8就可以檢驗引力模型。

本章將從觀測數(shù)據(jù)的角度，總結(jié)近幾年基于紅移畸變效應測量fσ8的研究進展。我們首先介紹近幾年主要的光譜紅移巡天項目，如WiggleZ, 6dFGS, VIPERS 和SDSS。這些巡天觀測給出了宇宙中不同天區(qū)和不同深度的星系分布，為探索宇宙提供了豐富的星系樣本。表2 給出了相關(guān)巡天的星系樣本，列舉了樣本的紅移范圍、天區(qū)所占面積和星系數(shù)量等信息。人們利用這些樣本完成了不同紅移處fσ8的測量。我們將著重介紹這部分測量的方法和結(jié)果，總結(jié)出一個2009年以來所發(fā)表的較為完整的fσ8測量樣本[52]，并討論所得結(jié)果與ΛCDM模型整體的符合程度。

表2 紅移巡天的星系樣本

3.1 WiggleZ暗能量巡天

WiggleZ 暗能量巡天[53]是在紫外波段(UV)對發(fā)射線星系的大尺度光譜紅移巡天，它所利用的是3.9 m 口徑的英澳望遠鏡(Anglo-Australian Telescope)。該望遠鏡的巡天體積相當于1 Gpc3的宇宙體積，天區(qū)覆蓋面積為1 000 deg2，近紫外處極限流量小于22.8 mag。該巡天的主要目標是探測重子聲波震蕩，測量宇宙的膨脹速率和結(jié)構(gòu)增長率，其探測紅移范圍為0.2

2011年，Blake 等人[12]發(fā)表了基于WiggleZ 巡天的測量結(jié)果。他們利用紅移畸變星系功率譜模型精確測量的0.1

為了擬合觀測功率譜，Blake 等人測試了表1 中所有18 種不同的功率譜模型，其中包括經(jīng)驗模型、擾動理論模型和n體模擬校正的擬合模型。他們最終發(fā)現(xiàn)，Jennings 等人[46]的模型(模型16)總是能產(chǎn)生最佳擬合值，在紅移為0.22, 0.41, 0.6, 0.78 處，fσ8分別為0.42±0.07,0.45±0.04,0.43±0.04,0.38±0.04。這些結(jié)構(gòu)增長率的測量結(jié)果整體上與廣義相對論框架下?m=0.27 的平直ΛCDM 宇宙學的預測結(jié)果相一致。

3.2 6dFGS

6dFGS (6 degree Field Galaxy Survey)[54,60,61]是一個近紅外紅移巡天，天區(qū)覆蓋面積達17 000 deg2，大約覆蓋了南天的4/5，平均完備度是92%，紅移最深處為z= 0.1。它的最終數(shù)據(jù)[54]在2009年釋放。它是當時最大的近鄰宇宙紅移巡天，所觀測到的星系數(shù)有125 071 個。近紅外測光選擇是基于來自2MASS XSC(Two Micron All-Sky Survey-Extended Source Catalog)樣本的總星等。6dFGS 的光譜紅移是通過英國的施密特望遠鏡多天體攝譜儀在2001—2006年間觀測得來的。該樣本的有效體積與2dFGRS[30,62]相當，稍小于SDSS DR7[63]主樣本的1/3。

2012年，Beutler 等人[3]給出了基于6dFGS 的測量結(jié)果，這是當時所有測量中紅移最低(z= 0.067)的測量。由于Ia 型超新星爆炸、宇宙微波背景輻射和重子聲波震蕩觀測可以用來探測宇宙加速膨脹的現(xiàn)象，但它們不能區(qū)分出膨脹背后的物理機制是暗能量驅(qū)動，還是引力修正問題，因此，需要對fσ8進行測量。然而，對于ΛCDM 模型和大部分引力修正模型，低紅移結(jié)構(gòu)增長的測量結(jié)果比高紅移的更容易被用來檢驗模型，因為在高紅移處，物質(zhì)密度主導著宇宙的膨脹和擾動的增長。隨著宇宙的膨脹，在低紅移處它們退簡并，轉(zhuǎn)變?yōu)榘的芰恐鲗蛎?，而物質(zhì)密度更多地主導擾動增長。因此，作為最大的低紅移星系巡天之一，6dFGS 為測量結(jié)構(gòu)增長率提供了一個超低紅移的數(shù)據(jù)樣本，以有效地檢驗宇宙尺度引力模型。另一方面，星系成團性測量通常需要考慮AP (Alcock-Paczynski)效應，即在錯誤的宇宙學假設下估算星系距離，會使星系成團性測量偏離各向同性。在低紅移處，AP 效應非常小，測量結(jié)果基本獨立于宇宙學模型的假設。

