余 敏，莫宏敏

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000)

線性互補問題是一類重要的優(yōu)化問題,被廣泛應(yīng)用于眾多實例中.由于在構(gòu)建線性互補問題模型的過程中,利用不同算法得到的解會存在一定的誤差,因此如何尋找特殊矩陣線性互補問題更小的誤差界變得尤為重要.在矩陣理論體系中,H-矩陣占有重要地位,學(xué)者們[1-2]研究了H-矩陣及其許多子類矩陣線性互補問題的誤差界.筆者擬在文獻[3]的基礎(chǔ)上,探討H-矩陣的子類Dashnic-Zusmanovich+矩陣線性互補問題解的誤差界.

1 預(yù)備知識

文中用Cn×n(Rn×n)表示n×n階復(fù)(實)矩陣集合，并設(shè)

定義1[4]設(shè)M=(mij)∈Rn×n,q∈Rn,尋找解x∈Rn,使其滿足

Mx+q≥0,x≥0,xT(Mx+q)=0.

該問題稱為線性互補問題,記為LCP(M,q).

定義2[5]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,M(A)=(mij),其中mii=|aii|,mij=-|aij|,i≠j,i,j∈N+,則稱M(A)為A的比較矩陣.

定義3[5]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若存在i∈N+,使得

|aij|(|ajj|-rj(A)+|aji|)>ri(A)|aji| ?j∈N+,j≠i,

則稱矩陣A是Dashnic-Zusmanovich矩陣.

定義4設(shè)A=(aij)∈Cn×n，它是對角元素為正的Dashnic-Zusmanovich矩陣,則稱A為Dashnic-Zusmanovich+矩陣.

引理1[5]若A=(aij)∈Cn×n，它是Dashnic-Zusmanovich矩陣,則它是非奇異H-矩陣.

引理2[6]設(shè)A是H-矩陣,則|A-1|≤(M(A))-1.其中：|A-1|=(|aij|)；A≤B指的是aij≤bij，i,j∈N+.

引理3[7]設(shè)M=(mij)∈Cn×n，它是Dashnic-Zusmanovich+矩陣.若A=I-D+DM，其中I是n×n的單位矩陣,D=diag(di),0≤di≤1,i=1,…,n,則A是H-矩陣.

為了方便,引入如下符號:

2 主要結(jié)果及其證明

設(shè)M是Dashnic-Zusmanovich+矩陣,則M是P-矩陣.由文獻[7]可以得到關(guān)于M的不等式

其中:I是n×n的單位矩陣;D=diag(di),0≤di≤1,i=1,…,n;x*是LCP(M,q)的解;r(x)=min{x,Mx+q}.

定理1若M=(mij)∈Cn×n，它是Dashnic-Zusmanovich+矩陣,則

證明根據(jù)Dashnic-Zusmanovich+矩陣的定義,令A(yù)=I-D+DM,其中D=diag(di),0≤di≤1,i=1,…,n,則

(1-di+di|mii|)(1-dj+dj|mjj|-djrj(M)+dj|mji|)>diri(M)dj|mji|.

(1)

由引理3可知A是H-矩陣,由引理2有|A-1|≤(M(A))-1,于是

‖A-1‖∞≤‖(M(A))-1‖∞,(M(A))-1≥O.

(2)

由(1),(2)式可知，

(1-di+di|mii|)yi≤diri(M)yj0+1,

(1-dj0+dj0|mj0j0|-dj0rj0(M)+dj0|mj0i|)yj0≤dj0|mj0i|yi+1，

即

若yi≥yj0,則

若yi

即

可以推出

故有

另一方面，

故有

于是

3 實例

令矩陣