杜潭飛 李浩

摘要：制造業(yè)中利用標志點配準是對物體進行定位的常用手段，該方法有效的前提是物體上的標志點不存在制造誤差，但是實際制造中不存在零誤差的標志點。本文利用四元數(shù)構(gòu)造的旋轉(zhuǎn)矩陣當做零制造誤差下的配準矩陣，然后對旋轉(zhuǎn)矩陣變換后的標志點位置添加蒙特卡洛方法計算的隨機誤差，采用SVD分解計算隨機誤差下的配準矩陣，進而分析了標志點制造誤差對物體定位精度的影響。該方法可以有效評估現(xiàn)有物體的標志點制造誤差是否可以滿足定位精度的要求。在本文研究中設(shè)定了10個標志點位置，研究表明：標志點制造誤差對物體定位精度的影響近似呈線性關(guān)系。

關(guān)鍵詞：標志點；制造誤差；定位精度；蒙特卡洛法

Reliability Analysis of Marking Point Registration Considering Manufacturing Error

Abstract：In manufacturing industry，marker registration is a common method to locate objects. The effective premise of this method is that there is no manufacturing error in marker points，but there is no zero error marker points in actual manufacturing. In this paper，the rotation matrix constructed by quaternion is used as the registration matrix under zero manufacturing error. Then the random errors calculated by Monte Carlo method are added to the position of the markers transformed by the rotation matrix. The registration matrix under random errors is calculated by SVD decomposition，and the influence of marker manufacturing error on the positioning accuracy of the object is analyzed. This method can point to meet the requirements of manufacturing error of the positioning accuracy of the effective assessment of existing object sign. In this paper，10 landmark locations are set up. The results show that the influence of manufacturing errors of landmarks on the positioning accuracy of objects is approximately linear.

Keywords：Marking Point，Manufacturing error，Position accuracy，Monte Carlo method

1.引言

標志點具有空間特征不變形，被廣泛應用于解決各項研究中的定位問題[1-5]。當被處理對象無法利用工裝精確定位的時候，通常會采用在對象上加工標志點的方式傳遞物體本身的位置信息，以便后續(xù)加工處理時的定位?？紤]到最終產(chǎn)品的制造精度必然大于其定位誤差，當物體的定位誤差超過其加工精度要求時，該物體的所有后續(xù)加工將會面臨嚴峻的質(zhì)量問題，物體的定位精度對于其后續(xù)加工而言至關(guān)重要。

在現(xiàn)實生產(chǎn)制造過程中，標志點通常被認為是絕對精確的，即物體上標志點之間的相對位置關(guān)系與數(shù)模上標志點之間的相對位置關(guān)系一致。但是實際上，標志點的制造誤差是存在的，而且由于制造誤差的隨機分布，該誤差不能被準確測量[6]。所以在利用標志點進行剛體定位的時候，人們通常將配準定位問題轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題，尋求全局最優(yōu)解，減小標志點制造誤差對物體定位精度的影響[7-8]。

標記點制造誤差對物體定位精度的影響分析可以預先評估在實際制造誤差下，采用標志點定位的方法是否可以達到后續(xù)加工的精度要求。目前關(guān)于標志點制造誤差對定位精度影響的研究較少。王滿寧[9]對比分析了標志點匹配空間配準中標記點定位誤差、標記點配準誤差和靶點配準誤差之間的關(guān)系，研究三者之間的相關(guān)性，但是其研究中擾動誤差是XYZ三個軸分別添加概率誤差，每個點的整體誤差不能被精確控制到產(chǎn)品的制造誤差數(shù)據(jù)。此外，該研究僅選取了一組固定的位姿變換矩陣，同時對于誤差之間關(guān)系的研究尚有進一步挖掘的空間。