Beulter 等人測量了6dFGS 的二維兩點相關(guān)函數(shù)，并利用紅移畸變模型擬合限制參數(shù)，結(jié)果顯示，f(zeff)σ8(zeff)= 0.423±0.055,bσ8(zeff)= 1.134±0.073，其中有效紅移zeff= 0.067。需要注意的是，與高紅移的限制不同，低紅移的限制并不依賴于宇宙膨脹歷史的假設。

3.3 VIPERS

VIPERS (VIMOS Public Extragalactic Redshift Survey)的星系樣本來源于CFHTLSWide (Canada-France-Hawaii Telescope Legacy Survey Wide)的光學測光目錄，其天區(qū)覆蓋面積為23.5 deg2，分為CFHTLS 場中的W1 和W4 兩個區(qū)域。通過基于(r ?i)和(u ?g)的顏色預篩選，極限視星等被限制在22.5 mag，因此，紅移在0.5

VIPERS 巡天的首要目標是精確測量紅移z= 1 附近的宇宙結(jié)構(gòu)增長率， 尤其側(cè)重于檢驗高紅移處的宇宙膨脹模式，填補高紅移測量的空白。de la Torre 等人[13]在2013年發(fā)表了首批VIPERS 數(shù)據(jù)。他們 的測量結(jié)果為，在紅移z= 0.8 處，fσ8= 0.47±0.08。在2017年，de la Torre 等人[67]發(fā)表了VIPERS 的最終觀測數(shù)據(jù)的測量結(jié)果。他們結(jié)合紅移畸變模型和星系-星系弱引力透鏡，測量了紅移z= 0.6 和z= 0.86 兩處 的fσ8，其結(jié)果分別為fσ8= 0.48±0.12 和fσ8= 0.48±0.10。同時，Pezzotta 等人[68]采用不同的紅移畸變模型，也得出，紅移在z= 0.6 和z= 0.86 的測量結(jié)果分別為fσ8= 0.55±0.12 和fσ8=0.40±0.11。另外，Hawken 等人[69]采用空洞-星系互相關(guān)模型得出，紅移在z=0.727的結(jié)果為

3.4 SDSS

SDSS(Sloan Digital Sky Survey)[31]利用的是APO(Apache Point Observatory)的2.5 m口徑光學望遠鏡。SDSS 是目前世界上最大的光譜紅移巡天觀測，它為宇宙學的分析提供了強有力的數(shù)據(jù)來源。在SDSS 的前兩個階段(一般稱為SDSS-I 和SDSS-II)，有將近百萬個星系的光譜紅移被測量[63]。BOSS (Baryon Oscillation Spectroscopic Survey)[70]是SDSSIII[71]中的大尺度光譜觀測項目，已完成對視星等i大于19.9 mag，數(shù)量超過1.5×106的星系，以及視星等g大于22 mag，數(shù)量超過1.5×105的類星體的光譜測量。SDSS-IV 開始于2014年7月，其目標是對三種不同任務的項目進行觀測，其中，APOGEE/APOGEE-2(APO Galactic Evolution Experiment)[72]觀測300 000 顆恒星的高精度紅外光譜，以研究銀河系的演化歷史和化學豐度；MaNGA (Mapping Nearby Galaxies at APO)[73]利用BOSS 的攝譜儀測量近10 000 個星系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)；eBOSS(Extended Baryon Oscillation Spectroscopic Survey)則是SDSS-IV 中新的宇宙學巡天項目。

SDSS-I 和SDSS-II 給出了兩種觀測樣本：r 波段選擇的MGS (Main Galaxy Sample)[74]和較高紅移的LRG (Luminous Red Galaxies)樣本[75]。SDSS-III 中的BOSS 巡天，給出了一個中值紅移為z ≈0.57 的CMASS 樣本和一個中值紅移為z ≈0.37 的LOWZ 樣本，以擴充SDSS-II 的LRG 樣本到更暗的星系，從而使星系數(shù)密度增加將近3 倍。SDSS-IV 則將把LRG 樣本擴展到更大的紅移處，并同時觀測類星體和發(fā)射線星系。

