劉 燕,于 傳,黃永明,熊晶晶,劉 靜

(1.南京工程學(xué)院工業(yè)中心,南京 211167;2.國(guó)網(wǎng)安徽省電力有限公司培訓(xùn)中心,合肥 230022;3.東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,南京 210096)

由于時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在實(shí)際應(yīng)用中的重要性,時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)備受關(guān)注[1-2]．當(dāng)考慮時(shí)滯信息,尤其是時(shí)滯較小時(shí),時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性結(jié)果的保守性比時(shí)滯不相關(guān)穩(wěn)定性結(jié)果低[3-5],故選擇合適的Lyapunov-Krasovskii泛函 (LKF)對(duì)于得出具有更低保守性的穩(wěn)定性判據(jù)至關(guān)重要[6-7]．為了獲得具有更低保守性的結(jié)果,LKF導(dǎo)數(shù)估計(jì)是基于線(xiàn)性矩陣不等式推導(dǎo)穩(wěn)定性判據(jù)的重要途徑[3]．近幾年,已經(jīng)出現(xiàn)了多種估計(jì)LKF導(dǎo)數(shù)的方法,常用的有: 自由權(quán)矩陣[3,8]、積分不等式[6,9-10]、萊布尼茨-牛頓公式[11-12]以及這些方法的不同組合[3,10]．盡管可以使用這些方法來(lái)估計(jì)LKF的導(dǎo)數(shù)并減少保守性,但運(yùn)算負(fù)擔(dān)均較大．本文擬通過(guò)構(gòu)造增廣LKF,并利用多種積分不等式估計(jì)LKF的導(dǎo)數(shù)以獲得更低的保守性和更小的運(yùn)算負(fù)擔(dān),同時(shí)探討時(shí)變時(shí)滯連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的條件．

在本文中,Rn表示n維歐幾里德空間,P>0或P≥0表示P是一個(gè)真正的對(duì)稱(chēng)和正定(半)矩陣,對(duì)稱(chēng)矩陣中的對(duì)稱(chēng)項(xiàng)用*表示．

1 問(wèn)題描述

時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(1)

其中神經(jīng)元狀態(tài)向量xt=[x1t…xnt]T∈Rn,f(·)為神經(jīng)元激活函數(shù),C=diag{c1,…,cn}(ci>0),A和B是權(quán)重矩陣,J=[J1…Jn]T是外部常量輸入向量,τ(t)是時(shí)變時(shí)滯且滿(mǎn)足

(2)

假設(shè)式(1)存在平衡點(diǎn)x*,則可通過(guò)改變變量值將此平衡點(diǎn)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn),即yt=xt-x*,g(yt)=f(yt+x*)-f(x*),有

(3)

易得[6]

(4)

2 穩(wěn)定性判據(jù)

注1不同于文獻(xiàn)[3-4,6]中的LKF結(jié)構(gòu),定理1中雙積分項(xiàng)被擴(kuò)充為V2(t)的形式,建立了狀態(tài)變量與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．此外,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)V4(t),進(jìn)一步構(gòu)造了一個(gè)包含更多神經(jīng)元活化函數(shù)斜率信息的全新LKF．

證明 考慮增廣LKFVb(t)=V1a(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),其中

本文導(dǎo)出的穩(wěn)定性判據(jù)給出了要確定的矩陣變量和用于保證時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性基于LMI的約束條件,可以利用MATLAB/LMI 工具箱中的 feasp 函數(shù)從相應(yīng)判據(jù)中求解這些變量．

3 數(shù)值算例

帶參數(shù)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(3)[3]中

本文使用提出的定理1和定理2兩個(gè)穩(wěn)定性判據(jù),獲得了保證時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸近穩(wěn)定性的可接受最大上界(AMUBs);文獻(xiàn)[4,6,13]通過(guò)將時(shí)變時(shí)滯區(qū)間劃分為2個(gè)子區(qū)間,給出了相應(yīng)的AMUBs;文獻(xiàn)[3]使用萊布尼茨-牛頓公式和自由加權(quán)矩陣技術(shù)保證有2個(gè)時(shí)滯分量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漸進(jìn)穩(wěn)定性,獲得了改進(jìn)的AMUBs．表1給出不同μ下所得AMUBs的結(jié)果．

表1 不同μ下AMUBsTab.1 AMUBs for various μ

從表1可以看到,本文方法的計(jì)算結(jié)果比文獻(xiàn)[3-4,6,13]中的保守性更低,尤其當(dāng)μ≥0.5時(shí);條件2中當(dāng)μ=0.9時(shí),本文方法計(jì)算結(jié)果明顯好于文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果,這是因?yàn)楸疚牟捎昧藥追N合適的不等式代替了萊布尼茨牛頓公式和自由加權(quán)矩陣技術(shù),并給出了神經(jīng)元活化函數(shù)斜率的更多信息,說(shuō)明新的增廣LKF項(xiàng)改進(jìn)了計(jì)算結(jié)果．為進(jìn)一步說(shuō)明本文所提方法的有效性,進(jìn)行了仿真試驗(yàn)．

圖1 神經(jīng)元狀態(tài)變量yit的狀態(tài)軌跡Fig.1 State trajectories of neuron state variables

4 結(jié)論

本文研究了時(shí)變時(shí)滯連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性,利用新的增廣LKF和合適的積分不等式,導(dǎo)出了改進(jìn)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù);考慮了更多神經(jīng)元活化函數(shù)斜率信息的增廣LKF已被用來(lái)降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性．此外,由于本文并未涉及任何時(shí)滯分解和時(shí)滯分區(qū)的思想以及萊布尼茨牛頓公式和自由加權(quán)矩陣,得到的穩(wěn)定性判據(jù)的計(jì)算負(fù)擔(dān)已大幅減少,數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的有效性．