基于蒙特卡洛法，本文提出一種標志點制造誤差對物體定位精度影響的分析方法，定量分析了標志點制造誤差對定位精度的影響規(guī)律，并進一步分析了定位誤差的空間分布。論文的結(jié)構(gòu)安排如下：第一章介紹了標志點定位的研究背景；第二章詳細介紹了本文提出方法的算法架構(gòu)；第三章是本文的實驗設(shè)計；第四章對比分析了實驗數(shù)據(jù)，分析實驗各參數(shù)對最終定位精度的影響；第五章是本文的總結(jié)。

2.算法架構(gòu)設(shè)計

鑒于標志點真實制造誤差無法測量，本文計劃采用標志點添加隨機誤差的方法模擬真實標志點位置。為測試標志點制造誤差對物體定位精度的影響，本文的實驗設(shè)計如圖2-1所示，主要包括：

1.生成位姿變換矩陣，即理論數(shù)模位置與實際擺放位置之間的理論變換矩陣To

2.利用位姿變換矩陣對理論數(shù)模上的標志點P_mod位置進行變換，獲取無制造誤差情況下的理想標志點位置P_modN

3.對理想標志點位置P_modN添加隨機制造誤差，模擬真實標志點位置P_real

4.對P_mod與P_real進行SVD配準，獲取實際變換矩陣T_New

5.對測試點集P_test分別利用To與T_New進行變換，獲取p_testold與p_testnew兩組點集，p_testold 是標志點沒有制造誤差情況下的新的測試點位置，p_testnew 是標志點存在制造誤差情況下新的測試點位置。

計算評估兩組點集之間的差距，計算p_testold 與 p_testnew之間的位置差向量，求取該位置差向量的最大二范數(shù)作為兩者之間的距離，并且記錄測試點的位置差向量。

2.1位姿變換矩陣

位姿變換矩陣由四元數(shù)法構(gòu)造，本文不考慮位置的變換，因為標志點的隨機制造誤差并不會對物體平移距離的配準產(chǎn)生影響，因此只需分析其對姿態(tài)配準的影響。根據(jù)達朗伯-歐拉定理：定點轉(zhuǎn)動剛體的任何有限位移可用繞某軸的一次轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)，該軸通過剛體的固定點。隨機生成三維空間的單位方向向量作為姿態(tài)旋轉(zhuǎn)軸線，然后根據(jù)給定的旋轉(zhuǎn)角度 ，利用四元數(shù)構(gòu)造空間變換矩陣To。

其中， 是剛體旋轉(zhuǎn)軸線的單位方向向量， 是剛體繞軸線旋轉(zhuǎn)的角度。

2.2蒙特卡洛法產(chǎn)生隨機誤差

標志點的隨機制造誤差通過蒙特卡洛方法采用球坐標系生成，如圖2-2所示。隨機制造誤差在方向上無差異，因此本文設(shè)定的隨機誤差隨機分布在以標志點為中心，C_r為半徑的球面上，其中C_r采用物體既定的制造誤差數(shù)值， 、 均利用蒙特卡洛方法隨機生成，以此確定每次實驗過程中每個標志點的誤差情況。

2.3奇異值分解（SVD）剛體配準

本文采用SVD剛體配準的方法對理論數(shù)模標志點位置與實際標志點位置兩組數(shù)據(jù)進行配配準，從而確定相對理論數(shù)模位置的物體實際位姿。

計算兩組標志點集的質(zhì)心位置 、 ，然后計算每個點的去質(zhì)心坐標，如式（3）（4）所示。

旋轉(zhuǎn)矩陣可以確定物體的姿態(tài)，平移向量可以確定物體的位移，兩者可以構(gòu)成齊次矩陣，確定物體的位姿。

3. 實驗設(shè)計

實驗對象：實驗選取飛機模型為配準對象，分別在機翼，機身等位置選取10個標志點。現(xiàn)實生產(chǎn)制造中，由于飛機較大的物理尺寸，采用標志點定位是進一步加工時的常用手段。