SDSS 是在u, g, r, i, z 共5 個波段進行觀測，并在具體選樣時會根據(jù)紅移、極限視星等和顏色等進行分類。MGS 樣本一般可從NYU-VAGC (New York University Value-Added Galaxy Catalog)中獲得，如Ross 等人[56]只選取北天的完備度大于0.9 的6 813 deg2天區(qū)，其紅移范圍為0.07< z <0.2，r 波段絕對星等為Mr< ?21.2，顏色g ?r >0.8。他們最終獲得了包含63 163 個星系的樣本。LRG 樣本是針對亮紅星系的選樣，如Yamamoto 等人[57]選取的紅移范圍是0.16< z <0.47，當只選取北天天區(qū)時，其天區(qū)覆蓋面積約為7 150 deg2，對應的巡天體積近1.3h?3Gpc3，星系數(shù)量達100 157。在BOSS DR12[58]中，CMASS的紅移范圍為0.43< z <0.7，極限視星等r <22.5 mag，天區(qū)覆蓋面積為9 376 deg2，對應的巡天體積相當于10.8 Gpc3的宇宙體積，包含777 202 個星系; LOWZ 的紅移范圍為0.15< z <0.43，天區(qū)覆蓋面積為8 337 deg2，巡天體積相當于3.7 Gpc3的宇宙體積，星系數(shù)量為361 762。

3.4.1 基于LRG 和MGS 樣本的測量

2012年，Samushia 等人[76]給出了基于SDSS-LRG 數(shù)據(jù)的測量結(jié)果。他們側(cè)重于觀測上的測量問題，研究各種影響大尺度成團性的測量因素，包括廣角(wide-angle)修正、樣本邊界和星系的徑向分布模型等。

廣角修正問題是指，如果星系對相對于觀測者所張的角度非常大，那么，星系對之間的距離就會足夠大，以致破壞平面平行近似，使得紅移空間的相關(guān)函數(shù)和功率譜會依賴于額外的變量張角α。而復雜的巡天邊界會讓星系對分布更多地依賴于r,μ,α這三個變量，這些依賴關(guān)系，特別是對μ的依賴關(guān)系會影響相關(guān)函數(shù)極矩的測量。超大尺度的紅移畸變效應并不能為數(shù)據(jù)分析提供太多信息，因為測量信噪比在超過100h?1Mpc 的尺度上會變得很低。為減少小尺度的非線性效應的影響，星系的徑向分布需要被更好地描述，這樣，更大尺度上的成團信息才能被利用[77,78]，宇宙學參數(shù)才會得到更精確的限制。更重要的是，一些物理過程只保留在大尺度成團性上，例如，宇宙的非高斯初始條件有可能在大尺度的星系成團性中被探測到[79,80]。

在考慮了上述效應后，Samushia 等人利用模擬數(shù)據(jù)進行了詳細測試，以評估哪些因素會使真實數(shù)據(jù)偏離平面平行近似下線性的紅移畸變模型。他們的結(jié)果顯示，對于SDSS-LRG樣本，廣角效應比較小，在200h?1Mpc 內(nèi)可以完全忽略；μ依賴的非各向同性效應也比較小，但它比廣角效應要大些，會在未來巡天觀測中產(chǎn)生重要影響；大尺度上，超過60h?1Mpc 的測量信噪比將會很低，對結(jié)果精度的提高不會有實質(zhì)幫助。最終，Samushia等人基于SDSS-LRG 樣本測量得到，在紅移z分別為0.25 和0.37 處的結(jié)構(gòu)增長率fσ8分別為0.351 2±0.058 3 和0.460 2±0.037 8。

2015年，Howlett 等人[20]發(fā)表了基于SDSS-DR7-MGS 樣本的測量結(jié)果。他們選擇了紅移z <0.2 的星系，測量了星系的相關(guān)函數(shù)，用高斯流注拉格朗日擾動理論模型(Gaussian streaming lagrangian perturbation theory)[81]擬合了相關(guān)函數(shù)的單極矩和四極矩，并通過了模擬樣本的精度測試。他們的結(jié)果顯示，紅移z=0.15 處，

3.4.2 基于CMASS 和LOWZ 樣本的測量

BOSS 樣本是目前天區(qū)面積和紅移深度綜合考慮下最好的星系樣本，也是人們分析紅移畸變效應，測量結(jié)構(gòu)增長率最多的樣本。BOSS 樣本一般分為高紅移的CMASS 和低紅移的LOWZ 兩個樣本，其中CMASS 的有效紅移是z=0.57，LOWZ 的有效紅移是z=0.32。下面主要參考Li 等人[82]的工作，扼要介紹這兩個樣本的fσ8測量，并重點討論數(shù)據(jù)范圍、方法模型和測量結(jié)果。需要說明的是，下面列舉的工作中，有些只測量了其中一個樣本，有些則同時測量了兩個樣本。

