張德春，魯 麗，李 鵬，楊翊仁

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610031)

0 引 言

目前，同軸圓柱殼在反應(yīng)堆結(jié)構(gòu)中得到廣泛的應(yīng)用，而其在水中的振動(dòng)頻率是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中重要的指標(biāo)，科研人員對(duì)此做了大量研究[1-9].例如，Krajcinov-

ic[5]計(jì)算了無限長同軸圓柱殼在水中的振動(dòng)頻率，并分析了間隙對(duì)頻率的影響；駱東平[6]研究了任意邊界圓柱殼振動(dòng)問題，得到了圓柱殼頻率和振型的精確表達(dá)式；Naumann[7]假設(shè)圓柱殼徑向振型為梁振型，計(jì)算并討論了無加筋和加筋圓柱殼的振動(dòng)頻率；Kwak[8]對(duì)部分浸在無限大域和環(huán)形域流體中的懸臂圓柱殼頻率進(jìn)行了分析.綜合分析可知，目前解決圓柱殼振動(dòng)的思路有兩種：其一是從殼體的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，通過時(shí)頻域變換或模態(tài)展開及伽遼金離散來求解殼體的振動(dòng)頻率，該方法比較直觀，但計(jì)算過程比較復(fù)雜；其二是先計(jì)算結(jié)構(gòu)的能量，再通過變分的方法對(duì)殼體的振動(dòng)進(jìn)行分析，該方法計(jì)算過程簡單，但在考慮流體黏性作用時(shí)該方法不易列出能量方程，故只適用于無黏流體.在些基礎(chǔ)上，本研究考慮內(nèi)外殼的相互作用，通過能量方法對(duì)浸入在理想流體中的懸臂同軸圓柱殼的振動(dòng)頻率進(jìn)行了分析和討論.

1 力學(xué)模型及計(jì)算方法

作為研究對(duì)象的同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)如圖1所示，其結(jié)構(gòu)一端固定一端自由，且完全浸沒在靜止流體中.其內(nèi)殼的密度、彈性模量、泊松比、厚度、中面半徑分別為ρ1、E1、ν1、h1；外殼的彈性模量、泊松比、厚度、中面半徑分別為ρ2、E2、ν2、h2；內(nèi)外殼的長度均為L.流體考慮為無黏不可壓縮的理想流體，其密度為ρF.

圖1液體中同軸圓柱殼示意圖

對(duì)圓柱殼體，假設(shè)其徑向、周向、軸向的位移分別為u，v，w，則圓柱殼體的動(dòng)能和勢能分別為，

(1)

(2)

對(duì)于所研究的殼體，若h?R，則認(rèn)為該殼體為薄殼.對(duì)于薄殼，可忽略殼體的橫向剪切變形、橫向擠壓變形和橫向擠壓應(yīng)力，由此可推導(dǎo)出Flügge殼體本構(gòu)關(guān)系[10].

基于該本構(gòu)關(guān)系方程可得出殼體勢能為，

(3)

應(yīng)用文獻(xiàn)[4]的模態(tài)展開法，進(jìn)一步假設(shè)，

(4)

式中，Xm(x)為第m階梁振型.對(duì)于懸臂梁，有，

Xm(x)=(cos(βmx)-ch(βmx))+

(5)

式中，βm為cos(βl)ch(βl)=-1的第m個(gè)解.

將式(4)分別代入到式(2)和式(3)中可得，

(6)

式中，x1=[ABC]T，

參數(shù)E、F、G、H為與振型有關(guān)的常值，分別為，

對(duì)于外殼，同樣假設(shè)其振型為，

(7)

代入到式(2)和式(3)中得到，

(8)

需要注意的是，由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，n=n′，且Φ只能取0和π，其分別意味著同相和反相.

