范卓然

【摘要】 在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)是相當(dāng)重要的知識點，同時也是學(xué)習(xí)的難點.通過數(shù)學(xué)思想方法的運用，可以更好地學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識.在文中主要就導(dǎo)數(shù)中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】 導(dǎo)數(shù);思想方法;函數(shù)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，領(lǐng)悟各種思想方法不但可以加強對知識的掌握而且能力也能得到很大的提升.在學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)”這一章中，數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用得到充分的體現(xiàn)，現(xiàn)將有關(guān)問題進(jìn)行歸納總結(jié).

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想.我們解決問題時常常涉及很多變量，利用函數(shù)的形式可表達(dá)出它們之間的關(guān)系，從而利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，這是函數(shù)的思想.建立量與量之間的關(guān)系，通過聯(lián)立方程組來求解，這是方程的思想.函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化，如函數(shù)y=f（x）與y軸的交點問題（零點問題）可以轉(zhuǎn)化為研究方程f（x）=0的根的存在問題.函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y=f（x），當(dāng)y>0時，可轉(zhuǎn)化為f（x）>0，借助于函數(shù)圖像和性質(zhì)解決有關(guān)問題.

例1?? 證明方程x- 1 2 sinx=0有唯一解.

分析? 方程的根的問題通常轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)的圖像與x軸的交點問題，唯一性可以通過驗證函數(shù)的單調(diào)性得到解 決.

解? 設(shè)f（x）=x- 1 2 sinx.當(dāng)x=0時，f（0）=0，所以x=0是方程x- 1 2 sinx=0的一個解.因為f′（x）=1- 1 2 cosx，顯然當(dāng)x∈ R 時f′（x）>0恒成立，所以函數(shù)f（x）在 R 上單調(diào)遞增.因此函數(shù)f（x）=x- 1 2 sinx的圖像與x軸只有一個交點，即方程x- 1 2 sinx=0有唯一解x=0.

例2?? 已知a，b為實數(shù)，且b>a>e，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，求證：ab>ba.

分析? 觀察此不等式兩邊的結(jié)構(gòu)，不等式可以等價轉(zhuǎn)化為f（a）+g（a）>f（b）+g（b），構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），利用函數(shù)h（x）的單調(diào)性可以解決.借助導(dǎo)數(shù)證明不等式是一種常用的方法.

解? 因b>a>e，故要證ab>ba，只需證blna>alnb，即證 b lnb > a lna .

設(shè)f（x）= x lnx （x>e），則f′（x）= lnx-1 （lnx）2 .

因為x>e，所以f′（x）= lnx-1 （lnx）2 >0.

故函數(shù)f（x）= x lnx 在（e，+∞）上是增函數(shù)，

又b>a>e，所以 b lnb > a lna ，從而ab>ba.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時將圖形信息轉(zhuǎn)化為代數(shù)信息，利用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行問題的解決，而解決與數(shù)量有關(guān)的問題時，要構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，借助于圖形的直觀性找到問題的突破口.

例3?? 已知f（x）=x3-3x2-9x+3，g（x）=f（x）-m.若函數(shù)g（x）在[-2，5]內(nèi)有3個零點，求m的取值范圍.

分析? g（x）的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）的圖像與x軸的交點問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=m的交點個數(shù)問題.函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-2，5]的圖形可進(jìn)行描繪，移動y=m可得到兩曲線交點個數(shù)的不同情況，從而得到答案.

解? 因f（x）=x3-3x2-9x+3，

故f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）.

令f′（x）=0，得x=-1或x=3.當(dāng)x∈[-2，-1）時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（-1，3）時，f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減;當(dāng)x∈（3，5]時，f′（x）>0，f（x）單調(diào)遞增.函數(shù)f（x）的極大值為f（-1）=8，極小值為f（3）=-24.又f（-2）=1，f（5）=8.

作出f（x）在[-2，5]的圖像，見圖1，要使直線y=m與y=f（x）的圖像有3個交點，則m滿足1≤m<8.故所求m的取值范圍為1≤m<8.

三、轉(zhuǎn)化與化歸的思想

所謂轉(zhuǎn)化是將所求問題運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為一個新問題進(jìn)行求解.化歸是把待解決的問題歸納為一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題.遵循的原則是將復(fù)雜化歸為簡單，將較難化歸為較易，將未解決問題化歸為已解決問 題.

例4?? 已知a是常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值，求a的范圍.

分析? 函數(shù)有兩個極值，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)在（0，+∞）有兩個零點.（f′（x）=lnx-2ax+1=0有兩個根），進(jìn) 一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=2ax-1有兩個交點.先求出y=2ax-1與y=lnx相切時對應(yīng)的a值，利用數(shù)形結(jié)合的方法，可求出兩曲線有兩個交點時對應(yīng)a的范圍.見圖2.

解? f（x）=x（lnx-ax），x>0，f′（x）=lnx-2ax+1，y=2ax-1過點（0，-1）作曲線y=lnx的切線，設(shè)切點為（m，n），則切線方程為y-lnm= 1 m（x-m） ，將（0，-1）代入，得到m=1，故切點坐標(biāo)為（0，1），此時切線的斜率為1，故2a=1，a= 1 2 ，結(jié)合圖形知道，0

通過本章的學(xué)習(xí)，筆者對有關(guān)知識進(jìn)行了總結(jié)，極大地調(diào)動了筆者學(xué)習(xí)的積極性，也提高了筆者發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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