(1)Samushia 等人[18]分析了BOSS-DR11-CMASS 星系樣本，測量了紅移空間的共動距離s在(24～152)h?1Mpc 范圍的相關(guān)函數(shù)的單極矩和四極矩，并利用流注模型計算了理論上的相關(guān)函數(shù)。最終結(jié)果顯示，若擬合方法包含AP 效應，則fσ8= 0.441±0.044；若AP效應是固定的，則fσ8=0.447±0.028。

(2)S′anchez 等人[83]分析了BOSS-DR11-CMASS/LOWZ 的2 個樣本，測量了s >40h?1Mpc 的角平均相關(guān)函數(shù)以及二維兩點相關(guān)函數(shù)平均值特征量，并從模型上考慮了非線性演化、紅移畸變和星系偏袒，最終得到，CMASS 的測量結(jié)果為fσ8= 0.417±0.045；LOWZ 的測量結(jié)果為fσ8=0.48±0.10。

(3)Reid 等人[17]針對小尺度上的數(shù)據(jù)，利用BOSS-DR10-CMASS 樣本，測量了(0.8～32)h?1Mpc 尺度上的投影兩點相關(guān)函數(shù)和各向異性成團性，并與紅移依賴的暗暈占據(jù)模型(HOD)進行擬合限制，得出fσ8=0.450±0.011。

(4)Alam 等人[19]與上述Samushia 等人分析的是同樣的樣本和測量數(shù)據(jù)，只是尺度選擇范圍改為(30～126)h?1Mpc，采用的是卷積拉格朗日擾動理論和高斯流注模型擬合限制。他們的結(jié)果顯示，fσ8=0.462±0.041。

(5)Chuang 等人[84]分析了BOSS-DR12-CMASS 樣本，測量了s在(55～200)h?1Mpc范圍內(nèi)的單極矩和四極矩相關(guān)函數(shù)，其結(jié)果為fσ8=0.488±0.060。

(6)Gil-Mar′?n 等人[85]分析了BOSS-DR11-CMASS 的單極矩功率譜和雙譜信號(三點相關(guān)函數(shù)的傅里葉對)，所測量的譜波數(shù)最大到kmax= 0.17hMpc?1，得出的最終限制結(jié)果為fσ8=0.504±0.069。此結(jié)果是基于假設的ffid=0.777，且沒有包含AP 效應。

(7)Gil-Mar′?n 等人[86]測量了BOSS-DR12-CMASS/LOWZ 數(shù)據(jù)的單極矩和四極矩功率譜，所測量的譜波數(shù)最大到kmax=0.24hMpc?1，紅移畸變模型是2.2.3 節(jié)所介紹的Taruya等人[42]的模型。對于CMASS，他們測得的包含AP 效應的結(jié)果為fσ8= 0.444±0.038，沒有AP 效應的結(jié)果為fσ8= 0.436±0.022；對于LOWZ，測得的包含AP 效應的結(jié)果為fσ8=0.394±0.062，沒有AP 效應的結(jié)果為fσ8=0.485±0.044。

(8)Gil-Mar′?n 等人[87]測量了上述樣本的功率譜雙譜信號，同樣給出了擬合限制。他們所測量的最大譜波數(shù)為kmax=0.22hMpc?1。結(jié)果顯示，基于CMASS 樣本，包含AP 效應時，fσ8= 0.417±0.036；不包含AP 效應時，fσ8= 0.432±0.022。對于LOWZ 樣本，包含AP 效應時，fσ8=0.460±0.071；不包含AP 效應時，fσ8=0.458±0.047。

(9)Beutler 等人[15]測量了BOSS-DR11-CMASS 的單極矩和四極矩功率譜。他們采用了Taruya 等人[42]模型，所測量的最大譜波數(shù)為kmax= 0.20hMpc?1。結(jié)果顯示，當包含AP 效應時，fσ8=0.419±0.044。

(10)Li 等人[82]測量了BOSS-DR11-CMASS 的紅移空間二維相關(guān)函數(shù)，并通過傅里葉變換獲得對應的二維功率譜。他們所測量的最大譜波數(shù)為kmax=0.20hMpc?1。他們采用的是Zhang 等人[88]的紅移畸變模型，其最終結(jié)果顯示，不考慮AP 效應時，fσ8=0.438±0.037。

以上是基于BOSS-CMASS/LOWZ 樣本的測量結(jié)果，其中前5 項是基于相關(guān)函數(shù)的測量，第6—9 項是有關(guān)功率譜的測量。圖2 為CMASS 樣本測量結(jié)果之間的對比[82]，及其與假設的WMAP9[89]和Planck15[90]參數(shù)下的廣義相對論ΛCDM 模型進行的比較。結(jié)果顯示，紅移畸變的測量結(jié)果之間基本自洽，且在1σ范圍內(nèi)，測量結(jié)果與ΛCDM 模型的預測相符。