2 流體附加質(zhì)量

對(duì)于本研究考慮的理想流體，設(shè)其勢函數(shù)為，φ=y(x)f(r)cos(nθ)eiωt，其滿足拉普拉斯方程，

(9)

變換上式，得，

(10)

同時(shí)，考慮端部的邊界條件，

(11)

(12)

式中，c(t)由內(nèi)外殼體的端部運(yùn)動(dòng)條件確定，設(shè)，

(13)

經(jīng)推導(dǎo)，方程(10)的解為，

(14)

殼體上的邊界條件是，

(15)

由式(4)、(15)，可得到，

y(x)=Xm(x)

(16)

對(duì)于區(qū)域II的流體，其勢函數(shù)只與內(nèi)殼運(yùn)動(dòng)有關(guān).根據(jù)式(16)可得到，

(17)

對(duì)于區(qū)域I的流體，其勢函數(shù)可寫為，

φI=φIi+φIe

(18)

式中，φIi表示內(nèi)殼振動(dòng)外殼不動(dòng)引起的流體勢，φIe表示外殼振動(dòng)內(nèi)殼不動(dòng)引起的流體勢，由式(16)，其二者分別為，

(19)

(20)

獲取流體速度勢后，計(jì)算得到流體動(dòng)能為，

(21)

其α、β、γ由數(shù)值計(jì)算得到.

由式(6)、式(8)和式(21)，計(jì)算得到系統(tǒng)動(dòng)能和勢能分別為，

式中，

對(duì)能量取變分，有δ(T-V)=0，即，

(22)

為使式(22)有非零解，必然有，

(23)

根據(jù)式(23)可求出耦合結(jié)構(gòu)的頻率.

3 間隙對(duì)頻率的影響

由式(23)可以看出，結(jié)構(gòu)頻率受外殼密度、彈性模量、厚度、半徑和長度以及流體的密度和間隙影響.本研究重點(diǎn)關(guān)注間隙對(duì)頻率的影響，暫不考慮其他因素的影響.

1)考慮內(nèi)外殼材料相同的情況，ρ=7 850 kg/m3，E=2e11 Pa,h1=h2=0.01 m,R1=1 m,R2=1.2 m,L=5 m.流體為水，ρF=1 000 kg/m3.

此情況下，計(jì)算的前五階振動(dòng)頻率與ANSYS的計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如表1所示.圖2給出了第一階模態(tài)計(jì)算結(jié)果.

圖2一階模態(tài)圖

從圖2可以看出，對(duì)于第一階模態(tài)，內(nèi)外殼環(huán)向的峰值均有2個(gè)，即n=2，而軸向無拐點(diǎn)，即m=1.另外，從圖2還可以看出，內(nèi)外殼的最大值位置并不相同，此意味著反相.依據(jù)此思路對(duì)前五階模態(tài)進(jìn)行分析即得到表1.

表1 頻率對(duì)比表

由表1可知，本方法得到的解與數(shù)值解吻合較好，表明了本方法的準(zhǔn)確性.

2)為分析間隙對(duì)頻率的影響，視間隙值為連續(xù)變量，計(jì)算其較低階頻率隨間隙變化情況如圖3所示.

圖3振動(dòng)頻率隨間隙變化圖

由圖3可以看出，懸臂同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率隨著間隙的減小而減小，而且減小得越來越劇烈.當(dāng)間隙接近0時(shí)，結(jié)構(gòu)的頻率也趨于0，這是因?yàn)閷?duì)于理想流體，當(dāng)間隙為0時(shí)附加質(zhì)量無窮大[13]的緣故.事實(shí)上，當(dāng)間隙很小時(shí)，理想流體的假設(shè)不再成立.

4 結(jié) 論

本研究提出了一種基于能量法求解懸臂同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)頻率的普適方法，并分析了間隙對(duì)水中同軸圓柱殼結(jié)構(gòu)頻率的影響.本方法也可以用于計(jì)算內(nèi)外殼支撐形式不同的情況，當(dāng)內(nèi)外殼長度不同時(shí)，選取適當(dāng)?shù)膭莺瘮?shù)，可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的頻率.