帶Markov切換的隨機微分系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性*

2019-04-17 06:06吳小太

重慶工商大學學報（自然科學版） 2019年1期

王剛，吳小太

(安徽工程大學數(shù)理學院，安徽蕪湖 241000)

0 前言

穩(wěn)定性問題一直以來都是系統(tǒng)控制理論研究的熱點問題，輸入狀態(tài)穩(wěn)定作為一類重要的穩(wěn)定性，受到了學者們的廣泛關注。輸入狀態(tài)穩(wěn)定(Input-to-state stability)理論由Sontag教授于1989年在文獻[1]中提出，它表明：無論系統(tǒng)初始狀態(tài)的大小如何，系統(tǒng)最終狀態(tài)將趨近其初值的某一鄰域且與外部輸入的大小成比例。近來，關于系統(tǒng)輸入狀態(tài)穩(wěn)定的相關研究受到很多學者的重視，并得到了豐富的研究結(jié)果。Wang等在文獻[2]中基于分段Lyapunov-Krasovskii函數(shù)方法，研究了非線性脈沖系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性問題；文獻[3]研究了非線性脈沖混合隨機系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性問題；通過建立一個有效引理，Ai等[4]構(gòu)造了一類廣義KL函數(shù)，研究了帶脈沖切換的隨機非線性脈沖系統(tǒng)有限時間隨機輸入狀態(tài)穩(wěn)定性；Wu等[5]利用Lyapunov-Krasovskii函數(shù)和平均脈沖間隔法，分別推導出了基于線性假設的穩(wěn)定和不穩(wěn)定脈沖隨機時滯系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性條件；Kuang等在文獻[6]中提出了一種用于研究隨機時滯控制系統(tǒng)的均方指數(shù)輸入狀態(tài)穩(wěn)定性Euler-Maruyama法；文獻[7]利用多Lyapunov 函數(shù)方法，研究了帶切換的離散時間非線性系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性和輸入狀態(tài)穩(wěn)定性。

隨機切換系統(tǒng)是由隨機微分系統(tǒng)與切換規(guī)則構(gòu)成的動態(tài)系統(tǒng)[8-10]。Markov切換系統(tǒng)是由連續(xù)時間的馬氏鏈驅(qū)動的一類重要的隨機切換系統(tǒng)，在相關的理論研究中運用最為廣泛，并已被應用于許多結(jié)構(gòu)和參數(shù)可能會突然改變的實際系統(tǒng)模型中，如電力系統(tǒng)、太陽能系統(tǒng)和戰(zhàn)斗管理指揮、控制和通信系統(tǒng)等[11]。Wu X等在文獻[12]中利用Razumikhi型方法，獲得了一些穩(wěn)定性判據(jù)，從而進一步發(fā)展了帶Markov切換的脈沖隨機時滯微分系統(tǒng)的p階矩穩(wěn)定性；文獻[13]利用切換過程的跳轉(zhuǎn)時間來細分”時間”，討論了帶Markov切換的非線性隨機微分方程的漸近穩(wěn)定性；通過M矩陣方法，文獻[14]研究了帶Markov切換的隨機變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定性；針對狀態(tài)切換跳擴散系統(tǒng)，宗小峰[15]利用文中結(jié)果結(jié)合馬氏鏈的遍歷性，給出了p階矩指數(shù)穩(wěn)定性的條件。

本文借助文獻[15]中關于馬氏鏈遍歷性的新定義，研究了帶Markov切換的隨機微分系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性。值得注意的是，當文中外部輸入為零時，輸入狀態(tài)穩(wěn)定性即為漸近穩(wěn)定性，故本文的研究結(jié)果能包含文獻[15]中的定理4.12。

相關記號：

ξ={ξ(v)：-θ≤v≤0}

使得

E表示期望算子，令K為一族連續(xù)嚴格增長的函數(shù)k：R+→R+，k(0)=0，K∞為K函數(shù)的無界子集，函數(shù)β：R+×R+→R+屬于集合KL。

1 相關定義與引理

令(Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t≥0，P)為一個完備的概率空間，域流Ft≥0滿足一般情況(其為右連續(xù)增長的，且F0包含所有不可測集)。令B(t)，t≥0為定義在概率空間上的m-維布朗運動，r(t)，t≥0為一個取值在有限狀態(tài)空間S=1，2，…，N上的右連續(xù)，且定義在概率空間的Markov鏈，其生成元Γ=(γij)N×N由

本文將考慮如下帶Markov切換的非線性隨機微分系統(tǒng)：

dx(t)=f(xt，u(t)，r(t))dt+

g(xt，u(t)，r(t))dB(t)，t≥t0

(1)

若f與g都服從局部Lipschitz條件以及線性增長條件，則在該條件下系統(tǒng)式(1)擁有唯一解x(t)[9]。本文為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，假設f(0，0，i)≡0，g(0，0，i)≡0，系統(tǒng)式(1)有平凡解x(t)≡0。

給定任意V∈C2，1(Rn×[t0，+R)，定義下述映射LV，以下有Rn×R+×S→R。

LV(x，t，i)=Vt(x，t)+Vx(x，t)f(x，t，i)+

為了得到本文中所研究的主要結(jié)果，需要給出一些必要的定義與引理。

定義1[5]系統(tǒng)式(1)為輸入狀態(tài)穩(wěn)定(ISS)的，則存在函數(shù)β∈KL與γ∈K∞使得

E|x(t)|≤β(|x(t0)|，t-t0)+γ(‖u‖[t0，t])，t≥t0

定義2[15]令P為狀態(tài)空間S的概率測度集，馬氏鏈r(t)擁有式(2)給定的概率函數(shù)：

(2)

p=(p1，…，pm)∈P為一個概率向量，u=(u1，…，um)∈Rm，易得I(p)≥0為弱半連續(xù)的，當且僅當p=π時，I(p)=0，則

a=(a1，…，am)∈Rm

(H2)當|x|≥χ(u)時，有LV(x，t)≤αiV(x，t)。

2 主要結(jié)論

這里將研究帶Markov切換的非線性隨機微分系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性。

定理1 假設帶Markov切換的非線性隨機微分系統(tǒng)式(1)存在一個輸入狀態(tài)穩(wěn)定的Lyapunov函數(shù)V(x，t)，使得

(3)

則系統(tǒng)式(1)滿足輸入狀態(tài)穩(wěn)定性。

如果l取有限值，則這一個區(qū)間的長度是無限的，此時可以采用文獻[15]中的方法進行類似地處理，下面將分兩種情況

①Λ1={t|x(t)|≥φ(‖u‖[0，t])，t≥0}；

②Λ2={t|x(t)|≤φ(‖u‖[0，t])，t≥0}。

來研究系統(tǒng)式(1)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性。

e-αr(τk∧ρn)(t∧ρn)V(x(t∧ρn))=

e-αr(τk∧ρn)(τk∧ρn)V(x(τk∧ρn))+

LV(x(s)，r(s))]ds+

e-αr(τk∧ρn)(t∧ρn)V(x(t∧ρn))≤

(4)

令Ft=σ{r(u)u≥0，{B(s)}s≥t}為隨機變量{r(u)u≥0}，{B(s)}s≤t生成的右連續(xù)σ域流，這里定義的σ域流Ft滿足一般性，系統(tǒng)式(1)的解x(t)關于域流Ft適應，由于ρn是一個Ft停時，以及解x(t)的右連續(xù)性，因此，其是一個關于Ft適應的過程。