圖2 CMASS 樣本的測量結(jié)果[82]，及其與假設的WMAP9[89] 和Planck15[90] 參數(shù)下的廣義相對論ΛCDM 模型的比較

3.5 fσ8 數(shù)據(jù)樣本庫

最后介紹由Kazantzidis 和Perivolaropoulos[52]構(gòu)造的fσ8數(shù)據(jù)樣本庫。他們總結(jié)了2009—2018年所發(fā)表的有關(guān)fσ8的測量結(jié)果，構(gòu)建了一個較為完整但仍有待更新的fσ8數(shù)據(jù)樣本，如表3 所示。表中包含了測量所用的星系樣本、結(jié)果、誤差、參考文獻和發(fā)表日期等信息。需要說明的是，這個數(shù)據(jù)庫總體來說是目前最全的，但仍不完整，如缺少3.4.2 節(jié)所介紹的部分結(jié)果。

表3 2009—2018年所發(fā)表的部分研究工作的fσ8 數(shù)據(jù)集[52]

(續(xù)表)

基于這樣的數(shù)據(jù)庫，Kazantzidis 等人畫出了fσ8隨紅移的分布圖，如圖3 所示。圖中紅色點對應最早期發(fā)表的20 個結(jié)果，橘色點對應近期發(fā)表的20 個結(jié)果，綠色虛線和紅色虛線分別對應WMAP7/ΛCDM 和Planck15/ΛCDM 的擬合結(jié)果。整體上來看，數(shù)據(jù)點的趨勢與ΛCDM 模型預測的相吻合，但誤差和彌散性較大。Kazantzidis 等人也分析了?0m-σ8參數(shù)空間的最佳擬合值與Planck15/ΛCDM 預測值的符合程度，發(fā)現(xiàn)對于近兩三年的測量結(jié)果，兩者能在1σ范圍內(nèi)相符合；對于更早期的結(jié)果，兩者在3σ ～5σ誤差范圍內(nèi)相符合。其原因可能是，近期的測量較側(cè)重于高紅移的測量，因此，誤差較大。此外，物質(zhì)主導期不同引力模型的預測值相近，區(qū)分度不大。因此，今后需要更多低紅移測量。

圖3 fσ8 隨紅移z 的分布[52]

4 總結(jié)與展望

紅移畸變是紅移巡天中星系空間分布的重要現(xiàn)象，也是宇宙學研究的重要工具，可以為探測暗能量和檢驗宇宙學尺度上的引力模型提供速度場的信息。隨著宇宙學數(shù)值模擬精度的提高，對紅移畸變效應的描述也越來越精確，已達到準線性和非線性尺度。目前，不同天區(qū)的一系列星系紅移巡天項目已經(jīng)完成觀測，如6dFGS, WiggleZ, VIPERS 和SDSS 等。這些觀測為人們提供了詳細的星系空間分布數(shù)據(jù)。人們據(jù)此測量了星系的相關(guān)函數(shù)和功率譜，提取到了精確的紅移畸變信號，并通過模型擬合限制出了一批不同紅移處的fσ8的估值。然而，由于紅移畸變模型的選擇性太多，不同方法給出的fσ8測量結(jié)果彌散性大，且精度小，導致目前的測量仍不能有效地約束現(xiàn)有的引力模型[52]，因此需要精度更高，且計算耗時較少的模型，以滿足未來巡天數(shù)據(jù)的需求。DESI 和PFS 等第四代暗能量巡天項目，將提供更大的星系樣本，因此，限制宇宙學參數(shù)的精度將會達到新的量級，宇宙學尺度上的引力模型也有望得到進一步確認。

本文主要討論了基于紅移畸變測量宇宙結(jié)構(gòu)增長率的研究進展。我們介紹了紅移畸變模型的發(fā)展，內(nèi)容包括線性效應、非線性效應和高階項誤差等。在觀測上，我們介紹了幾個已完成的星系紅移巡天項目，包括6dFGS, WiggleZ, VIPERS 和SDSS，它們成功地刻畫了宇宙中從低紅移到中高紅移的星系空間分布，其中6dFGS 的天區(qū)最大，但它只側(cè)重于低紅移范圍，z <0.1；VIPERS 的天區(qū)最小，但它的觀測深度較深，側(cè)重于中高紅移范圍，0.5

致謝

感謝郭宏研究員提供的有益建議，感謝李昭洲和唐林同學的幫助。