何東林,李煜彥

(隴南師范高等?？茖W校 數(shù)信學院,甘肅 隴南742500)

0 引言

半對偶模是環(huán)模理論和同調(diào)代數(shù)中的重要模類.許多作者先后對其進行了研究,并得到了很好的結(jié)論.[1-5]特別地,Holm和White[4]將半對偶模的概念推廣到任意一對結(jié)合環(huán)R和S上,他們利用這個概念研究了關(guān)于半對偶模的Auslander類和Bass類,而Auslander類和Bass類在Gorenstein同調(diào)理論中扮演著重要的角色.2011年Zhang和Ouyang引入了關(guān)于半對偶模C的FP-內(nèi)射模,即C-FP-內(nèi)射模.在此基礎(chǔ)上,Hu[7]利用C-FP-內(nèi)射模研究了弱Auslander類和Bass類.2017年Li等[8]介紹了強FP-內(nèi)射模,它是FP-內(nèi)射模的一個推廣.

自然而然地,可考慮關(guān)于半對偶模C的強FP-內(nèi)射模和強FP-投射模.

文中的環(huán)R和S均指有單位元的結(jié)合環(huán),模指酉模.用RM(MR)表示左(右)R-模M,SMR表示左S-右R雙模M.如果對任意有限表示模RN,都有Ext1R(N,M)=0,那么稱RM是FP-內(nèi)射模.[9]如果對任意FP-內(nèi)射模RM,都有Ext1R(Q,M)=0,那么稱RQ是FP-投射模.[9]用f I(R)和f P(R)分別表示所有FP-內(nèi)射左R-模和FP-投射左R-模組成的子范疇.如果對任意有限表示模RN,都有ExtiR≥1(N,M)=0,那么稱RM是強FP-內(nèi)射模.[8]用sfI(R)表示所有強FP-內(nèi)射左R-模組成的子范疇.

設(shè)x是左R-模范疇的一個子范疇.記⊥1x={RM|對任意X∈x有Ext1R(M,X)=0},⊥x={RM|對任意X∈x有ExtiR≥1(M,X)=0}.對偶地,可定義x⊥1和x⊥.設(shè)SCR是一個雙模.如果滿足以下條件：(1)SC具有有限生成投射左S-模分解;(2)CR具有有限生成投射右R-模分解;(3)S?End(CR)且R?End(SC);(4)ExtiR≥1(C,C)=0且ExtiS≥1(C,C)=0,則稱SCR是一個半對偶雙模.進而,如果對任意模SN和MR都有：若 HomS(C,N),則N=0;若,則HomR(C,M)=0,則M=0稱半對偶模SCR是忠實的.稱同時滿足條件(a1)(C,M)=0;為同構(gòu)的模RM組成的類為關(guān)于半對偶模SCR的Auslander類,記為AC(R).稱同時滿 足 條 件 (b1)ExtiS≥1(C,N)=0;(b2)ToriR≥1(C,HomS(C,N))=0;(b3) 自 然 同 態(tài) vN：C ?RHomS(C,N)→N為同構(gòu)的模SN組成的類為關(guān)于半對偶模SCR的Bass類,記為BC(S).下文中的模C均指半對偶雙模SCR.其余未涉及的概念和記號參見文獻[7]和[10].

1 定義和引理

定義1 設(shè)M和N是左R-模.如果存在強FP-內(nèi)射模SE,使得RM?RHomS(C,E),那么稱模M是強C-FP-內(nèi)射模.用sfIC(R)表示所有強C-FP-內(nèi)射左R-模組成的子范疇.進而,如果對任意M∈sfIC(R),都有ExtiR≥1(N,M)=0,那么稱模N是強C-FP-投射模.用sfPC(R)表示所有強C-FP-投射左R-模組成的子范疇.

E∈⊥1sfI(S)∩sfI(S)}.

引理1[6]設(shè)SM是FP-內(nèi)射模,則M∈BC(S).

引理2[4]設(shè)M和M'是左R-模,N和N'是左S-模,則(

1)如果M∈AC(R)且ToriR≥1(C,M')=0,那么

(2)如果N∈BC(S)且ExtiS≥1(C,N')=0,那么

ExtiS(N,N')=ExtiR(HomS(C,N),HomS(C,N')).

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)SCR為半對偶雙模,則

(1)模RU∈sfIC(R)當且僅當模RU∈AC(R)且C?RU是強FP-內(nèi)射左S-模.

(2)模US∈sfIC(S)當且僅當模US∈AC(S)且U?RC是強FP-內(nèi)射右R-模.

證明：(1)先證充分性.設(shè)模RU∈sfIC(R),則存在sE∈sf i(S),使得U?HomS(C,E).由引理1知E∈BC(S).從而有同構(gòu)

必要性顯然成立.

(2)證明過程與(1)類似.

定理2 設(shè)SCR為半對偶雙模且M是左R-模,則以下條件等價：

(1)RM強C-FP-投射模;

證明：(1)?(2)設(shè)RM強C-FP-投射模.令SN是一個忠實內(nèi)射S-模,則HomS(C,N)是強C-FP-投射模.從而有ExtiR≥1(M,HomS(C,N))=0.因為對任意i＞1有同構(gòu)

根據(jù)定理1可得HomS(C,U)∈AC(R).因此有同構(gòu)

又由引理2及HomS(C,U)∈sfIC(R)知.

N∈AC(R)且C?RN是強FP-內(nèi)射S-模.根據(jù)引理2可知,對任意i≥1有

因此RM是強C-FP-投射模.

定理3 設(shè)SCR為半對偶雙模且M是左R-模,則以下條件等價：

又因為模M∈sfPC(R)且HomS(C,E)∈sfIC(R),所以Ext1RHomS(C,N))=0.從而有Exts1(E,N)=0.由N的任意性可知E∈⊥1sfI(S).因此M ∈sfICFP(R).

由定理3易得如下推論.

推論1 設(shè)RM∈sfICFP(R)且N∈sfIC(R),則對任意i≥1,都有