蔡華龍

數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過(guò)它而找到正確的道路.”盡管數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化、層出不窮，其實(shí)當(dāng)我們著手去解決時(shí)，都會(huì)有一定的方向、一定的道路，而給我們引領(lǐng)方向、帶領(lǐng)道路的正是數(shù)學(xué)思想.

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有四類：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通過(guò)方程進(jìn)行研究.

1.函數(shù)的思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題.

2.方程的思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.方程的數(shù)學(xué)是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題.方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.

3.（1）函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對(duì)函數(shù)y=f（x），當(dāng)y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f（x）看作二元方程y-f（x）=0.函數(shù)問(wèn)題（例如，求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)求解，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，如解方程f（x）=0，就是求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

（2）函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f（x）>0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開(kāi)解不等式.

（3）數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問(wèn)題十分重要.

（4）函數(shù)f（x）=（ax+b）2（n∈ N *）與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比例系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)定理的問(wèn)題.

（5）解析幾何中的許多問(wèn)題，例如，直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.

（6）立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決.

例1?? f（x）和g（x）的定義域都是非零實(shí)數(shù)集，f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）= 1 x2-x+1 ，求 f（x） g（x） 的取值范圍.

分析? 已知兩個(gè)函數(shù)的和，求商，好像從未見(jiàn)過(guò).許多同學(xué)就是這樣的慣性思維，只看符號(hào)，不注重文字，其實(shí)這一題的關(guān)鍵在于“f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)”.看到這點(diǎn)，便馬上反應(yīng)過(guò)來(lái)，有f（x）=f（-x），g（x）=-g（x），又有f（-x）-g（-x）= 1 x2-x+1 再把-x換成x.到這里不能再把f（x），g（x）當(dāng)函數(shù)解析式來(lái)看了，知道了f（x）+g（x），f（x）-g（x）不就可以把它們當(dāng)成兩個(gè)未知數(shù)，去解一個(gè)二元一次方程組.

解? ∵f（x）為偶函數(shù)，g（x）是函數(shù)，

∴f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），

∴f（x）+g（x）=f（-x）-g（-x）= 1 x2-x+1 ，

∴f（x）-g（x）= 1 x2+x+1 . ①

又f（x）+g（x）= 1 x2-x+1 ， ②

∴ f（x）= x2+1 （x2+x+1）（x2-x+1） ，g（x）= x （x2+x+1）（x2-x+1） ，

∴ f（x） g（x） = x2+1 x =x+ 1 x .

① 當(dāng)x<0時(shí)，

f（x） g（x） =- -x- 1 x? ≤-2 （-x） 1 （-x）? =-2，

② 當(dāng)x>0時(shí)， f（x） g（x） =x+ 1 x ≥2 x· 1 x? =2.

綜上所述， f（x） g（x） 的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）.

函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)解題中用得比較多的思想，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中也會(huì)深有體會(huì).

二、數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.

2.實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;②函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系;③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等;⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義.

3.縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.這在解選擇題、填空題中更顯得優(yōu)越，注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野.

例2?? 設(shè)a，b分別是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及l(fā)og2a+2b的值.

分析? 很自然，當(dāng)我們看到題目，總迫不急待地把a(bǔ)，b代入原方程： log2a+a-3=0，2b+b-3=0，? 一看，兩式相加不就能構(gòu)造（log2a+2b）+（a+b）-6=0嗎？可是再也走不下去了.怎么辦？先觀察，兩方程只有l(wèi)og2x與2x不同，但不同中也有相近，log2x不是與2x互為反函數(shù)嗎？好！把log2x，2x放到一邊： log2x=3-x，2x=3-x，

這不是可以看成三個(gè)函數(shù)y1=log2x，y2=2x，y3=3-x，把它們放于圖像上，不就一目了然了嗎？

設(shè)y3與y1，y2，y=x圖像的交點(diǎn)分別為A，B，M;再看y3不也關(guān)于y=x對(duì)稱嗎？那么，A，B就都關(guān)于y=x對(duì)稱了，求點(diǎn)M的坐標(biāo)為? 3 2 ， 3 2? ，不是有 a+b=2× 3 2 =3，log2a+2b=2× 3 2 =3? 嗎？大功告成！

三、分類討論思想

1.分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置.

2.所謂分類討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答.實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略.

3.分類原則：分類對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論.

4.分類方法：明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類;逐類進(jìn)行討論，獲取階段性成果;歸納小結(jié)，得出結(jié)論.

5.含參數(shù)問(wèn)題的分類討論是常見(jiàn)題型.

6.注意簡(jiǎn)化或避免分類討論.

例3?? 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+|x-a|+1，x∈ R ，求f（x）的最小值.

分析? 題目中有絕對(duì)值，將其去掉，先要分x≥a，x≤a兩種，配方后，又要比較a與- 1 2 ， 1 2 的關(guān)系，分類中又要再分類.

解? （1）當(dāng)x≥a，則f（x）=x2+x-a+1= x+ 1 2? 2-a+ 3 4 .

① 若a≤- 1 2 ，則f（x）在 a， 1 2? 上遞減，在? 1 2 ，+∞ 上單調(diào)遞增，f（x）min=f - 1 2? = 3 4 -a;

② 若a>- 1 2 ，則f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min=f（a）=a2+1.

（2）當(dāng)x≤a，則f（x）=x2-x+a+1= x- 1 2? 2+a+ 3 4 .

① 若a≤ 1 2 ，則f（x）在[-∞，a）上單調(diào)遞減，f（x）min=f? 1 2? = 3 4 +a;

② 若a> 1 2 ，則f（x）在 -∞， 1 2? 上遞減，在? 1 2 ，a 上遞增，f（x）min=f（a）=a2+1.

綜上所述，當(dāng)x≥a時(shí)，若a≤- 1 2 ，則f（x）min= 3 4 -a，

若a>- 1 2 ，則f（x）min=a2+1;

當(dāng)x≤a時(shí)，若a≤ 1 2 ，則f（x）min= 3 4 +a，

若a> 1 2 ，則f（x）min=a2+1.

分類討論難免會(huì)有點(diǎn)煩瑣，看似一道題，卻相當(dāng)于幾道題的工作量.但當(dāng)目標(biāo)不明確時(shí)，分類討論就是開(kāi)門鑰匙了！

四、化歸與轉(zhuǎn)化思想

1.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行交換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題（相對(duì)來(lái) 說(shuō)，對(duì)自己較熟悉的問(wèn)題），通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.

2.轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化.等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性;在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證.

3.化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：

（1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決.

（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).

（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律.

（4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題解決.

（5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解.

在我們平時(shí)做題時(shí)，不能滿足于把題目求解出來(lái)，“知識(shí)誠(chéng)可貴，思想價(jià)更高”，我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)從題目中總結(jié)歸納，清楚什么樣的題型用什么數(shù)學(xué)思想.這樣從宏觀上了解掌握幾種數(shù)學(xué)思想.還要從微觀上記住幾道運(yùn)用某種或某幾種數(shù)學(xué)思想的典型例題，從宏觀上把握幾種題型.平時(shí)多練多記（筆記，腦記），那么學(xué)起數(shù)學(xué)，做起題目來(lái)，便能得心應(yīng)手了.