實驗參數(shù)：誤差點球體面半徑C_r；隨機試驗次數(shù)NUM；標志點繞軸旋轉(zhuǎn)角度 。

參數(shù)選擇：C_r 取2.5mm、3mm、3.5mm、4mm、4.5mm、5mm 這六個數(shù)值分別分析；隨機試驗次數(shù)NUM=100000；標志點繞軸旋轉(zhuǎn)角度 取1°、2°、3°、4°、5°，軸線采取隨機軸線跟固定軸線兩種方式，其中固定軸線分別選取X軸、Y軸、Z軸三個軸線方向。

4. 數(shù)據(jù)分析

實驗選取測試點集結(jié)果中的二范數(shù)中的平均值和最大值進行分析。

標志點制造誤差對物體定位精度的影響與物體的實際位姿無關(guān)。根據(jù)表4-1，在C_r一定的情況下，姿態(tài)變換矩陣中物體旋轉(zhuǎn)角度的增加分別與平均距離和最大距離無關(guān)，旋轉(zhuǎn)角度 選取1°、2°、3°、4°、5°時，平均距離與最大距離兩項指標無明顯變化。根據(jù)表4-2，位姿變換矩陣中的旋轉(zhuǎn)軸線的變化對平均距離和最大距離均未產(chǎn)生明顯影響，軸線隨機與軸線固定在XYZ三個軸上時，平均距離和最大距離保持穩(wěn)定。

標志點制造誤差對物體定位精度的影響與標志點制造誤差C_r線性相關(guān)。根據(jù)表4-3，隨著C_r的增加，平均距離與最大距離具有相應的變化。如圖4-1所示，平均距離與C_r呈現(xiàn)出強線性關(guān)系，擬合優(yōu)度R=1，可以通過直線方程表征誤差平均距離與C_r之間的線性關(guān)系。最大距離與C_r呈現(xiàn)較強的線性關(guān)系，擬合優(yōu)度R=0.9991，可以使用直線方程根據(jù)C_r的選擇預測最大距離，如圖4-2所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，最大誤差關(guān)于C_r的斜率為1.6813，平均誤差相應的斜率為0.4822，所以隨著C_r的增大，最大誤差將會受到更大的影響，但是兩者斜率均不高，平均誤差和最大誤差應該與制造誤差處于同一量級。

物體定位誤差的空間分布與標志點集的空間分布相關(guān)。物體定位誤差在空間中呈現(xiàn)橢球體分布，其中z軸方向較長，其次是y軸方向，最短的是x軸方向，如圖4-3和圖4-4所示。這與物體本身的標志點集分布有關(guān)，本文實驗對象為飛機，其標志點集在XY平面上的尺寸相對于z方向的尺寸而言較大。飛機本身在XY平面上的具有較大跨度，在Z方向上比較集中，因此利用標志點定位的精度極易受到標志點Z方向上制造誤差的影響。這對標志點定位方法中標志點的選擇給出啟發(fā)，選取的標志點集應在XYZ三個方向上盡量保持尺寸大小一致，這樣誤差的空間分布會由橢球體向球體發(fā)展，最大誤差與平均誤差更加接近，提升定位精度。

5.結(jié)語

本文提出一種基于蒙特卡洛方法的標志點制造誤差對物體定位精度影響的分析方法，通過分析，我們發(fā)現(xiàn)標志點制造誤差產(chǎn)生對物體定位的影響與物體的實際位姿無關(guān)，與標志點制造誤差C_r的大小相關(guān)。其中定位誤差中的平均距離跟最大距離分別與C_r線性相關(guān)，兩者與制造誤差處于同一量級水平，并給出了關(guān)系公式；定位誤差的空間分布與物體本身標志點集的分布相關(guān)，大范圍各向同性的標志點集分布更有利于物體的精確定位。

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作者簡介：杜潭飛（2001-），男，河北省邢臺市人，民族：漢，職稱：無，學歷：在讀高中生。研究方向：機器人。

李浩（1993-），女，河北省衡水市人，民族：漢，職稱：中學二級，學歷：本科，研究方向：物理學。

（作者單位：河北衡水中學）